Дробные рациональные уравнения - разбор темы и тренажёры. Алгебра 8 класс

На данной странице разберем тему дробные рациональные уравнения - один из самых важных разделов алгебры 8 класса, который включает в себя очень много подтем. Рациональные уравнения встречаются и на ОГЭ и ЕГЭ по математике, как в первой, так и во второй части. Это могут быть как простые уравнения, так и в текстовых задачах

Прежде чем перейти к уравнениям, вспомним, что такое рациональные выражения, а затем научимся решать рациональные уравнения, в том числе дробные. Эти знания необходимы для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Рациональное выражение - это алгебраическое выражение, составленное из чисел, переменных и их степеней с помощью арифметических действий.

Рациональное уравнение - это уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями.

Что такое рациональное выражение

Прежде чем перейти к уравнениям, разберёмся, что такое рациональное выражение - это основа для понимания рациональных уравнений.

Определение рационального выражения

Рациональным выражением называется алгебраическое выражение, составленное из чисел, переменных и их степеней с помощью арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и возведения в натуральную степень.

Виды рациональных выражений:
Целые выражения - не содержат деления на переменную, например $3x^2 - 2x + 5$ , $\dfrac{x}{2} + 3$ , $2x \cdot (x - 1)$ .
Дробные выражения - содержат деление на выражение с переменной, например $\dfrac{2x}{x - 3}$ , $\dfrac{x + 1}{x^2 - 4}$ , $\dfrac{5}{x} + 2$ .

Важно: знак деления в дробных выражениях - это дробная черта.

📌 Важно запомнить: Дробное выражение не имеет смысла при тех значениях переменной, при которых знаменатель обращается в нуль. Эти значения исключаются из области допустимых значений (ОДЗ).

Рациональные уравнения

Теперь перейдём к рациональным уравнениям. Разберёмся, какие уравнения называются рациональными и на какие виды они делятся.

Определение рационального уравнения

Рациональным уравнением называется уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями.

Всего выделяют два вида рациональных уравнений:

Целое уравнение - рациональное уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями (нет деления на выражение с переменной).
Дробное уравнение - рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением (есть деление на выражение с переменной).

Примеры:

$\dfrac{x}{3} + \dfrac{2x}{5} = 7$ - целое уравнение.
$\dfrac{x}{x - 2} + \dfrac{3}{x + 1} = 1$ - дробное уравнение.

📌 Важно запомнить: При решении дробных рациональных уравнений обязательно нужно учитывать ОДЗ - значения переменной, при которых знаменатель не обращается в нуль.

ОДЗ рациональных уравнений

Область допустимых значений (ОДЗ) - это множество значений переменной, при которых уравнение имеет смысл. Для дробных уравнений важно исключить значения, обращающие знаменатель в нуль. Иначе, вы

Как находить ОДЗ

Алгоритм:

Найти все выражения, стоящие в знаменателях дробей.
Приравнять каждое выражение к нулю.
Исключить найденные значения из множества допустимых значений переменной.

Пример: Для уравнения $\dfrac{2x}{x - 3} = 5$ знаменатель $x - 3 \neq 0$ , значит ОДЗ: $x \neq 3$ .

Пример: Для уравнения $\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x - 2} = 4$ знаменатели $x \neq 0$ и $x \neq 2$ , значит ОДЗ: $x \neq 0$ , $x \neq 2$ .

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений

Существует два основных способа решения дробных рациональных уравнений. Рассмотрим каждый из них.

Способ 1: Умножение на общий знаменатель

Пошаговый алгоритм

Разложить все знаменатели дробей на множители.
Найти общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
Решить получившееся целое уравнение.
Исключить из найденных корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель (не входят в ОДЗ).

Способ 2: Условие равенства дроби нулю

Пошаговый алгоритм

Перенести все члены уравнения в левую часть (получить уравнение вида $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0$ ).
Привести к общему знаменателю.
Приравнять числитель к нулю и решить полученное уравнение.
Исключить корни, обращающие знаменатель в нуль (не входят в ОДЗ).

Пример решения дробного уравнения

Пример: решение дробного рационального уравнения

Решим дробное рациональное уравнение:

$\dfrac{x}{x - 2} + \dfrac{3}{x + 1} = \dfrac{2x + 1}{x^2 - x - 2}$

Шаг 1. Разложим знаменатели на множители:

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

Общий знаменатель: $(x - 2)(x + 1)$

Шаг 2. Найдём ОДЗ: $x \neq 2$ , $x \neq -1$

Шаг 3. Умножаем обе части на общий знаменатель:

$x(x + 1) + 3(x - 2) = 2x + 1$

Шаг 4. Решаем полученное уравнение:

$x^2 + x + 3x - 6 = 2x + 1$

$x^2 + 4x - 6 = 2x + 1$

$x^2 + 2x - 7 = 0$

$x = -1 \pm 2\sqrt{2}$

Шаг 5. Проверяем, не обращают ли найденные корни знаменатель в нуль:

$-1 + 2\sqrt{2} \neq 2$ , $-1 + 2\sqrt{2} \neq -1$

$-1 - 2\sqrt{2} \neq 2$ , $-1 - 2\sqrt{2} \neq -1$

Ответ: $-1 \pm 2\sqrt{2}$

Пример с посторонним корнем

Пример: уравнение с посторонним корнем

Решим уравнение $\dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{4}{x - 2}$ .

Шаг 1. Находим ОДЗ: $x \neq 2$ .

Шаг 2. Умножаем обе части на общий знаменатель $(x - 2)$ :

$x = 4$

Шаг 3. Проверяем, входит ли $x = 4$ в ОДЗ: $4 \neq 2$ , значит подходит.

Ответ: $x = 4$

Если бы мы получили $x = 2$ , этот корень пришлось бы отбросить, так как он не входит в ОДЗ.

💡 Совет: При решении дробных рациональных уравнений всегда начинайте с нахождения ОДЗ. Это поможет избежать включения посторонних корней в ответ.

Тренажёры по рациональным уравнениям

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Рациональные уравнения. Решение дробных рациональных уравнений». Мы подготовили задания разного уровня сложности - от базовых до олимпиадных, чтобы каждый ученик мог отработать навыки решения.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку.

Особое внимание уделено отработке нахождения ОДЗ и отбора корней - это те навыки, которые чаще всего проверяются на ОГЭ и ЕГЭ по математике. Начните тренироваться прямо сейчас!