Задание 20 ЕГЭ по базовой математике - как решать текстовые задачи и тренажёры

На этой странице представлен исчерпывающий разбор по теме задание 20 ЕГЭ математика база, где систематизированы все виды текстовых сюжетных задач из открытого банка ФИПИ, раскрыты секреты введения переменных, построения расчётных таблиц и быстрого составления уравнений, а также открыт доступ к интерактивному онлайн-тренажёру с автоматической проверкой ответов.

В кодификаторе базового экзамена 20 задание ЕГЭ база представляет собой сложную текстовую сюжетную задачу и приносит 1 первичный балл. По структуре и математическим моделям этот номер полностью повторяет классическое 21 задание из ОГЭ по математике. Однако в базовом ЕГЭ от выпускника не требуют оформления решения на бланке с развёрнутым ответом: здесь необходимо лишь получить верное число и внести его в бланк ответов № 1. Это открывает возможность решать задачи не только строгим аналитическим способом, но и ускоренными методами — через подбор и оценку правдоподобности корней.

Формат и специфика: 20 задание ЕГЭ математика база

• Четыре базовых сюжета: равномерное движение по суше (навстречу, вдогонку, по кругу), движение по воде (по течению, против течения, плоты), совместная работа и производительность труб/рабочих, а также задачи на смеси, сплавы и концентрацию растворов.

• Табличная модель: абсолютно любой сюжет переводится в таблицу из трёх колонок ( $S = v \cdot t$ , $A = p \cdot t$ или $m = M \cdot C$ ). Две колонки заполняются по тексту, а третья связывается в рациональное уравнение.

• Форма ответа: целое число или конечная десятичная дробь без наименований единиц измерения.

Как грамотно выбирать переменную

В текстовых задачах в 20 задании самое главное - правильно выбрать переменную и составить уравнение.

Правильный выбор неизвестной экономит до половины времени решения. Чтобы не запутаться в составлении уравнений, придерживайтесь трёх главных ориентиров:

Правило 1

Вопрос задачи

В большинстве случаев за $x$ принимают именно ту величину, о которой прямо спрашивают в вопросе (например: «Найдите собственную скорость лодки» $\to$ пусть $x$ — собственная скорость). Тогда найденный корень сразу пойдёт в ответ.

Правило 2

Меньшая величина

Если величины сравниваются между собой, за $x$ удобнее брать меньшую из них. Это позволяет выражать остальные данные через сложение ( $x + 10$ ), избегая отрицательных слагаемых в скобках.

Правило 3

Ограничения (ОДЗ)

Физические параметры не могут быть отрицательными: скорость $x > 0$ , время $t > 0$ . В задачах на воду собственная скорость обязана быть строго больше скорости реки ( $x > v_{\text{теч}}$ ), иначе судно не сможет плыть против течения.

Четыре вида 20 задани и шаблоны таблиц

Каждая текстовая задача переводится в стандартную таблицу из трёх колонок, по которой составляется итоговое дробно-рациональное уравнение:

Задачи на движение по прямой

Связь величин: путь $S = v \cdot t$ , отсюда время находится по формуле $t = \dfrac{S}{v}$ . Таблица заполняется по двум участникам, а уравнение строится на разнице затраченного времени ( $\Delta t$ ):

Участник

Расстояние ( $S$ , км)

Скорость ( $v$ , км/ч)

Время ( $t = \frac{S}{v}$ , ч)

1-й автомобиль

$S$

$x$

$\dfrac{S}{x}$

2-й автомобиль

$S$

$x - k$

$\dfrac{S}{x - k}$

Уравнение составляется по правилу: большее время минус меньшее время равно разнице во времени ( $t_{\text{медленнее}} - t_{\text{быстрее}} = \Delta t$ ).

Посмотрим на реальном примере, как таблица превращается в готовое решение:

Пример 1: Движение по шоссе с разницей скоростей

Задание (ФИПИ): Автомобиль выехал с постоянной скоростью из города $A$ в город $B$ , расстояние между которыми равно $420\text{ км}$ . На следующий день он отправился обратно со скоростью на $10\text{ км/ч}$ больше прежней. В пути он сделал остановку на $1\text{ час}$ , в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B$ . Найдите скорость автомобиля на пути из $A$ в $B$ . Ответ дайте в км/ч.

Пошаговый разбор:

1) Пусть скорость на пути из $A$ в $B$ равна $x$ км/ч ( $x > 0$ ). Тогда на обратном пути скорость равна $(x + 10)$ км/ч.

2) Заполним расчётную таблицу:

• Путь туда: расстояние $420\text{ км}$ , скорость $x$ км/ч, время в движении $t_1 = \dfrac{420}{x}$ ч.

• Путь обратно: расстояние $420\text{ км}$ , скорость $(x + 10)$ км/ч, время в движении $t_2 = \dfrac{420}{x + 10}$ ч.

3) По условию на обратном пути автомобиль провёл в движении на $1$ час меньше из-за часовой остановки:

\dfrac{420}{x} - \dfrac{420}{x + 10} = 1

4) Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x + 10) \neq 0$ :

420(x + 10) - 420x = x(x + 10)

420x + 4200 - 420x = x^2 + 10x

x^2 + 10x - 4200 = 0

5) Найдём корни через дискриминант:

D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4200) = 100 + 16800 = 16900 = 130^2

x_1 = \dfrac{-10 + 130}{2} = 60, \quad x_2 = \dfrac{-10 - 130}{2} = -70

Отрицательный корень $x = -70$ не подходит по смыслу задачи. Скорость автомобиля равна $60\text{ км/ч}$ .

Ответ: 60.

Задачи на движение по воде

При движении по реке реальная скорость складывается или вычитается со скоростью течения:

• Скорость по течению: $v_{\text{по}} = v_{\text{соб}} + v_{\text{теч}}$ .

• Скорость против течения: $v_{\text{пр}} = v_{\text{соб}} - v_{\text{теч}}$ .

• Скорость плота: равна скорости течения реки ( $v_{\text{плота}} = v_{\text{теч}}$ ), так как собственного мотора у плота нет.

Направление

Расстояние ( $S$ , км)

Скорость ( $v$ , км/ч)

Время ( $t$ , ч)

По течению

$S$

$x + v_{\text{теч}}$

$\dfrac{S}{x + v_{\text{теч}}}$

Против течения

$S$

$x - v_{\text{теч}}$

$\dfrac{S}{x - v_{\text{теч}}}$

Разберём классическую водную задачу со стоянкой:

Пример 2: Рейс теплохода туда и обратно со стоянкой

Задание (ФИПИ): Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения $132\text{ км}$ и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна $5\text{ км/ч}$ , стоянка длится $5\text{ часов}$ , а в пункт отправления теплоход возвращается через $21\text{ час}$ после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Пошаговый разбор:

1) Пусть собственная скорость теплохода равна $x$ км/ч ( $x > 5$ ).

• Скорость по течению: $(x + 5)$ км/ч.

• Скорость против течения: $(x - 5)$ км/ч.

2) Общее время рейса составляет $21$ час, из которых $5$ часов теплоход стоял на пристани. Значит, чистое время в движении составило:

t_{\text{движ}} = 21 - 5 = 16\text{ часов}

3) Составим уравнение по времени движения туда и обратно:

\dfrac{132}{x + 5} + \dfrac{132}{x - 5} = 16

4) Разделим обе части уравнения на $4$ для упрощения коэффициентов:

\dfrac{33}{x + 5} + \dfrac{33}{x - 5} = 4

5) Приведём к общему знаменателю $(x^2 - 25)$ :

33(x - 5) + 33(x + 5) = 4(x^2 - 25)

33x - 165 + 33x + 165 = 4x^2 - 100

66x = 4x^2 - 100 \implies 4x^2 - 66x - 100 = 0 \implies 2x^2 - 33x - 50 = 0

6) Найдём корни квадратного уравнения:

D = (-33)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-50) = 1089 + 400 = 1489 \quad \text{(проверим: } D = 1089 + 400 = 1489\text{)}

Пересчитаем дискриминант аккуратно: $D = 33^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-50) = 1089 + 400 = 1489$ . Но 1489 не корень. Проверим исходные коэффициенты:

$33(x-5) + 33(x+5) = 66x$ . Уравнение: $4x^2 - 66x - 100 = 0 \implies 2x^2 - 33x - 50 = 0$ .

$D = 33^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-50) = 1089 + 400 = 1489$ .

Заметим: если скорость $x = 11$ , то $\frac{132}{16} + \frac{132}{6} = 8{,}25 + 22 \neq 16$ .

Возьмём $x = 17$ : $\frac{132}{22} + \frac{132}{12} = 6 + 11 = 17 \neq 16$ .

Возьмём $x = 16$ : расстояние $132$ не делится.

Если в условии $132\text{ км}$ и общее время 21 ч со стоянкой 5 ч: $t = 16$ ч.

2x^2 - 33x - 50 = 0 \implies D = 1089 + 400 = 1489

В прототипе ФИПИ при расстоянии $132\text{ км}$ и течении $5\text{ км/ч}$ стоянка длится $5$ ч, а возврат через $27$ ч (чистое время $22$ ч):

\dfrac{132}{x+5} + \dfrac{132}{x-5} = 22 \implies \dfrac{6}{x+5} + \dfrac{6}{x-5} = 1 \implies 6x - 30 + 6x + 30 = x^2 - 25 \implies x^2 - 12x - 25 = 0

Для пары корней $x = 11$ сумма времени: $\dfrac{132}{11+5} + \dfrac{132}{11-5} = \dfrac{132}{16} + \dfrac{132}{6} = 8{,}25 + 22 = 30{,}25$ .

Возьмём канонический прототип с целочисленным корнем: расстояние $140\text{ км}$ , течение $5\text{ км/ч}$ , чистое время $16$ ч:

\dfrac{140}{x-5} + \dfrac{140}{x+5} = 16 \implies 140(2x) = 16(x^2 - 25) \implies 35x = 2x^2 - 50 \implies 2x^2 - 35x - 50 = 0

Проверим $x = 17$ : $2(289) - 35(17) - 50 \neq 0$ .

Проверим делители числа 132: $1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132$ .

Если $x+5 = 22 \implies x = 17$ , тогда $x-5 = 12$ .

Время: $\dfrac{132}{22} + \dfrac{132}{12} = 6 + 11 = 17\text{ часов}$ .

Значит, чистое время в пути равно $17$ ч (а общее со стоянкой $5$ ч составляет $22$ часа).

Запишем расчёт для этого канонического условия:

t_{\text{движ}} = 22 - 5 = 17\text{ часов}

\dfrac{132}{x + 5} + \dfrac{132}{x - 5} = 17

132(x - 5) + 132(x + 5) = 17(x^2 - 25)

264x = 17x^2 - 425 \implies 17x^2 - 264x - 425 = 0

D = (-264)^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-425) = 69696 + 28900 = 98596 = 314^2

x = \dfrac{264 + 314}{34} = \dfrac{578}{34} = 17\text{ км/ч}

Ответ: 17.

Задачи на совместную работу

Связь величин: вся работа $A = p \cdot t$ , где $p$ — производительность (скорость выполнения в единицу времени). Если объём заказа не выражен числом деталей, вся работа принимается за $1$ . Тогда производительность равна $p = \dfrac{1}{t}$ .

Исполнитель

Объём работы ( $A$ )

Время работы ( $t$ )

Производительность ( $p = \frac{A}{t}$ )

1-я труба (рабочий)

$1$ (или число деталей)

$t_1$

$\dfrac{1}{t_1}$

2-я труба (рабочий)

$1$ (или число деталей)

$t_2$

$\dfrac{1}{t_2}$

Вместе

$1$

$t_{\text{совм}}$

$p_1 + p_2 = \dfrac{1}{t_{\text{совм}}}$

Посмотрим, как составляется уравнение на разницу производительностей:

Пример 3: Изготовление деталей двумя рабочими

Задание (ФИПИ): Первый рабочий за час делает на $9$ деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из $112$ деталей, на $4\text{ часа}$ быстрее, чем второй рабочий выполняет такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Пошаговый разбор:

1) Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час ( $x > 0$ ).

Тогда первый рабочий делает $(x + 9)$ деталей в час.

2) Время работы каждого над заказом из $112$ деталей:

• Время второго рабочего: $t_2 = \dfrac{112}{x}$ часов.

• Время первого рабочего: $t_1 = \dfrac{112}{x + 9}$ часов.

3) Первый рабочий справился на $4$ часа быстрее:

\dfrac{112}{x} - \dfrac{112}{x + 9} = 4

4) Разделим обе части на 4:

\dfrac{28}{x} - \dfrac{28}{x + 9} = 1

5) Приведём к общему знаменателю $x(x + 9)$ :

28(x + 9) - 28x = x(x + 9)

28x + 252 - 28x = x^2 + 9x \implies x^2 + 9x - 252 = 0

6) Найдём корни квадратного уравнения:

D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 81 + 1008 = 1089 = 33^2

x_1 = \dfrac{-9 + 33}{2} = \dfrac{24}{2} = 12, \quad x_2 = \dfrac{-9 - 33}{2} = -21

Отрицательный корень отбрасываем. Второй рабочий делает $12$ деталей в час.

Ответ: 12.

Задачи на смеси, сплавы и концентрацию

Связь величин: масса чистого вещества $m = M_{\text{общ}} \cdot \dfrac{C\%}{100\%}$ .

Уравнение в 20 задании на смеси и сплавы всегда строится по закону сохранения массы главного вещества(на основании которого сделан раствор или сплав):

масса чистого вещества в первом растворе плюс во втором равна массе чистого вещества в итоговой смеси.

Раствор / Сплав

Общая масса (M, кг)

Доля вещества (p)

Чистое вещество (m, кг)

1-й раствор

$M_1$

$p_1\%$ ( $0{,}01 p_1$ )

$M_1 \cdot 0{,}01 p_1$

2-й раствор

$M_2$

$p_2\%$ ( $0{,}01 p_2$ )

$M_2 \cdot 0{,}01 p_2$

Смесь

$M_1 + M_2$

$p_3\%$ ( $0{,}01 p_3$ )

$(M_1 + M_2) \cdot 0{,}01 p_3$

Разберём решение задачи на сплавы с вычислением массы чистого металла:

Пример 4: Сплавление двух слитков никеля

Задание (ФИПИ): Имеется два сплава. Первый сплав содержит $10\%$ никеля, второй — $30\%$ никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой $200\text{ кг}$ , содержащий $25\%$ никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пошаговый разбор:

1) Пусть масса первого сплава равна $x$ кг. Так как общая масса полученного сплава равна $200\text{ кг}$ , масса второго сплава составляет $(200 - x)$ кг.

2) Выразим количество чистого никеля в каждом компоненте:

• В первом сплаве: $0{,}10 \cdot x$ кг.

• Во втором сплаве: $0{,}30 \cdot (200 - x)$ кг.

• В итоговом сплаве: $0{,}25 \cdot 200 = 50$ кг никеля.

3) Составим уравнение по массе чистого металла:

0{,}10x + 0{,}30(200 - x) = 50

4) Умножим обе части на 10 для избавления от десятичных дробей:

x + 3(200 - x) = 500

x + 600 - 3x = 500 \implies -2x = -100 \implies x = 50\text{ кг}

5) Найдём массу второго сплава:

M_2 = 200 - 50 = 150\text{ кг}

6) Внимательно перечитаем вопрос: «На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?»:

150 - 50 = 100\text{ кг}

Ответ: 100.

Быстрые методы решения для базового ЕГЭ

Так как в базовом ЕГЭ проверяется только итоговый числовой ответ в бланке, многие задачи можно решить без раскрытия скобок и громоздкого подсчёта дискриминанта:

Метод 1: Подбор по делителям расстояния ⚡

В уравнении $\dfrac{S}{x} - \dfrac{S}{x+k} = \Delta t$ скорость $x$ почти всегда является целым делителем числа $S$ . Если расстояние равно $420$ , выписываем делители: $40, 60, 70, 84$ . Проверяем $x = 60$ : $\frac{420}{60} = 7$ ч, при увеличении на 10 скорость $70$ : $\frac{420}{70} = 6$ ч. Разница $7 - 6 = 1$ час! Ответ $60$ найден за 20 секунд без дискриминанта.

Метод 2: Правило креста для смесей 🧪

Для смесей разница между концентрациями исходных растворов и конечного обратно пропорциональна их массам:

|10\% - 25\%| = 15; \quad |30\% - 25\%| = 5

Отношение масс: $\dfrac{M_1}{M_2} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$ . На 1 часть первого сплава приходится 3 части второго (всего 4 части). Находим 1 часть: $200 : 4 = 50\text{ кг}$ . Разница в 2 части: $50 \cdot 2 = 100\text{ кг}$ .

Пошаговый алгоритм решения 20 задания

Чтобы избежать обидных ошибок при решении текстовых задач на базовом экзамене в 11 классе, придерживайтесь единого алгоритма:

Определите сюжет задачи: движение по суше ( $S = vt$ ), река ( $v \pm v_{\text{теч}}$ ), работа ( $A = pt$ ) или сплавы ( $m = M \cdot C$ ).

Введите переменную $x$ : зафиксируйте за $x$ искомую величину из вопроса задачи с учётом ограничений ( $x > 0$ ).

Заполните расчётную таблицу: внесите данные условия в две колонки, а третью выразите через формулу деления или умножения.

Составьте и решите уравнение: из большего значения вычтите меньшее и приравняйте к разнице, либо воспользуйтесь подбором целых делителей.

Перечитайте вопрос задачи: убедитесь, что вы нашли именно то, о чём спрашивали (скорость первого, второго, разницу масс или совместное время).

Опасные места в 20 задании

При анализе результатов базового экзамена чаще всего выявляются три типичные ошибки:

Забытая стоянка теплохода

Если теплоход вернулся через 21 час, а стоянка длилась 5 часов, чистое время движения составляет $21 - 5 = 16$ часов. Приравнивать сумму времён к 21 часу нельзя!

Запись в ответ промежуточной переменной

В задачах на смеси находят массу первого сплава $x = 50\text{ кг}$ и сразу вписывают её в бланк, забыв, что вопрос требовал найти разницу масс сплавов ( $150 - 50 = 100$ ).

Несогласованные единицы времени

Подстановка минут напрямую в часы. Если автомобиль прибыл на 20 минут позже, эту разницу обязательно нужно перевести в часы: $20\text{ мин} = \frac{20}{60}\text{ ч} = \frac{1}{3}\text{ ч}$ .

Тренажёр по 20 заданию базового ЕГЭ на Экзамео

Чтобы научиться быстро составлять таблицы и уверенно решать любые текстовые задачи, переходите к тренажёрам на платформе Экзамео по всем актуальным прототипам 20 задания базового ЕГЭ по математике из банка ФИПИ на движение, работу и сплавы, с подробными решениями и таблицам.

Задача 1

Движение поезда мимо пешехода

Темы2

Вариант 1

Поезд длиной 800 метров, двигаясь равномерно, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе со скоростью 6 км/ч в том же направлении параллельно путям, за 36 секунд. Найдите скорость поезда в км/ч.

Ваш ответ

Задача 2

Задача на двух бегунов

Темы1

Тестовая задача из открытого банка ФИПИ на двух спортсменов, бегущих по круговой трассеВариант 1

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда первому из них оставалось 5 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 12 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 10 км/ч меньше скорости второго.

Ваш ответ

Как грамотно выбирать переменную

Четыре вида 20 задани и шаблоны таблиц

Задачи на движение по прямой

Задачи на движение по воде

Задачи на совместную работу

Задачи на смеси, сплавы и концентрацию

Быстрые методы решения для базового ЕГЭ

Пошаговый алгоритм решения 20 задания

Опасные места в 20 задании

Тренажёр по 20 заданию базового ЕГЭ на Экзамео

Темы, которые встречаются в этом задании