Рациональные уравнения как мат модели реальных ситуаций

Решение:

Пусть $x$ км/ч — скорость автомобиля. Тогда скорость велосипедиста: $x - 50$ км/ч.

Время автомобиля: $\dfrac{120}{x}$ ч.

Время велосипедиста: $\dfrac{120}{x - 50}$ ч.

Так как автомобиль выехал на 2 часа позже и прибыл одновременно, его время на 2 часа меньше:

$\dfrac{120}{x} + 2 = \dfrac{120}{x - 50}$

Приводим к общему знаменателю $x(x - 50)$:

$120(x - 50) + 2x(x - 50) = 120x$

$120x - 6000 + 2x^2 - 100x = 120x$

$2x^2 - 100x - 6000 = 0$

$x^2 - 50x - 3000 = 0$

$x_1 = 80$, $x_2 = -37,5$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

Скорость автомобиля: 80 км/ч. Скорость велосипедиста: $80 - 50 = 30$ км/ч.

Ответ: 80 км/ч, 30 км/ч.

Решение:

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда:

Скорость по течению: $x + 3$ км/ч.

Скорость против течения: $x - 3$ км/ч.

Время по течению: $\dfrac{45}{x + 3}$ ч.

Время против течения: $\dfrac{22}{x - 3}$ ч.

Общее время: 6 ч. Составляем уравнение:

$\dfrac{45}{x + 3} + \dfrac{22}{x - 3} = 6$

ОДЗ: $x \neq -3$, $x \neq 3$.

$45(x - 3) + 22(x + 3) = 6(x^2 - 9)$

$45x - 135 + 22x + 66 = 6x^2 - 54$

$67x - 69 = 6x^2 - 54$

$6x^2 - 67x + 15 = 0$

$x_1 = 11$, $x_2 = \dfrac{5}{22}$ (не подходит, так как $x > 3$ для движения против течения)

Ответ: 11 км/ч.

Решение:

Пусть $x$ часов — время заполнения бассейна второй трубой. Тогда первая труба заполняет бассейн за $x - 3$ часа.

Производительность первой трубы: $\dfrac{1}{x - 3}$.

Производительность второй трубы: $\dfrac{1}{x}$.

Вместе за 1 час они наполняют $\dfrac{1}{2}$ бассейна:

$\dfrac{1}{x - 3} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2}$

ОДЗ: $x \neq 3$, $x \neq 0$.

$2x + 2(x - 3) = x(x - 3)$

$2x + 2x - 6 = x^2 - 3x$

$x^2 - 7x + 6 = 0$

$x_1 = 6$, $x_2 = 1$ (не подходит, так как $x > 3$, иначе $x - 3$ будет отрицательным)

Вторая труба: 6 часов. Первая труба: $6 - 3 = 3$ часа.

Ответ: 3 ч, 6 ч.

Решение:

Пусть $x$ кг — масса 60%-го раствора, $y$ кг — масса 30%-го раствора.

Из последней строки таблицы: $x + y + 5 = 20 \Rightarrow x + y = 15$.

По массе кислоты: $0,6x + 0,3y = 4$.

Решаем систему:

$\begin{cases} x + y = 15 \\ 0,6x + 0,3y = 4 \end{cases}$

Из первого уравнения $y = 15 - x$. Подставляем во второе:

$0,6x + 0,3(15 - x) = 4$

$0,6x + 4,5 - 0,3x = 4$

$0,3x = -0,5$

$x \approx -1,67$ — не подходит, так как масса не может быть отрицательной.

Вывод: Условие задачи противоречиво (невозможно получить 20%-й раствор из 60%-го, 30%-го и воды, если итоговая масса 20 кг).

Это важный урок: не всякая задача имеет решение, соответствующее реальности. Математическая модель помогает это обнаружить.

Решение:

Пусть $x$ — первоначальная концентрация (в долях). Тогда масса соли в растворе: $20x$ кг.

После добавления 5 кг соли масса раствора стала $20 + 5 = 25$ кг, а масса соли стала $20x + 5$ кг.

Новая концентрация: $\dfrac{20x + 5}{25}$.

По условию новая концентрация на 0,1 больше первоначальной:

$\dfrac{20x + 5}{25} = x + 0,1$

$20x + 5 = 25x + 2,5$

$2,5 = 5x$

$x = 0,5 = 50\%$

Ответ: 50%.