Целое рациональное уравнение - определение, методы решения, тренажёры

Целое рациональное уравнение - это уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями, то есть не содержат деления на выражение с переменной. Такие уравнения включают в себя линейные, квадратные и уравнения более высоких степеней. На этой странице вы узнаете, как их определять и решать, используя различные методы.

В 8 классе вы уже научились решать линейные и квадратные уравнения. Целые рациональные уравнения - это следующий шаг: они могут иметь степень 3, 4 и выше. Но не пугайтесь, их решение сводится к уже известным вам методам: разложению на множители, замене переменной и другим.

Целое рациональное уравнение - это уравнение вида $f(x) = g(x)$ , где $f(x)$ и $g(x)$ — целые рациональные выражения.

Целые выражения - это выражения из чисел и переменных, которые составлены с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля.

Что такое целое рациональное уравнение

Разберёмся с определением, чтобы отличать целые уравнения от других видов.

Определение

Целым рациональным уравнением называется уравнение, левая и правая части которого являются целыми рациональными выражениями.

Это означает, что в уравнении нет деления на выражение, содержащее переменную. Если такое деление есть, уравнение является дробно-рациональным.

Примеры целых рациональных уравнений:

$3x - 5 = 7$ — линейное уравнение
$x^2 - 4x + 3 = 0$ — квадратное уравнение
$2x^3 - x^2 + 5x - 1 = 0$ — уравнение третьей степени
$(x - 2)^2 - 5(x - 2) + 6 = 0$ — целое уравнение с заменой переменной
$x^4 - 9x^2 + 18 = 0$ — биквадратное уравнение

Контрпример (дробно-рациональное уравнение):

$\dfrac{x}{x - 2} + \dfrac{3}{x + 1} = 1$ — здесь есть деление на выражение с переменной $x$

📌 Важно запомнить: Ключевой признак целого уравнения - отсутствие переменной в знаменателе. Если переменная есть в знаменателе - это дробно-рациональное уравнение.

Степень целого уравнения

Каждое целое уравнение имеет свою степень. Это важно, так как степень уравнения определяет, сколько корней оно может иметь и какие методы решения применять.

Определение степени уравнения

Степенью целого уравнения называется старшая(самая большая) степень многочлена в левой части уравнения, записанного в стандартном виде $P(x) = 0$ .

Примеры:

$3x - 5 = 0$ — уравнение первой степени (линейное)
$x^2 - 4x + 3 = 0$ — уравнение второй степени (квадратное)
$x^3 - 2x^2 + 5x - 1 = 0$ — уравнение третьей степени (кубическое)
$x^4 - 9x^2 + 18 = 0$ — уравнение четвёртой степени (биквадратное)

Важное свойство: Уравнение $n$ -й степени имеет не более $n$ корней.

Методы решения целых рациональных уравнений

Для решения целых уравнений используют несколько основных методов. Выбор метода зависит от вида уравнения.

Метод разложения на множители

Идея метода: представить многочлен в левой части уравнения в виде произведения множителей. Тогда уравнение сводится к совокупности уравнений более низких степеней.

Способы разложения:
1. Вынесение общего множителя за скобки
2. Применение формул сокращённого умножения
3. Способ группировки
4. Использование теоремы Безу - подробно разобрали на странице темы Корни многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера

Пример: $x^3 - 4x = 0$

$x(x^2 - 4) = 0$

$x(x - 2)(x + 2) = 0$

Корни: $x_1 = 0$ , $x_2 = 2$ , $x_3 = -2$

Метод замены переменной

Этот метод позволяет свести сложное уравнение к более простому путём введения новой переменной.

Пример 1: $(x - 2)^2 - 5(x - 2) + 6 = 0$

Пусть $t = x - 2$ . Тогда:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

$t_1 = 2$ , $t_2 = 3$

Обратная замена:

$x - 2 = 2 \Rightarrow x = 4$

$x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5$

Ответ: $x_1 = 4$ , $x_2 = 5$

Пример 2: $(x^2 - 7)^2 - 4(x^2 - 7) - 45 = 0$

Пусть $t = x^2 - 7$ . Тогда:

$t^2 - 4t - 45 = 0$

$t_1 = 9$ , $t_2 = -5$

Обратная замена:

$x^2 - 7 = 9 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm4$

$x^2 - 7 = -5 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$

Ответ: $x = \pm4$ , $x = \pm\sqrt{2}$

Биквадратные уравнения

Биквадратное уравнение — это частный случай целого уравнения четвёртой степени.

Определение. Уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$ , где $a \neq 0$ , называется биквадратным.

Алгоритм решения:

Ввести замену $t = x^2$ (тогда $t \ge 0$ ).
Решить полученное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ .
Для каждого корня $t_i \ge 0$ решить уравнение $x^2 = t_i$ .

Пример: $x^4 - 9x^2 + 18 = 0$

Пусть $t = x^2$ , $t \ge 0$ .

$t^2 - 9t + 18 = 0$

$t_1 = 3$ , $t_2 = 6$

$x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$

$x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm\sqrt{6}$

Ответ: $x = \pm\sqrt{3}$ , $x = \pm\sqrt{6}$

Подбор целых корней многочлена

При решении целых уравнений высших степеней часто помогает теорема о целых корнях многочлена.

Теорема о целых корнях

Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена этого уравнения.

Пример: Для уравнения $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$ свободный член равен 3. Делители 3: $\pm1, \pm3$ .

Проверяем:

$x = 1$ : $1 - 3 - 1 + 3 = 0$ - корень!

Значит, $x = 1$ - корень уравнения. Затем можно разделить многочлен на $(x - 1)$ и получить квадратное уравнение для нахождения остальных корней.

💡 Совет: Теорема о целых корнях значительно сокращает перебор возможных корней при решении уравнений высших степеней. Всегда начинайте с делителей свободного члена.

Целые уравнения в ОГЭ

Целые рациональные уравнения входят в задания ОГЭ по математике. Чаще всего это 20ые задания из второй части, в которых может быть и биквадратное уравнение и уравнения с заменой переменной:

Типы заданий из ОГЭ

Биквадратные уравнения: $x^4 - 9x^2 + 18 = 0$
Уравнения с заменой переменной: $(x^2 - 7)^2 - 4(x^2 - 7) - 45 = 0$
Уравнения, сводящиеся к квадратным

Примеры решения целых уравнений

Пример 1: Разложение на множители

Решим уравнение $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$ .

Решение:

Разложим левую часть на множители способом группировки:

$x^2(x + 1) - 4(x + 1) = 0$

$(x + 1)(x^2 - 4) = 0$

$(x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0$

Корни: $x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$

Ответ: $-2, -1, 2$

Пример 2: С помощью подбора корня

Решим уравнение $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$ .

Решение:

Делители свободного члена 3: $\pm1, \pm3$ .

$x = 1$ : $1 - 3 - 1 + 3 = 0$ — корень.

Разделим $x^3 - 3x^2 - x + 3$ на $(x - 1)$ :

$(x - 1)(x^2 - 2x - 3) = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$x_1 = 3$ , $x_2 = -1$

Ответ: $-1, 1, 3$

Типичные ошибки при решении целых уравнений

Ошибки при решении уравнений чаще всего возникают при использовании не равносильных переходов (подробнее о них в теме: Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.)

Ошибка 1: Потеря корней при сокращении

Неправильно

$x^2 = 4x$

$x = 4$

(сократили на $x$ и потеряли корень $x = 0$ )

Правильно

$x^2 = 4x$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

$x_1 = 0$ , $x_2 = 4$

Ошибка 2: Путаница между целыми и дробно-рациональными уравнениями

Неправильно

$\dfrac{x}{x - 2} + 3 = 0$ считают целым уравнением

(есть деление на $x - 2$ )

Правильно

$\dfrac{x}{x - 2} + 3 = 0$ — это дробно-рациональное уравнение

Целое уравнение: $x + 3(x - 2) = 0$ (после умножения на знаменатель, но с учётом ОДЗ)

💡 Совет: При решении целых уравнений не сокращайте на множители с переменной — так вы можете потерять корни. Лучше перенесите всё в одну сторону и разложите на множители.

Тренажёры по целым рациональным уравнениям

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Целые рациональные уравнения». Мы подготовили задания разного уровня сложности - от линейных и квадратных до биквадратных уравнений и уравнений с заменой переменной.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку.