21 задание ЕГЭ по математике база - все виды ФИПИ с тренажерами и теория

На этой странице представлен разбор 21 задания ЕГЭ по базовой математике, рассмотрим все типы заданий из открытого банка ФИПИ, математические методы решения логических сюжетов и эффективные приёмы быстрого анализа крайних значений. В конце страницы вы найдете тренажёры с подробными решениями и проверкой ответов.

В структуре базового экзамена по математике в 11 классе 21 задание является завершающим и наиболее сложным, за которое даётся 1 первичный балл.

Важно понимать: в этом задании нет шаблонных формул из классических учебников. Каждая задача представляет собой логическую головоломку на подсчёт двумя способами, дискретную оценку границ (метод «плюс-минус один»), принцип Дирихле или распил отрезков. Главный секрет успеха — умение составить двойное неравенство, зажать неизвестную величину в узкие рамки и применить комбинаторный перебор.

Формат и специфика: 21 задание ЕГЭ математика база

• Многообразие сюжетов: подсчёт суммы чисел в таблицах по строкам и столбцам, распилы длинных палок с цветными метками, расселение жильцов по квартирам с ограничениями, загаданные числа с операциями в заданном диапазоне и взвешивания.

• Метод двойного счёта: общая сумма элементов системы инвариантна (не зависит от порядка вычисления). Например, сумма всех чисел в таблице, посчитанная по столбцам, строго равна сумме чисел, посчитанной по строкам.

• Форма ответа: ответом всегда служит ровно одно натуральное число или десятичная дробь, записанная в бланк ответов № 1 без каких-либо буквенных обозначений и наименований.

Все типы 21 задания ЕГЭ математика база

Анализируя банк заданий ФИПИ и сборники для подготовки, можно выделить четыре ключевых группы прототипов, на которых строится это задание:

Тип 1

Таблицы и двойной счёт

Суммы по столбцам известны, а суммы по строкам ограничены неравенством. Находится точная общая сумма таблицы, после чего число строк однозначно определяется делением.

Тип 2

Линии и распилы палок

На палке нанесены метки разных цветов. Базовый закон отрезков: $N$ распилов делят целое бревно на $(N + 1)$ кусков. Количество меток каждого цвета находится вычитанием единицы.

Тип 3

Квартиры и крайние оценки

Даны суммы жильцов в пересекающихся группах квартир (например, с 1 по 12 и с 9 по 19). Задача решается выделением общей зоны и оценкой минимально и максимально возможного числа людей.

Тип 4

Загаданные числа и делимость

Число умножают на коэффициент и корректируют слагаемыми из узкого числового диапазона. Уравнение $x \cdot A + (B - C) = \text{const}$ решается оценкой остатков и делимости.

Приёмы и лайфхаки быстрого решения 21 задания

Существуют универсальные приёмы, которые позволяют быстро и безошибочно решить это задание:

1. Приём «Сумма всех элементов инвариантна» (для таблиц)

Когда дана таблица со столбцами и строками, складываем суммы всех столбцов. Получаем точное число — абсолютную сумму всех клеток $S_{\text{всего}}$ .

Если строк всего $n$ , а сумма в каждой строке ограничена строгим интервалом $a < S_{\text{стр}} < b$ , то вся сумма таблицы строго заключена в границах: $n \cdot a < S_{\text{всего}} < n \cdot b$ . Делим число $S_{\text{всего}}$ на границы $a$ и $b$ : среди получившегося промежутка гарантированно окажется ровно одно целое число, которое и является числом строк!

2. Формула распилов «Куски = Распилы + 1»

Один распил делит палку на 2 части, два распила — на 3 части, а $k$ распилов дают $(k + 1)$ кусков. Значит, если при распиле по красным меткам вышло $7$ кусков, то самих красных меток на палке ровно $7 - 1 = 6$ штук.

Чтобы узнать, сколько кусков получится при распиле по всем меткам сразу, складываем количество меток каждого цвета (если они не совпадают) и в конце прибавляем единицу: $K_{\text{всего}} = (M_{\text{кр}} + M_{\text{жёлт}} + M_{\text{зел}}) + 1$ .

3. Метод экстремальной оценки (минимум и максимум в квартирах)

В задачах о жильцах в домах квартиры делят на три непересекающиеся группы: только первая группа, зона пересечения (общие квартиры) и только вторая группа.

Сложив данные по двум блокам, мы дважды учитываем жильцов общих квартир. Ограничение «от 1 до 3 человек в квартире» позволяет однозначно зажать число людей в общей зоне в узкую вилку, где существует единственное непротиворечивое целое решение.

Разбор реальных задач

Ниже представлены детальные образцы решений всех официальных прототипов, иллюстрирующие, как решать 21 задание егэ математика база просто и понятно:

Пример 1: Таблица с суммами в столбцах и строках

Задание: В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна $124$ , во втором — $132$ , в третьем — $142$ , а сумма чисел в каждой строке больше $27$ , но меньше $30$ . Сколько всего строк в таблице?

Пошаговый разбор:

1) Найдём общую сумму всех чисел, записанных в таблице, сложив данные по трём столбцам:

S_{\text{всего}} = 124 + 132 + 142 = 398

2) Пусть количество строк в таблице равно $N$ .

По условию сумма чисел в каждой строке строго больше $27$ , но меньше $30$ .

Так как в клетки вписаны натуральные числа, сумма чисел в каждой строке может быть равна только $28$ или $29$ .

3) Составим двойное неравенство для полной суммы $398$ через число строк $N$ :

27 \cdot N < 398 < 30 \cdot N

4) Оценим границы для $N$ :

• Из левой части: $N > \dfrac{398}{30} \implies N > 13{,}26\dots$ (то есть $N \ge 14$ ).

• Из правой части: $N < \dfrac{398}{27} \implies N < 14{,}74\dots$ (то есть $N \le 14$ ).

5) Единственным целым числом в интервале $13{,}26\dots < N < 14{,}74\dots$ является:

N = 14

(Проверка: если взять 14 строк, то при десяти строках с суммой 28 и четырёх строках с суммой 29 получаем $10 \cdot 28 + 4 \cdot 29 = 280 + 116 = 398$ — условие выполняется идеально!).

Ответ: 14.

Пример 2: Распил палки по линиям трёх цветов

Задание: На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится $7$ кусков, если по жёлтым — $8$ кусков, а если по зелёным — $14$ кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

Пошаговый разбор:

1) Число получившихся кусков всегда ровно на единицу больше числа сделанных распилов (линий):

\text{Количество линий} = \text{Количество кусков} - 1

2) Найдём количество меток каждого цвета на палке:

• Красных линий: $7 - 1 = 6$ .

• Жёлтых линий: $8 - 1 = 7$ .

• Зелёных линий: $14 - 1 = 13$ .

3) Поперечные линии разных цветов нанесены в разных местах палки (не совпадают). Найдём суммарное количество всех меток:

N_{\text{линий}} = 6 + 7 + 13 = 26

4) Если распилить палку по всем $26$ линиям, общее количество получившихся кусков будет на единицу больше числа распилов:

N_{\text{кусков}} = 26 + 1 = 27

Ответ: 27.

Пример 3: Расчёт общего числа жильцов в доме по группам квартир

Задание: В доме всего девятнадцать квартир с номерами от $1$ до $19$ . В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с $1$ -й по $12$ -ю включительно живёт суммарно $16$ человек, а в квартирах с $9$ -й по $19$ -ю включительно живёт суммарно $29$ человек. Сколько всего человек живёт в этом доме?

Пошаговый разбор:

1) Разобьём все 19 квартир на три непересекающиеся группы:

• Группа 1: квартиры с 1-й по 8-ю (всего 8 квартир). Пусть в них живёт $A$ человек.

• Группа 2 (пересечение): квартиры с 9-й по 12-ю (всего 4 квартиры: 9, 10, 11, 12). Пусть в них живёт $B$ человек.

• Группа 3: квартиры с 13-й по 19-ю (всего 7 квартир). Пусть в них живёт $C$ человек.

2) Запишем данные из условия задачи:

A + B = 16 \quad (\text{квартиры 1–12})

B + C = 29 \quad (\text{квартиры 9–19})

Всего в доме живёт $S = A + B + C$ человек.

3) Оценим количество людей в группе 2 (4 квартиры: с 9-й по 12-ю):

• В каждой квартире живёт не меньше 1 человека, значит: $B \ge 4 \cdot 1 = 4$ .

• В каждой квартире живёт не больше 3 человек, значит: $B \le 4 \cdot 3 = 12$ .

4) Оценим группу 1 (8 квартир: с 1-й по 8-ю):

В них живёт не меньше 1 человека в каждой, значит $A \ge 8 \cdot 1 = 8$ .

Так как $A + B = 16$ , то $B = 16 - A \le 16 - 8 = 8$ .

Следовательно, $B \le 8$ .

5) Оценим группу 3 (7 квартир: с 13-й по 19-ю):

В них живёт не больше 3 человек в каждой, значит $C \le 7 \cdot 3 = 21$ .

Так как $B + C = 29$ , то $B = 29 - C \ge 29 - 21 = 8$ .

Следовательно, $B \ge 8$ .

6) Мы получили два строгих ограничения на число людей в квартирах 9–12: $B \le 8$ и $B \ge 8$ .

Отсюда единственно возможное значение:

B = 8

7) Найдём общее количество жильцов во всём доме:

S = A + B + C = (A + B) + (B + C) - B = 16 + 29 - 8 = 37

Ответ: 37.

Пример 4: Загаданное число с операциями в заданном диапазоне

Задание: Про натуральные числа $A, B$ и $C$ известно, что каждое из них больше $6$ , но меньше $10$ . Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$ , потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли $C$ . Получилось $186$ . Какое число было загадано?

Пошаговый разбор:

1) Пусть загаданное натуральное число равно $x$ .

Числа $A, B, C$ — натуральные и лежат строго между 6 и 10, то есть $A, B, C \in \{7, 8, 9\}$ .

2) Запишем условие в виде алгебраического уравнения:

x \cdot A + B - C = 186 \implies x \cdot A = 186 - (B - C)

3) Оценим разность $(B - C)$ при $B, C \in \{7, 8, 9\}$ :

• Наименьшее значение разности: $7 - 9 = -2$ .

• Наибольшее значение разности: $9 - 7 = 2$ .

Следовательно, величина $(B - C)$ может принимать только целые значения от $-2$ до $+2$ : $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ .

4) Тогда величина произведения $x \cdot A = 186 - (B - C)$ обязана лежать в узком диапазоне от $184$ до $188$ :

x \cdot A \in \{184, 185, 186, 187, 188\}

5) Так как $x$ — натуральное число, произведение $x \cdot A$ обязано нацело делиться на цифру $A \in \{7, 8, 9\}$ .

Проверим делимость чисел из набора $\{184, 185, 186, 187, 188\}$ на 7, 8 и 9:

• Делимость на $9$ : сумма цифр должна делиться на 9. Ни одно число не делится на 9 ( $1+8+6 = 15$ не делится).

• Делимость на $8$ :

$184 : 8 = 23$ (делится нацело!).

При $x \cdot A = 184$ получаем $A = 8$ , а загаданное число $x = 23$ .

Проверим разность: $184 = 186 - (B - C) \implies B - C = 2$ .

При цифрах из $\{7, 8, 9\}$ разность $B - C = 2$ легко достигается при $B = 9$ и $C = 7$ .

Все условия соблюдены: $23 \cdot 8 + 9 - 7 = 184 + 2 = 186$ !

• Проверим другие делители:

$184 : 7 = 26{,}28\dots$ (нет).

$187 : 7 = 26{,}71\dots$ (нет).

$188 : 8 = 23{,}5$ (нет).

Единственное натуральное загаданное число: $x = 23$ .

Ответ: 23.

Как решать 21 задание ЕГЭ математика база

Чтобы успешно справляться с нестандартными формулировками 21 линии, действуйте по следующему плану:

Найдите величину-инвариант: сложите данные по всем колонкам, цветам или непересекающимся группам, чтобы получить общую фиксированную сумму системы.

Составьте двойное неравенство: выразите общую сумму через неизвестное количество строк или элементов, используя крайние допустимые границы из условия.

Выделите единственное целое число: разделите границы неравенства на коэффициенты. Получившийся интервал гарантированно содержит ровно одно целое натуральное число.

Выполните проверку найденного ответа: подставьте число обратно в исходный сюжет (распределите строки, посчитайте куски или проверьте жильцов) и убедитесь, что противоречий нет.

Самые частые ошибки

При выполнении 21 номера выпускники чаще всего допускают три обидные ошибки:

Путаница между распилами и кусками

Школьники просто складывают количество кусков $7 + 8 + 14 = 29$ вместо перевода в линии ( $6 + 7 + 13 = 26$ распилов) с последующим прибавлением единицы ( $26 + 1 = 27$ ).

Неучёт строгих неравенств в таблицах

Фраза «больше 27, но меньше 30» означает только целые числа 28 и 29. Если включить в расчёт границы 27 или 30, интервал для числа строк размоется и ответ станет неверным.

Двойной счёт общей группы квартир

При сложении $16 + 29 = 45$ забывают, что жильцы квартир с 9 по 12 посчитаны дважды. Без вычитания общей части $B = 8$ ответ получается завышенным.

Тренажёр по 21 заданию базового ЕГЭ на Экзамео

В тренажерах вы найдете абсолютно все виды 21 задания ЕГЭ по математике базового уровня с подробными решениями и автоматической проверкой ответов.

Задача 1

Подсчёт выпавших листов

Темы2

Логическая задача на нумерацию страниц и листов книги.Вариант 1

В книге выпал блок идущих подряд листов. Страница, предшествующая выпавшим листам, имеет номер 582, а первая страница, идущая сразу после выпавших листов, записывается теми же цифрами в другом порядке. Сколько всего листов выпало из книги?

Ваш ответ

Задача 2

Распилы палки по цветным поперечным линиям

Темы1

Комбинаторно-логическая задача на количество разрезов.Вариант 1

На бревне отмечены поперечные линии жёлтого, синего и зелёного цвета. Если распилить бревно по жёлтым линиям, получится 8 поленьев, если по синим — 13 поленьев, а если по зелёным — 10 поленьев. Сколько поленьев получится, если распилить бревно по линиям всех трёх цветов?

Ваш ответ

Все типы 21 задания ЕГЭ математика база

Приёмы и лайфхаки быстрого решения 21 задания

Разбор реальных задач

Как решать 21 задание ЕГЭ математика база

Самые частые ошибки

Тренажёр по 21 заданию базового ЕГЭ на Экзамео

Темы, которые встречаются в этом задании