21 задание ОГЭ по математике - все текстовые задачи с объяснениями

Задание 21 ОГЭ по математике — это классическая сюжетная текстовая задача с развёрнутым ответом из второй части экзаменационного КИМа, за верное решение которой даётся 2 первичных балла. Задача проверяет умение строить математические модели реальных процессов: переводить условие в наглядную таблицу, составлять рациональное уравнение, находить его корни и отбирать ответ с учётом физического и геометрического смысла величин.

На этой странице систематизированы все 4 ключевых вида текстовых задач Задания 21 из открытого банка ФИПИ: движение по прямой, движение по воде (по течению и против течения), совместная работа и задачи на смеси, сплавы и концентрацию. Для каждого типа представлена универсальная табличная схема, алгоритм составления уравнения и образец идеального оформления на бланке № 2 по критериям экспертов.

Отработать все прототипы двадцать первой линии помогут интерактивные тренажёры Задания 21 ОГЭ по математике с пошаговыми эталонами решений.

Все 4 вида задач в Задании 21 ОГЭ

В банке ФИПИ встречаются следующие категории сюжетных задач:

1. Движение по прямой 🚗

Движение навстречу, вдогонку, с опережением или остановкой в пути. Связь параметров: $S = v \cdot t$ .

2. Движение по воде 🚤

Движение катеров, моторных лодок и плотов по реке и в неподвижной воде с учётом скорости течения реки ( $v_{\text{теч}}$ ).

3. Совместная работа ⚙️

Изготовление деталей, наполнение резервуаров трубами или выполнение заказа бригадами. Связь параметров: $A = p \cdot t$ .

4. Проценты, смеси и сплавы 🧪

Смешивание растворов разной концентрации, сплавление металлов с получением новой процентной массы сухого вещества.

Табличный метод и составление уравнений по всем видам

Главный ключ к решению любой задачи 21 номера — таблица из трёх базовых колонок. Две колонки заполняются по условию задачи (одна из них содержит неизвестную переменную $x$ ), а третья колонка выражается через формулу связи. Именно по третьей колонке составляется итоговое уравнение.

Вид 1: Задачи на движение по прямой

Формула связи: время выражается как $t = \dfrac{S}{v}$ . За $x$ обычно принимают скорость первого или второго участника движения.

Участник движения

Расстояние ( $S$ , км)

Скорость ( $v$ , км/ч)

Время ( $t$ , ч)

1-й автомобиль

$S$

$x$

$\dfrac{S}{x}$

2-й автомобиль

$S$

$x - k$

$\dfrac{S}{x - k}$

Как составить уравнение: Сравниваем времена в пути. Тот, кто ехал медленнее, потратил больше времени на $\Delta t$ часов (или прибыл позже/выехал раньше):

t_{\text{медленнее}} - t_{\text{быстрее}} = \Delta t \implies \dfrac{S}{x - k} - \dfrac{S}{x} = \Delta t

Вид 2: Задачи на движение по воде

Правила скоростей:
• Скорость по течению: $v_{\text{по}} = v_{\text{соб}} + v_{\text{теч}}$
• Скорость против течения: $v_{\text{пр}} = v_{\text{соб}} - v_{\text{теч}}$
• Скорость плота равна скорости течения реки ( $v_{\text{плота}} = v_{\text{теч}}$ , так как у него нет собственного мотора).

Направление

Расстояние ( $S$ , км)

Скорость ( $v$ , км/ч)

Время ( $t$ , ч)

По течению

$S$

$x + v_{\text{теч}}$

$\dfrac{S}{x + v_{\text{теч}}}$

Против течения

$S$

$x - v_{\text{теч}}$

$\dfrac{S}{x - v_{\text{теч}}}$

Как составить уравнение: Если лодка поплыла туда и обратно, а суммарное время составило $T_{\text{всего}}$ часов с учётом стоянки $t_{\text{ст}}$ часов:

t_{\text{по}} + t_{\text{пр}} + t_{\text{ст}} = T_{\text{всего}} \implies \dfrac{S}{x + v_{\text{теч}}} + \dfrac{S}{x - v_{\text{теч}}} = T_{\text{всего}} - t_{\text{ст}}

Вид 3: Задачи на совместную работу

Формула связи: работа $A = p \cdot t$ , где $p$ — производительность (скорость работы в единицу времени). Если весь объём работы не задан числом, его принимают за единицу ( $A = 1$ ). Тогда производительность равна $p = \dfrac{1}{t}$ .

Исполнитель

Работа ( $A$ )

Время ( $t$ , ч/дни)

Производительность ( $p = \frac{A}{t}$ )

1-й рабочий

$A$ (или $1$ )

$x$

$\dfrac{1}{x}$

2-й рабочий

$A$ (или $1$ )

$x + k$

$\dfrac{1}{x + k}$

Вместе

$1$

$t_{\text{совм}}$

$\dfrac{1}{t_{\text{совм}}}$

Как составить уравнение: При совместной работе их производительности складываются:

p_1 + p_2 = p_{\text{совм}} \implies \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + k} = \dfrac{1}{t_{\text{совм}}}

Вид 4: Задачи на проценты, смеси и сплавы

Формула связи: масса чистого (активного) вещества $m_{\text{чист}} = M_{\text{общ}} \cdot \dfrac{C\%}{100\%}$ .

Раствор / Сплав

Масса смеси ( $M$ , кг)

Концентрация ( $C$ )

Масса чистого в-ва ( $m$ )

1-й раствор

$M_1$

$p_1\%$

$M_1 \cdot \dfrac{p_1}{100}$

2-й раствор

$M_2$

$p_2\%$

$M_2 \cdot \dfrac{p_2}{100}$

Смесь (1 + 2)

$M_1 + M_2$

$p_3\%$

$(M_1 + M_2) \cdot \dfrac{p_3}{100}$

Как составить уравнение: Масса чистого вещества в итоговой смеси строго равна сумме масс чистого вещества из исходных компонентов (закон сохранения массы):

m_1 + m_2 = m_3 \implies M_1 \cdot \dfrac{p_1}{100} + M_2 \cdot \dfrac{p_2}{100} = (M_1 + M_2) \cdot \dfrac{p_3}{100}

Оформление решения Задания 21 на бланке ответов № 2

Эксперты проверяют задание 21 по строгим критериям (максимум 2 первичных балла). Чтобы не потерять баллы на оформлении, решение должно содержать 4 обязательных блока:

Обязательные этапы оформления бланка № 2: 📝

1. Введение переменной и единиц измерения: Обязательно напишите вводную фразу: «Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч ( $x > 0$ )». Если не указать единицы измерения или не ввести переменную, решение могут аннулировать!

2. Таблица или описание связей: Нарисуйте аккуратную таблицу или запишите словами, как выражаются время, расстояние или работа каждого объекта.

3. Составление и решение уравнения: Напишите пояснение: «Зная, что первый прибыл на 2 часа раньше, составим уравнение». Решите полученное дробно-рациональное уравнение, найдите оба корня через дискриминант.

4. Отбор корней по смыслу задачи: Если один из корней получился отрицательным ( $x < 0$ ), обязательно напишите: «не удовлетворяет условию $x > 0$ (скорость не может быть отрицательной)».

5. Чёткий ответ: Запишите слово Ответ с обязательным указанием наименования единиц (например, Ответ: 60 км/ч).

Эталонные примеры оформления для бланка № 2

Рассмотрите полные решения реальных задач 21 линии из открытого банка ФИПИ.

Пример 1: Задача на движение по прямой (эталон бланка № 2)

Задание: Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью $15\text{ км/ч}$ . Через час после него со скоростью $20\text{ км/ч}$ из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист. Через сколько часов после своего выезда второй велосипедист догонит первого?

Образец записи на бланке № 2:

Пусть время движения второго велосипедиста до момента встречи равно $t$ часов ( $t > 0$ ).
Тогда время движения первого велосипедиста равно $(t + 1)$ часов, так как он выехал на $1$ час раньше.

Составим таблицу движения:

| Участник | Скорость ( $v$ , км/ч) | Время ( $t$ , ч) | Расстояние ( $S$ , км) |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 1-й велосипедист | $15$ | $t + 1$ | $15(t + 1)$ |
| 2-й велосипедист | $20$ | $t$ | $20t$ |

До места встречи оба велосипедиста проехали одинаковое расстояние. Составим уравнение:

20t = 15(t + 1)

20t = 15t + 15

20t - 15t = 15 \implies 5t = 15 \implies t = 3

Найденное значение $t = 3$ удовлетворяет условию $t > 0$ . Значит, второй велосипедист догонит первого через $3$ часа.

Ответ: через 3 часа.

Пример 2: Задача на движение по воде (по и против течения)

Задание: Моторная лодка прошла против течения реки $24\text{ км}$ и вернулась обратно, затратив на обратный путь на $1\text{ час}$ меньше. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна $2\text{ км/ч}$ .

Образец записи на бланке № 2:

Пусть собственная скорость лодки равна $x$ км/ч. Так как лодка может плыть против течения со скоростью $2\text{ км/ч}$ , должно выполняться условие $x > 2$ .
• Скорость по течению реки: $(x + 2)$ км/ч.
• Скорость против течения реки: $(x - 2)$ км/ч.

Составим таблицу:

| Направление | Расстояние ( $S$ , км) | Скорость ( $v$ , км/ч) | Время ( $t$ , ч) |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| По течению | $24$ | $x + 2$ | $\dfrac{24}{x + 2}$ |
| Против течения | $24$ | $x - 2$ | $\dfrac{24}{x - 2}$ |

По условию задачи путь против течения занял на $1$ час больше, чем по течению. Составим уравнение:

\dfrac{24}{x - 2} - \dfrac{24}{x + 2} = 1

Домножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 2)(x + 2) \neq 0$ :

24(x + 2) - 24(x - 2) = (x - 2)(x + 2)

24x + 48 - 24x + 48 = x^2 - 4

96 = x^2 - 4 \implies x^2 = 100 \implies x_1 = 10, \quad x_2 = -10

Корень $x = -10$ не удовлетворяет условию $x > 2$ (скорость лодки не может быть отрицательной).
Следовательно, собственная скорость моторной лодки равна $10\text{ км/ч}$ .

Ответ: 10 км/ч.

Тренажёры по 21 заданию ОГЭ по математике

Научиться уверенно решать и идеально оформлять Задание 21 ОГЭ по математике на максимальные 2 первичных балла можно с помощью интерактивных онлайн-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео». Наш банк содержит сотни актуальных прототипов второй части открытого банка ФИПИ на все 4 вида задач: движение по суше, движение по реке, совместную работу и сплавы/смеси.

Интерактивная система проверяет ответы и предоставляет подробные пошаговые решения с готовыми таблицами, составлением уравнений и критериальным оформлением бланка № 2 к каждому номеру. Занимайтесь на Экзамео в комфортном ритме, доводите решение текстовых задач до автоматизма и забирайте максимальные баллы на ОГЭ по математике!

Задача 1

Движение поезда мимо пешехода

Темы2

Вариант 1

Поезд длиной 800 метров, двигаясь равномерно, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе со скоростью 6 км/ч в том же направлении параллельно путям, за 36 секунд. Найдите скорость поезда в км/ч.

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Задача на двух бегунов

Темы1

Тестовая задача из открытого банка ФИПИ на двух спортсменов, бегущих по круговой трассеВариант 1

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда первому из них оставалось 5 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 12 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 10 км/ч меньше скорости второго.