МатематикаЕГЭ математика

Площади и периметры всех фигур планиметрии ЕГЭ по математике

Раздел посвящён вычислению площадей и периметров основных плоских фигур: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба и круга. Рассматриваются свойства фигур, формулы для нахождения этих величин, а также их применение при решении практических задач. Тренируются выбирать нужную формулу и преобразовывать данные.

Карта темы

На этой странице собраны абсолютно все формулы площадей и периметров фигур планиметрии(плоских фигур). В основном этот материал понадобится в первом задании ЕГЭ по математике профильного уровня, но может быть так же полезен для всех задач на геометрию и стереометрию.

Площадь и периметер, их основные свойства для ЕГЭ по математике

Прежде чем переходить к изучению конкретных формул, важно вспомнить что такое периметр и площади в геометрии:

Периметр P:

Это суммарная длина всех граней (сторон) или внешней границы плоской геометрической фигуры. Выражается в линейных единицах измерения (см, м). Для любого многоугольника со сторонами $a_1, a_2, \dots, a_n$ периметр определяется как $P = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ .

В формулах площади на ЕГЭ по математике также часто используется полупериметр $p = \dfrac{P}{2}$ .

Площадь S:

Это двумерная величина, характеризующая размер области плоскости, ограниченной замкнутым контуром фигуры. Измеряется в квадратных единицах ( $\text{см}^2$ , $\text{м}^2$ ).

Основные аксиомы площади:

• Положительность: Площадь любой геометрической фигуры всегда выражается строго положительным числом ( $S > 0$ ).

• Равновеликость равных фигур: Равные фигуры имеют равные площади ( $F_1 = F_2 \implies S_1 = S_2$ ).

• Аддитивность: Если фигура разделена на несколько частей без общих внутренних точек, её общая площадь равна сумме площадей всех этих частей ( $S = S_1 + S_2 + \dots + S_n$ ).

Площадь треугольника - все формулы для ЕГЭ по математике

Треугольник — ключевая фигура планиметрии, его начинают проходить ещё в 7 классе, а на ЕГЭ задачи на треугольник встречаются и в первой части и во второй, при чем на ЕГЭ по математике очень часто вы будете иметь дело именно с площадью треугольника.

Выбор формул площади и периметра зависит от известных по условию элементов. Большая часть 1 задания на профильном ЕГЭ по математике связана именно с треугольниками, поэтому уделите формулам особое внимание перед их отработкой на тренажерах.

Произвольный треугольник - все формулы площади

Подходит для любого треугольника со сторонами $a, b, c$ , высотой $h_a$ , углом $\gamma$ между $a$ и $b$ , полупериметром $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ , а также радиусами вписанной ( $r$ ) и описанной ( $R$ ) окружностей.

Через сторону и высоту / угол

S = \dfrac{1}{2} a h_a

S = \dfrac{1}{2} a b \sin \alpha

α - угол между сторонами a и b, h - высота проведенная к основанию a

Формула Герона

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

где p - полупериметр

p = \frac{a + b + c}2

Очень удобная формула, если известны все стороны, но нет углов

Через радиусы окружностей

S = p \cdot r

S = \dfrac{a b c}{4R}

в формулах r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности, p - полупериметр, a,b,c - стороны треугольника

Теперь давайте разберемся с особыми видами треугольников, которые тоже встречаются на экзамене в 11 классе,

Особенные треугольники:

Прямоугольный треугольник

Треугольник с прямым углом $90^\circ$ , катетами $a, b$ , гипотенузой $c$ ( $c = \sqrt{a^2+b^2}$ ) и высотой $h_c$ , опущенной на гипотенузу.

Площадь ( $S$ )

S = \dfrac{1}{2} a b = \dfrac{1}{2} c h_c

Периметр ( $P$ )

P = a + b + c

Связь с радиусами $r$ и $R$

r = \dfrac{a + b - c}{2}, R = \dfrac{c}{2}

Равнобедренный треугольник

Треугольник, у которого две боковые стороны равны $a$ , а основание равно $b$ . Высота, проведённая к основанию, равна $h_b = \sqrt{a^2 - \left(\dfrac{b}{2}\right)^2}$ - вычисляется из теоремы Пифагора.

Площадь ( $S$ )

S = \dfrac{1}{2} b h_b = \dfrac{1}{2} a^2 \sin \alpha

Периметр ( $P$ )

P = 2a + b

Особенности углов

Углы при основании равны ( $\alpha = \beta$ )

Равносторонний (правильный) треугольник

Для правильного треугольника существуют особенные формулы площадей, почти все выражения ниже выводятся при помощи тригонометрии, синусов, косинусов и тангенса угла в 60 градусов. Использование этих формул на ЕГЭ необязательно, но они могут очень сильно ускорить решение задач.

Площадь и Периметр

S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}

Вписанный радиус ( $r$ )

r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} = \dfrac{h}{3}

Описанный радиус ( $R$ )

R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2h}{3}

Четырёхугольники

Ещё один достаточно большой блок первых заданий на ЕГЭ по математике связан с четырехугольниками - ниже собрали все формулы по всем видам четырехугольников.

Параллелограмм

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны ( $a, b$ ). $\alpha$ — угол между сторонами, $\varphi$ — угол между диагоналями $d_1, d_2$ .

Через высоту / угол

S = a \cdot h_a = b \cdot h_b

S = a b \sin \alpha

Через диагонали

S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi

Периметр и свойства

P = 2(a + b)

d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)

Прямоугольник

Параллелограмм, у которого все углы прямые ( $90^\circ$ ). $a, b$ — стороны, $d = \sqrt{a^2+b^2}$ — диагональ, $\varphi$ — угол между диагоналями.

Площадь ( $S$ )

S = a \cdot b

S = \dfrac{1}{2} d^2 \sin \varphi

Периметр ( $P$ )

P = 2(a + b)

Описанный радиус $R$

R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}

Ромб

Параллелограмм, у которого все стороны равны $a$ . Диагонали $d_1, d_2$ взаимно перпендикулярны ( $\varphi = 90^\circ$ ).

Через высоту / угол

S = a \cdot h

S = a^2 \sin \alpha

Через диагонали

S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2

Периметр и радиус $r$

P = 4a

r = \dfrac{h}{2} = \dfrac{d_1 d_2}{4a}

Квадрат

Правильный четырёхугольник со стороной $a$ , у которого все стороны равны и все углы прямые. Диагональ равна $d = a\sqrt{2}$ .

Площадь ( $S$ )

S = a^2 = \dfrac{1}{2} d^2

Периметр ( $P$ )

P = 4a

Радиусы $r$ и $R$

r = \dfrac{a}{2}, \quad R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}

Трапеция

Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания $a, b$ ), а две другие — нет (боковые стороны $c, d$ ). $h$ — высота, $m = \dfrac{a+b}{2}$ — средняя линия.

Площадь ( $S$ )

S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h

S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi

Периметр ( $P$ )

P = a + b + c + d

(для равнобедренной $P = a + b + 2c$ )

Описанная равнобедренная

c = m, \quad h = 2r = \sqrt{a b}

Произвольный четырёхугольник

Универсальные зависимости для любого выпуклого четырёхугольника со сторонами $a, b, c, d$ , диагоналями $d_1, d_2$ и полупериметром $p = \dfrac{P}{2}$ .

Площадь через диагонали

S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi

Описанный около $r$

S = p \cdot r

(условие: $a + c = b + d$ )

Вписанный в окружность (Брахмагупта)

S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}

(условие: $\alpha + \gamma = 180^\circ$ )

Круг, Окружность и их части

Геометрические фигуры, ограниченные окружностью радиуса $R$ (или диаметром $D = 2R$ ). $\alpha^\circ$ — градусная мера центрального угла.

Круг, Длина окружности и Сектор

Круг и Окружность

Площадь:

S = \pi R^2 = \dfrac{\pi D^2}{4}

Длина/периметр

C = 2\pi R = \pi D

()

Круговой сектор

S = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} = \dfrac{1}{2} L R

L = \dfrac{\pi R \alpha}{180^\circ}

(дуга)

Сегмент и Кольцо

S_{\text{сегм}} = S_{\text{сект}} \pm S_{\triangle}, S_{\text{кольца}} = \pi(R_1^2 - R_2^2)

4. Правильные многоугольники

Выпуклый многоугольник, у которого все $n$ сторон и все $n$ углов равны между собой. $a$ — сторона многоугольника.

Периметр и Углы

P = n \cdot a, \sum \alpha = (n - 2) \cdot 180^\circ,\alpha_n = \dfrac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}

Площадь через $r$ и $R$

S = p \cdot r = \dfrac{1}{2} P \cdot r, S = \dfrac{1}{2} n R^2 \sin\left(\dfrac{360^\circ}{n}\right)

Правильный шестиугольник

P = 6a, \quad S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2, r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, \quad R = a

Лайфхаки для планиметрии в ЕГЭ!

1. Отношение периметров и площадей подобных фигур:
• Периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия: $\dfrac{P_1}{P_2} = k$ .
• Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$ .
(Пример: Если средняя линия отсекает треугольник со сторонами в 2 раза меньше исходного ( $k = \dfrac{1}{2}$ ), то его периметр уменьшится в 2 раза, а площадь составит $k^2 = \dfrac{1}{4}$ от площади всего треугольника).
2. Треугольники с общей высотой:
Площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как длины их оснований: $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{a_1}{a_2}$ .
3. Свойства медианы:
Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника ( $S_1 = S_2 = \dfrac{1}{2} S_{\text{общ}}$ ). Все 3 медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Пошаговый алгоритм решения планиметрических задач

При решении Заданий 1, 3 и 17 профильного ЕГЭ по математике придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Проанализируйте дано задачи: определите вид фигуры и то, какие элементы известны (стороны, высоты, диагонали, углы, радиусы).

Выберите наиболее эффективную формулу: подберите формулу площади или периметра, которая требует наименьшего количества дополнительных построений.

Вычислите искомую величину: подставьте числа, аккуратно проверьте расчёты и запишите ответ.

Разбор типовых задач ЕГЭ по математике

Рассмотрите решения характерных прототипов Задания 1 планиметрии из открытого банка ФИПИ.

Пример 1: Площадь параллелограмма и его высоты (Задание 1)

Задание: Стороны параллелограмма равны $9\text{ см}$ и $12\text{ см}$ . Высота, опущенная на меньшую сторону, равна $8\text{ см}$ . Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

Подробное решение:

1) Площадь одного и того же параллелограмма можно найти двумя способами через разные основания и соответствующие им высоты:

S = a \cdot h_a = b \cdot h_b

2) Пусть $a = 9\text{ см}$ , тогда опущенная на неё высота $h_a = 8\text{ см}$ .
Вычислим площадь параллелограмма:

S = 9 \cdot 8 = 72\text{ см}^2

3) Пусть вторая (большая) сторона $b = 12\text{ см}$ , а искомая высота — $h_b$ .
Приравняем площадь:

72 = 12 \cdot h_b \implies h_b = \dfrac{72}{12} = 6\text{ см}

Ответ: $6$ .

Пример 2: Площадь трапеции через периметр и высоты

Задание: Основания равнобедренной трапеции равны $7$ и $17$ , а ее периметр равен $44$ . Найдите площадь трапеции.

Подробное решение:

1) Пусть основания трапеции $a = 7$ , $b = 17$ , а боковые стороны $c$ равны между собой (трапеция равнобедренная).

2) Вычислим боковую сторону $c$ из формулы периметра:

P = a + b + 2c \implies 44 = 7 + 17 + 2c \implies 44 = 24 + 2c \implies 2c = 20 \implies c = 10

3) Проведём две высоты из вершин меньшего основания на большее. Они отсекают прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника.
Катет каждого треугольника равен полуразности оснований:

k = \dfrac{b - a}{2} = \dfrac{17 - 7}{2} = 5

4) Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $c = 10$ и катетом $k = 5$ по теореме Пифагора находим высоту трапеции $h$ :

h = \sqrt{c^2 - k^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}

5) Вычислим площадь трапеции:

S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = \dfrac{7 + 17}{2} \cdot 5\sqrt{3} = 12 \cdot 5\sqrt{3} = 60\sqrt{3}

Ответ: $60\sqrt{3}$ .

Тренажёры по теме «Площади и периметры плоских фигур» на ЕГЭ по математике

Отработать вычисление площадей и периметров плоских фигур можно с помощью интерактивных тренажёров на образовательной платформе «Экзамео». Наша база содержит сотни актуальных прототипов Заданий 1, 3 и 17 профильного и базового ЕГЭ по математике из банка ФИПИ.

Интерактивная система проверяет полученные ответы в реальном времени и показывает подробные пошаговые решения с наглядными геометрическими чертежами к каждой задаче. Занимайтесь на Экзамео в удобном ритме, повторяйте формулы и гарантированно забирайте максимальные баллы на экзамене!

Задача 1

Площадь равнобедренной трапеции

Темы2

Задачи на площадь равнобедренной трапецииВариант 1

Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 11, а ее периметр равен 26. Найдите площадь трапеции.

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Расчет длины забора для участка земли многоугольной формы

Темы1

Курсы3

Задача практической геометрии на расчет длины забора, огораживающего земельный участок (прямоугольный, Г-образный или с прямоугольным выступом). Одна из границ участка примыкает к естественной или искусственной преграде (реке, озеру, лесополосе, стене соседнего строения или каналу), где забор ставить не требуется.Вариант 1

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план