Равнобедренная трапеция: свойства, признаки, формулы и углы

На этой странице разбираем тему «Равнобедренная трапеция» по геометрии для 8 класса. В курсе геометрии 8 класса равнобедренная (или равнобокая) трапеция занимает особое место среди четырехугольников. Благодаря своей симметрии она обладает уникальными свойствами углов, диагоналей и отрезков оснований, которые заметно упрощают решение геометрических задач.

Теоретический справочник: всё про равнобедренную трапецию

Ниже разобраны определение, ключевые свойства, признаки равнобедренной трапеции и формулы для вычислений - настоятельно рекомендуем записать и запомнить их, поскольку большое количество задач по геометрии в 8 классе направлены именно на них.

Определение равнобедренной трапеции

Определение равнобедренной трапеции 🎯

Равнобедренной (или равнобокой) трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны между собой.

• Параллельные стороны называют основаниями ( $AD \parallel BC, AD \neq BC$ ).

• Непараллельные равные стороны называют боковыми сторонами ( $AB = CD$ ).

Свойства равнобедренной трапеции

В школьной программе за 8 класс изучают следующие фундаментальные свойства равнобедренной трапеции по геометрии:

Равенство углов при основании

Углы при каждом из оснований равны между собой: $\angle A=\angle D$ (при нижнем основании), $\angle B=\angle C$ (при верхнем основании).

Равенство диагоналей

Диагонали равнобедренной трапеции равны: AC = BD

Равнобедренная трапеция ABCD с диагоналями

Свойства отрезков большего основания

Если из вершин тупых углов опустить две высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$ , то:

• Крайние отрезки равны: $AH = KD = \dfrac{AD - BC}{2}$ (полуразность оснований).

• Большой отрезок основания равен: $HD = AK = \dfrac{AD + BC}{2}$ (полусумма оснований, то есть средней линии!).

Равнобедренная трапеция ABCD с двумя высотами

Сумма противоположных углов

Сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна $180^\circ$ ( $\angle A + \angle C = 180^\circ$ , $\angle B + \angle D = 180^\circ$ ).

Окружность

Около равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность (это единственный вид трапеции, обладающий таким свойством!)

Признаки равнобедренной трапеции

Чтобы доказать в задаче, что перед нами именно равнобедренная трапеция, используют следующие признаки равнобедренной трапеции (8 класс):

1. Если у трапеции углы при одном из оснований равны ( $\angle A = \angle D$ ), то она равнобедренная.

2. Если у трапеции диагонали равны ( $AC = BD$ ), то она равнобедренная.

3. Если у трапеции сумма противоположных углов равна $180^\circ$ , то она равнобедренная.

Как найти углы равнобедренной трапеции? 💡

Так как боковые стороны параллельны, сумма углов при любой боковой стороне равна $180^\circ$ ( $\angle A + \angle B = 180^\circ$ ).
Если в задаче за 8 класс известен хотя бы один угол, вы мгновенно знаете все четыре:
• Второй угол при том же основании равен данному.
• Два других угла равны $180^\circ$ минус известный угол!

Площадь равнобедренной трапеции

В геометрии 8 класса площадь равнобедренной трапеции находится по классической формуле или через её особенности:

• Через основания и высоту: $S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$ , где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.

• Через среднюю линию: $S = m \cdot h$ , где $m = \dfrac{a + b}{2}$ .

• Если диагонали взаимно перпендикулярны ( $AC \perp BD$ ): высота равнобедренной трапеции равна её средней линии ( $h = m$ ), а площадь вычисляется по формуле:

S=h^2\quad\text{или}\quad S=\left(\dfrac{a + b}{2}\right)^{}

Пошаговый алгоритм решения задач на равнобедренную трапецию в 8 классе

При решении задач на равнобедренную трапецию на самостоятельных и контрольных работах в 8 классе придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Проведите две высоты из тупых углов: высоты $BH$ и $CK$ отсекут два равных прямоугольных треугольника по краям и прямоугольник посередине.

Найдите крайние отрезки оснований: вычтите из большего основания меньшее и разделите пополам ( $AH = \dfrac{a - b}{2}$ ).

Используйте теорему Пифагора или прямоугольный треугольник: найдите высоту или боковую сторону, а затем рассчитайте искомую величину (угол или площадь).

Разбор типовых задач из контрольных работ на равнобедренную трапецию

Рассмотрите решения задач, характерных для уроков геометрии в 8 классе.

Пример 1: Как найти углы равнобедренной трапеции (8 класс)

Задание: В равнобедренной трапеции разность двух противолежащих углов равна $40^\circ$ . Найдите все углы этой трапеции.

Подробное решение:

1) Пусть острый угол трапеции равен $x$ , а тупой угол равен $y$ . По свойству углов при боковой стороне их сумма равна $180^\circ$ :
$x + y = 180^\circ$ .

2) Противолежащие углы равнобедренной трапеции — это острый угол $x$ и тупой угол $y$ . По условию их разность равна $40^\circ$ :
$y - x = 40^\circ \implies y = x + 40^\circ$ .

3) Подставим $y$ в первое уравнение:
$x + (x + 40^\circ) = 180^\circ \implies 2x = 140^\circ \implies x = 70^\circ$ .

4) Найдем второй (тупой) угол:
$y = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$ .

5) По свойствам равнобедренной трапеции 8 класса углы при основаниях равны. Значит, у трапеции два угла по $70^\circ$ и два угла по $110^\circ$ .

Ответ: $70^\circ$ , $70^\circ$ , $110^\circ$ , $110^\circ$ .

Пример 2: Равнобедренная трапеция — нахождение площади

Задание: Основания равнобедренной трапеции равны $10\text{ см}$ и $20\text{ см}$ , а боковая сторона равна $13\text{ см}$ . Найдите площадь этой трапеции.

Подробное решение:

1) Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ на большее основание $AD$ .

2) По свойству равнобедренной трапеции отрезок $AH$ равен полуразности оснований:
$AH = \dfrac{AD - BC}{2} = \dfrac{20 - 10}{2} = 5\text{ см}$ .

3) Из прямоугольного треугольника $\triangle ABH$ по теореме Пифагора найдем высоту $BH$ :
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ см}$ .

4) Найдем площадь равнобедренной трапеции:
$S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = \dfrac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180\text{ см}^2$ .

Ответ: $180\text{ см}^2$ .

Тренажёры по теме «Равнобедренная трапеция» на Экзамео

Закрепите свойства и признаки равнобедренной трапеции за 8 класс на практике с помощью онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все задания составлены в соответствии со школьной программой. К каждому заданию вы найдете подробное решение, которое поможет лучше разобраться в теме.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы