Иррациональные числа 10 класс - определение, свойства и тренажеры

На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Иррациональные числа» для учащихся 10 класса. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с доказательствами, свойствами и пошаговым разбором примеров (соответствует школьной программе по алгебре и началам математического анализа и ФГОС), чтобы помочь десятиклассникам глубоко понять структуру множества действительных чисел, научиться сравнивать и оценивать иррациональные выражения и успешно подготовиться к контрольным работам и ЕГЭ.

В 10 классе понятие числа выходит на завершающий этап школьного курса: объединение множества рациональных чисел ( $\mathbb{Q}$ ) и множества иррациональных чисел ( $\mathbb{I}$ ) образует множество действительных (вещественных) чисел ( $\mathbb{R}$ ), заполняющих сплошь всю числовую прямую.

Что такое иррациональные числа? — 10 класс

Иррациональным числом называется число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби $\dfrac{m}{n}$ , где $m \in \mathbb{Z}$ (целое число), а $n \in \mathbb{N}$ (натуральное число).

• Форма десятичной записи: любое иррациональное число записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дроби;
• Обозначение множества: обозначается буквой $\mathbb{I}$ (или $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ );
• Основные представители: извлечения корней, не дающие целого результата ( $\sqrt{2}, \sqrt[3]{5}$ ), знаменитые математические константы ( $\pi \approx 3{,}14159\dots$ , $e \approx 2{,}71828\dots$ ), а также числа вида $\lg 2, \sin 1^\circ$ .

Рациональные vs Иррациональные числа

Главное различие между двумя классами действительных чисел заключается в структуре их десятичной записи:

Рациональные числа ( $\mathbb{Q}$ ) 🔢

• Представимы в виде дроби $\dfrac{m}{n}$ .

• Записываются как конечные десятичные дроби или бесконечные периодические десятичные дроби.

• Примеры: $\frac{3}{4} = 0{,}75$ ; $\frac{1}{3} = 0{,}333\dots = 0{(3)}$ ; $-5$ .

Иррациональные числа ( $\mathbb{I}$ ) ♾️

• НЕ представимы в виде дроби $\dfrac{m}{n}$ .

• Записываются строго как бесконечные непериодические десятичные дроби.

• Примеры: $\sqrt{3} = 1{,}73205\dots$ ; $\pi = 3{,}14159\dots$ ; $0{,}1010010001\dots$

Свойства и действия с иррациональными числами

При выполнении арифметических операций над рациональными и иррациональными числами важно помнить следующие правила:

Операция

Результат действия

Пример

Рациональное + Иррациональное

Всегда иррациональное число

$2 + \sqrt{3} \in \mathbb{I}$

Рациональное ( $a \ne 0$ ) $\cdot$ Иррациональное

Всегда иррациональное число

$5 \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \in \mathbb{I}$

Иррациональное $+$ Иррациональное

Может быть как иррациональным, так и рациональным!

$(2 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} = \mathbf{2} \in \mathbb{Q}$

Иррациональное $\cdot$ Иррациональное

Может быть как иррациональным, так и рациональным!

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = \mathbf{4} \in \mathbb{Q}$

Плотность иррациональных чисел

Между любыми двумя различными рациональными числами существует бесконечно много иррациональных чисел.

Между $1$ и $2$ лежат $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \frac{\pi}{2}$ и др.

Классическое доказательство иррациональности $\sqrt{2}$

В 10 классе важно знать академическое доказательство иррациональности числа $\sqrt{2}$ методом от противного:

Алгоритм доказательства от противного:

Предположение: допустим, что $\sqrt{2}$ — рациональное число. Тогда его можно записать в виде несократимой дроби $\sqrt{2} = \dfrac{m}{n}$ , где $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$ , причем НОД( $m, n$ ) = 1.

Возведение в квадрат: $2 = \dfrac{m^2}{n^2} \implies m^2 = 2n^2$ . Значит, $m^2$ — чётное число, следовательно, и само $m$ — чётное ( $m = 2k$ ).

Подстановка: подставим $m = 2k$ в равенство: $(2k)^2 = 2n^2 \implies 4k^2 = 2n^2 \implies n^2 = 2k^2$ . Значит, $n^2$ — чётное, а следовательно, и $n$ — чётное число.

Противоречие: получилось, что и $m$ , и $n$ — чётные числа (делятся на 2), что противоречит условию несократимости дроби $\dfrac{m}{n}$ . Значит, наше предположение неверно, и $\sqrt{2}$ — иррациональное число!

Главные заблуждения об иррациональных числах

Осторожно: Округление не делает число рациональным! ⚠️

Запись $\pi \approx 3{,}14$ или $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ — это всего лишь приближенные значения. Число $\pi$ не равно $3{,}14$ и не равно $\frac{22}{7}$ ! Оно остается иррациональным ✅!

Разбор практических примеров решения задач

Рассмотрите полные образцы решения типовых задач из курса алгебры 10 класса и заданий ЕГЭ.

Пример 1: Сравнение иррационального и рационального числа

Задание: Сравните числа $3\sqrt{5}$ и $6{,}5$ .

Подробное решение:

1) Внесем множитель под знак квадратного корня:

$3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$ .

2) Представим число $6{,}5$ в виде квадратного корня:

$6{,}5 = \sqrt{6{,}5^2} = \sqrt{42{,}25}$ .

3) Сравним подкоренные выражения:

Так как $45 > 42{,}25$ , то $\sqrt{45} > \sqrt{42{,}25}$ .

4) Сделайте вывод:

$3\sqrt{5} > 6{,}5$ .

Ответ: $3\sqrt{5} > 6{,}5$ .

Пример 2: Нахождение целых чисел, между которыми заключено иррациональное число

Задание: Укажите два последовательных целых числа, между которыми заключено число $\sqrt[3]{50}$ .

Подробное решение:

1) Подберем блжайшие точные кубы целых чисел:

$3^3 = 27$ , a $4^3 = 64$ .

2) Так как $27 < 50 < 64$ , извлечем кубический корень из всех частей двойного неравенства:

$\sqrt[3]{27} < \sqrt[3]{50} < \sqrt[3]{64} \implies 3 < \sqrt[3]{50} < 4$ .

Ответ: Число $\sqrt[3]{50}$ заключено между целыми числами 3 и 4.

Карточки с заданиями для самопроверки (10 класс)

Попробуйте решить эти задания самостоятельно:

Карточка №1 (Рациональные или иррациональные?) 📝

Определите тип чисел (рациональное или иррациональное):

1) $(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)$

2) $\sqrt{8} - 2\sqrt{2}$

3) $\pi - 3$

(Ответы: 1) $3 - 1 = 2 \in \mathbb{Q}$ ; 2) $0 \in \mathbb{Q}$ ; 3) иррациональное $\in \mathbb{I}$ )

Карточка №2 (Сравнение чисел) 🎯

1) Сравни: $\sqrt{7} + \sqrt{10}$ и $\sqrt{3} + \sqrt{14}$ .

2) Какое из чисел больше: $\sqrt[3]{4}$ или $\sqrt{3}$ ?

(Ответы: 1) $\sqrt{7}+\sqrt{10} > \sqrt{3}+\sqrt{14}$ (после возведения в квадрат 17+2 $\sqrt{70}$ > 17+2 $\sqrt{42}$ ); 2) $\sqrt{3} > \sqrt[3]{4}$ , так как $\sqrt{3} = \sqrt[6]{27}$ , а $\sqrt[3]{4} = \sqrt[6]{16}$ )

Тренажёры по теме на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео тебя ждут увлекательные онлайн-тренажёры и тесты по теме «Иррациональные числа» для 10 класса с мгновенной проверкой ответов и пошаговыми разборами. Решай примеры на сравнение действительных чисел, доказательства иррациональности, освобождение от иррациональности в знаменателе, готовишься к ЕГЭ и получай только отличные оценки по алгебре!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы