Правильная пирамида 10 класс - свойства, формулы и задания с тренажёрами

Правильная пирамида в курсе геометрии 10 класса — центральный многогранник раздела стереометрии и один из самых частых объектов экзаменационных заданий (задание 3 и задание 14 профильного ЕГЭ по математике, задание 13 базового ЕГЭ). В архитектуре и истории именно правильная пирамида стала символом монументальности: форму правильных четырёхугольных пирамид имеют великие пирамиды Гизы в Египте и стеклянный купол входа в Лувр в Париже.

В курсе 10 класса стереометрия систематизирует свойства правильной пирамиды: куда проецируется вершина, почему равны боковые рёбра и апофемы, как связаны линейные размеры через опорные прямоугольные треугольники, а также как находить площадь боковой и полной поверхности и объём фигуры. Ниже приведены все ключевые соотношения, сводная таблица формул, подробный алгоритм и пошаговые эталоны решений задач, а также открыт доступ к онлайн-тренажёрам Экзамео с моментальной проверкой ответов.

Определение и ключевые свойства правильной пирамиды

Пирамида называется правильной, если одновременно выполняются строго два условия:

1. В её основании лежит правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник);

2. Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой (вершина проецируется строго в центр симметрии основания).

Четырехугольная пирамида со всеми элементами

Из этих двух условий следуют фундаментальные геометрические свойства:

• Все боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой: $SA = SB = SC = SD = l$ . Прямоугольные треугольники, образованные высотой, радиусом описанной окружности и боковым ребром, равны по двум катетам ( $SO$ — общий, $OA = OB = OC = R$ ).

• Все боковые грани — равные равнобедренные треугольники: основание каждой боковой грани равно стороне правильного многоугольника $a$ , а боковые стороны равны длине ребра $l$ .

• Все апофемы равны между собой: апофема ( $h_a$ ) — это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания. В равных равнобедренных треугольниках граней высоты, опущенные на основания, равны.

• Равенство углов наклона: все боковые рёбра образуют с плоскостью основания одинаковые углы $\alpha$ , и все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым двугранным углом $\beta$ .

Анатомия центра основания: куда падает высота в треугольнике и квадрате

Точка $O$ (основание высоты пирамиды) является центром правильного многоугольника, в котором совпадают центры вписанной ( $r$ ) и описанной ( $R$ ) окружностей:

1. Правильная треугольная пирамида (в основании — равносторонний $\Delta ABC$ со стороной $a$ ):

• Высота основания: $h_{\Delta} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ .

• Центр $O$ делит медиану-высоту в отношении $2 : 1$ , считая от вершины.

• Радиус описанной окружности $R$ (расстояние от центра до вершины):

R = \dfrac{2}{3} h_{\Delta} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}

• Радиус вписанной окружности $r$ (расстояние от центра до стороны):

r = \dfrac{1}{3} h_{\Delta} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}

2. Правильная четырёхугольная пирамида (в основании — квадрат $ABCD$ со стороной $a$ ):

• Центр $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата.

• Диагональ квадрата: $d = a\sqrt{2}$ .

• Радиус описанной окружности $R$ (расстояние до вершины квадрата):

R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}

• Радиус вписанной окружности $r$ (расстояние до стороны квадрата):

r = \dfrac{a}{2}

[Место для иллюстрации: Основание правильной треугольной пирамиды с центром O, радиусами R и r, и основание четырёхугольной пирамиды (квадрат) с диагоналями]

Три опорных прямоугольных треугольника в правильной пирамиде

Стереометрические расчёты правильной пирамиды сводятся к применению теоремы Пифагора в трёх плоских прямоугольных треугольниках:

Треугольник ребра ( $\Delta SOA$ )

Катеты: высота $H$ и радиус $R$ .

Гипотенуза: боковое ребро $l$ .

H^2 + R^2 = l^2

Угол наклона бокового ребра к основанию: $\cos\alpha = \dfrac{R}{l}$ .

Треугольник грани ( $\Delta SOM$ )

Катеты: высота $H$ и радиус $r$ .

Гипотенуза: апофема $h_a$ .

H^2 + r^2 = h_a^2

Угол наклона боковой грани (двугранный угол): $\cos\beta = \dfrac{r}{h_a}$ .

В боковой грани ( $\Delta SMA$ )

Катеты: апофема $h_a$ и половина стороны основания $\dfrac{a}{2}$ .

Гипотенуза: боковое ребро $l$ .

h_a^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = l^2

Связывает апофему со стороной и ребром.

Сводная таблица формул правильной пирамиды

Для каждого вида правильных пирамид существуют отдельные формулы. Их не нужно выучивать, но можно провести параллели с формулами для правильных фигур в планиметрии. Справочная таблица основных формул для правильной треугольной и четырёхугольной пирамид представлена ниже:

Величина

Общая формула

Правильная треугольная

Правильная четырёхугольная

Площадь основания ( $S_{\text{осн}}$ )

$S_{\text{многоуг}}$

$S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$S_{\text{осн}} = a^2$

Радиус $R$ (к вершине основания)

$R_{\text{опис}}$

$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

$R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Радиус $r$ (к стороне основания)

$r_{\text{впис}}$

$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} = \dfrac{R}{2}$

$r = \dfrac{a}{2}$

Боковая поверхность ( $S_{\text{бок}}$ )

$\dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot h_a$

$S_{\text{бок}} = \dfrac{3}{2} a \cdot h_a$

$S_{\text{бок}} = 2 a \cdot h_a$

Через двугранный угол ( $\beta$ )

$S_{\text{бок}} = \dfrac{S_{\text{осн}}}{\cos\beta}$

$\beta$ — угол между гранью и основанием

Полная поверхность ( $S_{\text{полн}}$ )

$S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$

$S_{\text{полн}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} + \dfrac{3}{2}ah_a$

$S_{\text{полн}} = a^2 + 2ah_a$

Объём пирамиды ( $V$ )

$\dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$

$V = \dfrac{a^2 H \sqrt{3}}{12}$

$V = \dfrac{1}{3} a^2 H$

Где встречаются задачи на правильную пирамиду

Задачи на правильную пирамиду достаточно часто встречаются в экзаменах 11 классе и распределены по следующим экзаменационным блокам:

Задание 3 Профильного ЕГЭ

Базовые задачи в 1–2 действия: нахождение высоты пирамиды по боковому ребру и стороне основания, расчёт площади боковой поверхности правильной треугольной или четырёхугольной пирамиды и поиск апофемы.

Задание 14 Профильного ЕГЭ (Часть 2)

Сложные задачи с развёрнутым ответом (3 балла): построение сечений правильной пирамиды плоскостью, вычисление расстояния от точки до плоскости грани и нахождение угла между скрещивающимися рёбрами пирамиды.

Задание 13 Базового ЕГЭ

Практические расчётные задачи на вычисление объёма насыпей, шатров и палаток в форме правильной четырёхугольной пирамиды, а также расчёт расхода кровельных материалов по площади боковой поверхности.

Контрольные работы 10 класса

Тематические контрольные по разделу «Пирамида»: вычисление двугранных углов при основании, нахождение площади диагонального сечения и радиусов вписанных/описанных шаров правильной пирамиды.

Алгоритм решения задач на правильную пирамиду

Приступая к решению стереометрической задачи на контрольной работе или экзамене, важно не пытаться находить всё подряд, а сразу разделить данные условия на две группы: элементы основания (плоские) и пространственные элементы высоты и граней. Чертёж пирамиды всегда начинайте с основания, отображая центр пересечением медиан или диагоналей, после чего строго вертикально восстанавливайте отрезок высоты $SO$ .

Идентифицируйте фигуру в основании и её параметры: определите вид основания (квадрат или равносторонний треугольник). По известной стороне основания $a$ найдите площадь основания $S_{\text{осн}}$ , радиус описанной окружности $R$ (расстояние от центра $O$ до вершины основания) и радиус вписанной окружности $r$ (расстояние от центра $O$ до середины стороны).

Определите тип заданного пространственного элемента: проанализируйте, какая наклонная величина дана в условии: боковое ребро $l$ (отрезок от вершины к вершине основания), апофема $h_a$ (отрезок от вершины к середине стороны) или угол наклона (к ребру $\alpha$ или к грани $\beta$ ).

Выберите опорный прямоугольный треугольник для связи с высотой:
• если в условии фигурирует боковое ребро $l$ или угол его наклона $\alpha$ , переходите к треугольнику $\Delta SOA$ с радиусом описанной окружности: $H^2 + R^2 = l^2$ ;
• если дана апофема $h_a$ или двугранный угол боковой грани $\beta$ , переходите к треугольнику $\Delta SOM$ с радиусом вписанной окружности: $H^2 + r^2 = h_a^2$ .

Вычислите недостающую высоту или апофему: примените теорему Пифагора к выбранному опорному треугольнику или используйте соотношение в боковой грани $h_a^2 + (a/2)^2 = l^2$ , чтобы найти недостающие линейные размеры пирамиды.

Подставьте результаты в итоговые формулы площадей или объёма: вычислите боковую поверхность по формуле $S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot h_a$ (или через теорему о проекции $S_{\text{бок}} = \dfrac{S_{\text{осн}}}{\cos\beta}$ ), полную поверхность $S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$ либо объём пирамиды $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H$ .

Задачи на правильную пирамиду с пошаговыми решениями

Ниже приведены подробные эталоны решений пяти типовых задач, охватывающих основные конфигурации треугольных и четырёхугольных пирамид на экзаменах.

Нахождение апофемы и площади боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды

Условие: В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $12$ , а высота пирамиды равна $8$ . Найдите длину апофемы и площадь боковой поверхности пирамиды.

Пошаговое решение:

1) Исследуем основание:

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат со стороной $a = 12$ .

Периметр основания: $P_{\text{осн}} = 4 \cdot 12 = 48$ .

Радиус вписанной в основание окружности (расстояние от центра $O$ до стороны):

r = \dfrac{a}{2} = \dfrac{12}{2} = 6

2) Найдём апофему через треугольник $\Delta SOM$ :

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta SOM$ , где $SO = H = 8$ (высота), $OM = r = 6$ (радиус), $SM = h_a$ (апофема — гипотенуза).

По теореме Пифагора:

h_a = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10

3) Вычислим площадь боковой поверхности:

S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} \cdot P_{\text{осн}} \cdot h_a = \dfrac{1}{2} \cdot 48 \cdot 10 = 24 \cdot 10 = 240

Ответ: апофема равна $10$ , площадь боковой поверхности равна $240$ .

Полная поверхность правильной треугольной пирамиды по стороне и ребру

Условие: В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна $6$ , а боковое ребро равно $\sqrt{13}$ . Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды.

Пошаговое решение:

1) Найдём площадь основания:

В основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a = 6$ :

S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}

2) Найдём апофему $h_a$ из боковой грани:

Боковая грань — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l = \sqrt{13}$ и основанием $a = 6$ . Высота $h_a$ делит основание пополам ( $3$ и $3$ ).

По теореме Пифагора:

h_a = \sqrt{l^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 3^2} = \sqrt{13 - 9} = \sqrt{4} = 2

3) Найдём площадь боковой поверхности:

Периметр основания: $P_{\text{осн}} = 3 \cdot 6 = 18$ .

S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} \cdot P_{\text{осн}} \cdot h_a = \dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 2 = 18

4) Найдём площадь полной поверхности:

S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 9\sqrt{3} + 18 = 9(\sqrt{3} + 2)

Ответ: $9\sqrt{3} + 18$ .

Нахождение объёма правильной четырёхугольной пирамиды (ЕГЭ №3)

Условие: В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $4\sqrt{2}$ , а боковое ребро равно $5$ . Найдите объём пирамиды.

Пошаговое решение:

1) Найдём площадь основания и радиус $R$ :

В основании лежит квадрат со стороной $a = 4\sqrt{2}$ .

S_{\text{осн}} = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32

Диагональ квадрата: $d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8$ .

Радиус описанной окружности (половина диагонали):

R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{8}{2} = 4

2) Найдём высоту пирамиды ( $H$ ) из треугольника ребра $\Delta SOA$ :
В треугольнике $\Delta SOA$ : гипотенуза $SA = l = 5$ , катет $OA = R = 4$ .
По теореме Пифагора (египетский треугольник):

H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3

3) Вычислим объём пирамиды:

V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot H = \dfrac{1}{3} \cdot 32 \cdot 3 = 32

Ответ: $32$ .

Вычисление угла наклона грани к основанию (двугранный угол)

Условие: В правильной четырёхугольной пирамиде площадь основания равна $64$ , а площадь боковой поверхности равна $128$ . Найдите угол наклона боковой грани к плоскости основания и высоту пирамиды.

Пошаговое решение:

1) Найдём косинус двугранного угла через теорему о площади проекции:
Основание пирамиды является ортогональной проекцией её боковой поверхности на горизонтальную плоскость: $S_{\text{осн}} = S_{\text{бок}} \cdot \cos\beta$ .
Отсюда:

\cos\beta = \dfrac{S_{\text{осн}}}{S_{\text{бок}}} = \dfrac{64}{128} = \dfrac{1}{2}

Так как $\cos\beta = \dfrac{1}{2}$ , угол наклона боковой грани равен строго:

\beta = 60^\circ

2) Найдём сторону основания и радиус $r$ :
$S_{\text{осн}} = a^2 = 64 \implies a = 8$ .
Радиус вписанной окружности квадрата: $r = \dfrac{a}{2} = 4$ .

3) Найдём высоту пирамиды ( $H$ ) из треугольника $\Delta SOM$ :
В прямоугольном треугольнике $\Delta SOM$ угол $\angle SMO = \beta = 60^\circ$ :

H = r \cdot \tan\beta = 4 \cdot \tan 60^\circ = 4\sqrt{3}

Ответ: угол наклона равен $60^\circ$ , высота равна $4\sqrt{3}$ .

Диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды

Условие: В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $6$ , а боковое ребро равно $5$ . Найдите площадь диагонального сечения пирамиды.

Пошаговое решение:

1) Геометрия сечения:
Диагональное сечение проходит через противоположные боковые рёбра $SA$ и $SC$ и диагональ основания $AC$ . Сечением является равнобедренный треугольник $\Delta SAC$ , где $SA = SC = l = 5$ , а основанием служит диагональ квадрата $AC = d$ . Высотой сечения является высота пирамиды $SO = H$ .

2) Найдём диагональ основания $AC$ :

AC = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \implies AO = R = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}

3) Найдём высоту пирамиды $SO = H$ из треугольника $\Delta SOA$ :

H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{5^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 - 18} = \sqrt{7}

4) Вычислим площадь треугольника $\Delta SAC$ :

S_{\text{сеч}} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot H = \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{14}

Ответ: $3\sqrt{14}$ .

Типичные ошибки в задачах на правильную пирамиду

Четыре главные ошибки, на которых теряют баллы в 10 классе и на ЕГЭ:

Подстановка ребра вместо апофемы

В формулу площади боковой поверхности $S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot h_a$ ошибочно подставляют длину бокового ребра $l$ .

Боковое ребро $l$ — это наклонная сторона грани, а апофема $h_a$ — её высота! Всегда помните: $h_a < l$ .

Путаница радиусов R и r

Связывают апофему с описанным радиусом $R$ : $h_a^2 = H^2 + R^2$ .

Апофема идёт к середине стороны, поэтому она работает строго с радиусом вписанной окружности $r$ ( $h_a^2 = H^2 + r^2$ ). Ребро идёт к вершине — оно работает с $R$ ( $l^2 = H^2 + R^2$ ).

Потеря коэффициента 1/3 в объёме

Считают объём пирамиды по формуле призмы: $V = S_{\text{осн}} \cdot H$ , получая завышенный в 3 раза результат.

В любой пирамиде объём всегда строго равен $\dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} H$ !

Смешение угла наклона ребра и грани

Считают, что угол наклона бокового ребра $\alpha$ и двугранный угол боковой грани $\beta$ равны.

Угол грани всегда круче: $\beta > \alpha$ . Ребро наклонено положе, так как расстояние до вершины $R$ больше расстояния до стороны $r$ .

Задания на тему «Правильная пирамида» для 10 класса

Тренажёры по теме «Правильная пирамида» содержат подборку практических заданий за 10 класс из самостоятельных и контрольных работ, школьных учебников по стереометрии и открытого банка задач ЕГЭ по математике профильного и базового уровней. Для каждого задания вы найдёте подробные решения, пошаговые подсказки и автоматическую проверку ответов.

Задача 1

Число рёбер, граней и вершин составного многогранника

Темы3

Курсы2

Стереометрическая задача на подсчет геометрических элементов (ребер, граней, вершин) составного многогранника, полученного путем приклеивания правильной пирамиды к основанию правильной призмы.Вариант 1

К правильной четырёхугольной призме со стороной основания, равной 8, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания, равной 8, так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Ваш ответ

Задача 2

Грани, ребра и вершины составного многогранника (четырёхугольная призма и пирамида)

Темы1

Курсы2

Стереометрическая задача на подсчет геометрических элементов (ребер, граней, вершин) составного многогранника, полученного приклеиванием правильной четырехугольной пирамиды к основанию правильной четырехугольной призмы.Вариант 1

К правильной четырёхугольной призме со стороной основания, равной 9, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания, равной 9, так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Определение и ключевые свойства правильной пирамиды

Три опорных прямоугольных треугольника в правильной пирамиде

Сводная таблица формул правильной пирамиды

Где встречаются задачи на правильную пирамиду

Алгоритм решения задач на правильную пирамиду

Задачи на правильную пирамиду с пошаговыми решениями

Типичные ошибки в задачах на правильную пирамиду

Задания на тему «Правильная пирамида» для 10 класса

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой