Тетраэдр 10 класс - разбор темы и задачи с решениями

Тема «Тетраэдр» в 10 классе по геометрии — это один из ключевых разделов курса стереометрии, на котором базируются задачи контрольных работ, пространственные чертежи и задания в ЕГЭ по математике как базового, так и профильного уровня.

На этой странице представлен подробный разбор темы: элементы многогранника, свойства правильного тетраэдра, формулы площадей и объёма, правила построения сечений плоскостью, а также тренажёры с заданиями для подготовки к самостоятельным работам и ЕГЭ с подробными решениями и объяснениями, которые помогут разобраться в теме.

Анатомия тетраэдра: вершины, рёбра, грани и точки

Тетраэдр — это простейший многогранник в пространстве (треугольная пирамида), поверхность которого состоит из четырёх треугольников. Название происходит от греческого «тетра» (четыре) и «эдра» (грань).

На рисунке - прямоугольный тэтраэдр

Главная геометрическая особенность тетраэдра: у него нет выделенного основания. Любую из четырёх граней можно принять за основание, а противолежащую точку — за вершину.

• Точки и вершины тетраэдра: тетраэдр имеет ровно $4$ вершины (например, точки $A, B, C, D$ ). Никакие четыре вершины не лежат в одной плоскости.

• Грани тетраэдра: ровно $4$ треугольные грани: $ABC, ABD, BCD, ACD$ .

• Рёбра тетраэдра: ровно $6$ рёбер: $AB, BC, CA, DA, DB, DC$ .

• Скрещивающиеся (противолежащие) рёбра: рёбра, не имеющие общих вершин. У тетраэдра ровно $3$ пары скрещивающихся рёбер: $AB$ и $CD$ , $AC$ и $BD$ , $BC$ и $AD$ .

• Середина ребра тетраэдра: середина любого ребра является опорной точкой для построения медиан граней, бимедиан и плоскостей сечений.

• Медиана тетраэдра: отрезок, соединяющий вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани (центроидом грани). Все 4 медианы пересекаются в одной точке — центроиде тетраэдра («середине тетраэдра») — и делятся ею в отношении $3 : 1$ , считая от вершины.

• Бимедианы: отрезки, соединяющие середины скрещивающихся рёбер. Все 3 бимедианы пересекаются в центроиде тетраэдра и делятся им пополам.

Правильный тетраэдр: свойства и формулы

Правильный тетраэдр — это правильный многогранник (одно из пяти платоновых тел), у которого все 4 грани являются равными равносторонними треугольниками. Все 6 рёбер правильного тетраэдра равны между собой ( $a$ ).

По своей сути правильный тэтраэдр является правильной треугольной пирамидой. Так как все треугольники в гранях тетраэдра являются правильными - все углы равны 60°

Основные формулы, которые используются при решении задач с тетраэдром в 10 классе и на ЕГЭ по математике, как базового, так и профильного уровня.

Высота

Высота тетраэдра

Высота падает в центр основания:

H = a\sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}

Полная площадь

Площадь поверхности

Сумма площадей 4 правильных треугольников:

S = 4 \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}

Объём

Объём фигуры

Рассчитывается через ребро $a$ :

V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} H = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}

Радиус описанной сферы

Описанная сфера

Проходит через все 4 вершины:

R = \dfrac{a\sqrt{6}}{4} = \dfrac{3}{4}H

Радиус вписанной сферы

Вписанная сфера

Касается всех 4 граней:

r = \dfrac{a\sqrt{6}}{12} = \dfrac{1}{4}H = \dfrac{R}{3}

Сечение тетраэдра плоскостью: правила и формы

При пересечении тетраэдра плоскостью могут получаться только два вида фигур: треугольники (если плоскость пересекает 3 грани) или четырёхугольники (если плоскость пересекает все 4 грани). Никаких пятиугольников или шестиугольников сечение тетраэдра содержать не может, так как у него всего 4 грани.

1. Четырёхугольное сечение через середины рёбер (параллелограмм Вариньона)

Одна из самых популярных задач 10 класса и профильного ЕГЭ — сечение плоскостью, проходящей через середины четырёх рёбер тетраэдра:

• Пусть точки $K, L, M, N$ — середины рёбер $AB, BC, CD, DA$ .

• Отрезок $KL$ является средней линией $\triangle ABC$ , поэтому $KL \parallel AC$ и $KL = \dfrac{1}{2}AC$ .

• Отрезок $MN$ является средней линией $\triangle ACD$ , поэтому $MN \parallel AC$ и $MN = \dfrac{1}{2}AC$ .

• Так как стороны $KL$ и $MN$ равны и параллельны, четырёхугольник $KLMN$ является параллелограммом.

• Особенность правильного тетраэдра: скрещивающиеся рёбра $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны ( $AC \perp BD$ ). Поэтому смежные стороны сечения перпендикулярны ( $KL \perp LM$ ), и параллелограмм превращается в квадрат со стороной $\dfrac{a}{2}$ и площадью $S = \dfrac{a^2}{4}$ .

2. Треугольное сечение тетраэдра

Сечение плоскостью представляет собой треугольник в двух случаях:

1. Плоскость проходит через одну из вершин тетраэдра и пересекает противоположную грань по отрезку.

2. Плоскость «срезает» один из углов тетраэдра, проходя через внутренние точки трёх рёбер, исходящих из одной вершины.

• Отношение объёмов при срезе угла: если на рёбрах $SA, SB, SC$ отмечены точки $A_1, B_1, C_1$ , то объём отсекаемого тетраэдра относится к объёму исходного как произведение отношений отрезков:

\dfrac{V_{SA_1B_1C_1}}{V_{SABC}} = \dfrac{SA_1}{SA} \cdot \dfrac{SB_1}{SB} \cdot \dfrac{SC_1}{SC}

3. Перпендикулярность скрещивающихся рёбер в правильном тетраэдре

В любом правильном тетраэдре каждая пара противоположных (скрещивающихся) рёбер взаимно перпендикулярна:

AB \perp CD, \quad AC \perp BD, \quad BC \perp AD

Доказательство через теорему о трёх перпендикулярах: спроецируем вершину $D$ на основание $ABC$ . Проекцией является центр правильного треугольника $H$ . Высота $CH$ перпендикулярна стороне $AB$ . Так как проекция $CH \perp AB$ , то по теореме о трёх перпендикулярах и наклонная $CD \perp AB$ .

Примеры решения задач на тетраэдр для 10 класса

Ниже приведены подробные пошаговые решения задач, наиболее характерных для самостоятельных и проверочных работ по тетраэдру на уроках геометрии в 10 классе:

Задача 1: Нахождение площади поверхности и высоты правильного тетраэдра

Условие: Ребро правильного тетраэдра равно $6$ . Найдите площадь его полной поверхности, высоту и объём.

Пошаговое решение:

1) Все грани тетраэдра — правильные треугольники со стороной $a = 6$ . Площадь одной грани:

S_{\text{грани}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}

2) Тетраэдр состоит из 4 таких граней, поэтому площадь полной поверхности равна:

S_{\text{полн}} = 4 \cdot 9\sqrt{3} = 36\sqrt{3}

3) Вычислим высоту тетраэдра по формуле $H = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ :

H = \dfrac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}

4) Вычислим объём тетраэдра по формуле $V = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$ :

V = \dfrac{6^3\sqrt{2}}{12} = \dfrac{216\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2}

Ответ: $S = 36\sqrt{3}$ ; $H = 2\sqrt{6}$ ; $V = 18\sqrt{2}$ .

Задача 2: Сечение правильного тетраэдра через середины четырёх рёбер

Условие: В правильном тетраэдре $ABCD$ с ребром $8$ построена секущая плоскость, проходящая через середины рёбер $AB, BC, CD, DA$ . Определите вид получившегося сечения и найдите его площадь и периметр.

Пошаговое решение:

1) Обозначим середины рёбер: $K \in AB$ , $L \in BC$ , $M \in CD$ , $N \in DA$ .

2) Отрезок $KL$ — средняя линия $\triangle ABC$ , поэтому $KL \parallel AC$ и $KL = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$ .

Отрезок $NM$ — средняя линия $\triangle ADC$ , поэтому $NM \parallel AC$ и $NM = \dfrac{AC}{2} = 4$ .

Отрезок $LM$ — средняя линия $\triangle BCD$ , поэтому $LM \parallel BD$ и $LM = \dfrac{BD}{2} = 4$ .

Отрезок $KN$ — средняя линия $\triangle ABD$ , поэтому $KN \parallel BD$ и $KN = \dfrac{BD}{2} = 4$ .

3) В правильном тетраэдре скрещивающиеся рёбра взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$ .

Так как $KL \parallel AC$ , а $LM \parallel BD$ , то угол между сторонами сечения прямой: $\angle KLM = 90^\circ$ .

4) Четырёхугольник с четырьмя равными сторонами ( $4$ ) и прямыми углами является квадратом.

5) Вычислим периметр и площадь сечения:

P = 4 \cdot 4 = 16

S = 4^2 = 16

Ответ: сечение является квадратом; $P = 16$ , $S = 16$ .

Задача 3: Расстояние между серединами скрещивающихся рёбер

Условие: В правильном тетраэдре $ABCD$ ребро равно $a$ . Найдите расстояние между серединами скрещивающихся рёбер $AB$ и $CD$ (длину бимедианы).

Пошаговое решение:

1) Пусть точка $M$ — середина ребра $AB$ , а точка $N$ — середина ребра $CD$ . Отрезок $MN$ соединяет середины противоположных рёбер.

2) Проведём медианы граней $MC$ в $\triangle ABC$ и $MD$ в $\triangle ABD$ . Так как треугольники правильные со стороной $a$ , их медианы равны:

MC = MD = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}

3) Рассмотрим треугольник $CMD$ . Он равнобедренный, так как $MC = MD$ . Точка $N$ является серединой основания $CD = a$ . Следовательно, отрезок $MN$ является медианой и высотой в $\triangle CMD$ ( $MN \perp CD$ ).

4) В прямоугольном треугольнике $MNC$ найдем катет $MN$ по теореме Пифагора:

MN = \sqrt{MC^2 - CN^2}

CN = \dfrac{a}{2}

MN = \sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{3a^2}{4} - \dfrac{a^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{2a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}

Ответ: $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Ошибки в заданиях с тетраэдрами

При выполнении самостоятельных и контрольных работ по стереометрии учащиеся чаще всего допускают следующие три ошибки:

Путаница числа вершин и рёбер

Ученики часто путают элементы тетраэдра: у него ровно $4$ вершины, $4$ грани и $6$ рёбер. Для тетраэдра формула Эйлера: $B - P + \Gamma = 4 - 6 + 4 = 2$ .

Ошибки при определении вида сечения

Сечение тетраэдра плоскостью может иметь максимум $4$ стороны (треугольник или четырёхугольник). Никаких пятиугольников в сечении тетраэдра существовать не может.

Ошибки в формуле высоты правильного тетраэдра

Высоту правильного тетраэдра $H = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Задания на тетраэдр для 10 класса

В тренажерах вы найдете задачи разного уровня сложности на тетраэдр для 10 класса из контрольных и самостоятельных работ, а так же из ЕГЭ по математике базового и профильного уровня. Для каждого задания доступно решение и автоматическая проверка ответов.

Задача 1

Число рёбер, граней и вершин составного многогранника

Темы2

Курсы2

Стереометрическая задача на подсчет геометрических элементов (ребер, граней, вершин) составного многогранника, полученного путем приклеивания правильной пирамиды к основанию правильной призмы.Вариант 1

К правильной четырёхугольной призме со стороной основания, равной 8, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания, равной 8, так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Ваш ответ

Задача 2

Объём прямоугольного тетраэдра и обратные задачи

Темы2

Курсы3

Стереометрическая задача на нахождение объёма треугольной пирамиды с взаимно перпендикулярными боковыми рёбрами (прямоугольный тетраэдр) либо одного из рёбер по известному объёму и двум другим рёбрам.Вариант 1

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$ , $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 15$ , $AC = 7$ и $AD = 9$ .

Прямоугольный тэтраэдр

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Правильный тетраэдр: свойства и формулы

Сечение тетраэдра плоскостью: правила и формы

Примеры решения задач на тетраэдр для 10 класса

Ошибки в заданиях с тетраэдрами

Задания на тетраэдр для 10 класса

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой