Объём пирамиды - разбор теории, формулы и задачи с решениями для 11 класса

Тема «Объём пирамиды» — один из центральных разделов стереометрии 10–11 классов и неизменный компонент первой и второй частей профильного и базового ЕГЭ по математике. Особенность пирамиды заключается в многообразии её форм: основанием может служить правильный или прямоугольный треугольник, квадрат, ромб, параллелограмм, трапеция или правильный шестиугольник. Чтобы безошибочно решать задачи на объём пирамиды, необходимо владеть не только универсальной формулой объёма, но и уметь находить площадь произвольного основания, проецировать вершину на основание и вычислять высоту через боковые рёбра и апофемы.

На этой странице представлен исчерпывающий справочник: общая формула объёма, детальный разбор всех видов пирамид (правильная треугольная, правильная четырёхугольная, шестиугольная, усечённая), популярный прототип ЕГЭ на вычисление объёма треугольной пирамиды внутри параллелепипеда, алгоритмы решений и прямой переход к интерактивным онлайн-тренажёрам Экзамео с автоматической проверкой ответов.

Чему равен объём пирамиды

Объём любой пирамиды равен одной трети произведения площади её основания на высоту:

V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h

• Площадь основания ( $S_{\text{осн}}$ ): площадь многоугольника, лежащего в плоскости основания (треугольника, четырёхугольника или $n$ -угольника).

• Высота пирамиды ( $h$ или $H$ ): перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания. Точка пересечения высоты с основанием называется основанием высоты.

• Связь с призмой: объём пирамиды ровно в 3 раза меньше объёма призмы, имеющей такое же основание и равную высоту ( $V_{\text{пир}} = \dfrac{1}{3} V_{\text{призмы}}$ ).

Объём треугольной пирамиды

Треугольная пирамида (Тетраэдр) имеет в основании треугольник. В зависимости от типа треугольника в основании и расположения вершины применяются следующие формулы:

Произвольная треугольная пирамида:

основанием служит треугольник со сторонами $a, b, c$ . Площадь основания находится по формуле Герона, через полупроизведение катетов (в прямоугольном треугольнике) или через полупроизведение сторон на синус угла между ними ( $S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ ).

Правильная треугольная пирамида:

основание — правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$ , площадь которого равна $S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ . Высота проецируется строго в центр треугольника (точку пересечения медиан, высот и биссектрис). Формула объёма принимает вид:

V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h = \dfrac{a^2 h\sqrt{3}}{12}

• Правильный тетраэдр: пирамида, у которой абсолютно все 4 грани — равные равносторонние треугольники с ребром $a$ . Высота тетраэдра равна $h = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ , а формула его объёма выражается исключительно через длину ребра:

V = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}

Пример задачи: нахождение объёма правильной треугольной пирамиды

Задание (прототип ЕГЭ): В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $6$ , а боковое ребро $SA$ равно $\sqrt{21}$ . Найдите объём пирамиды.

Пошаговое решение:

1) Найдём площадь правильного треугольника $ABC$ в основании со стороной $a = 6$ :

S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}

2) В правильной пирамиде высота $SO = h$ падает в центр описанной около основания окружности. Найдём радиус $R$ описанной окружности правильного треугольника:

R = AO = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}

3) Треугольник $SOA$ — прямоугольный с катетом $AO = R$ , катетом $SO = h$ и гипотенузой $SA = \sqrt{21}$ . По теореме Пифагора найдём высоту $h$ :

h = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{(\sqrt{21})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{21 - 12} = \sqrt{9} = 3

4) Вычислим объём пирамиды:

V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3}

Ответ: $9\sqrt{3}$ .

Объём четырёхугольной пирамиды

В четырёхугольной пирамиде в основании лежит четырёхугольник: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб или трапеция.

Правильная четырёхугольная пирамида:

В основании лежит квадрат со стороной $a$ ( $S_{\text{осн}} = a^2$ ), а вершина проецируется строго в точку пересечения диагоналей квадрата. Формула объёма:

V = \dfrac{1}{3} a^2 h

Связь высоты, апофемы и бокового ребра:

1. Через апофему $L$ (высоту боковой грани): катет прямоугольного треугольника равен половине стороны основания $\dfrac{a}{2}$ . По теореме Пифагора: $h = \sqrt{L^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}$ .

2. Через боковое ребро $b$ : катет равен половине диагонали квадрата $\dfrac{d}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ . По теореме Пифагора: $h = \sqrt{b^2 - \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}$ .

Пример задачи: нахождение объёма правильной четырёхугольной пирамиды

Задание (прототип ЕГЭ): В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна $12$ , а длина бокового ребра равна $13$ . Найдите объём пирамиды.

Пошаговое решение:

1) Высота $SO = 12$ перпендикулярна основанию $ABCD$ и падает в центр квадрата — точку пересечения диагоналей $O$ .

2) Из прямоугольного треугольника $SOA$ найдём половину диагонали квадрата $AO$ по теореме Пифагора (где гипотенуза $SA = 13$ ):

AO = \sqrt{SA^2 - SO^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5

3) Длина всей диагонали квадрата $AC$ вдвое больше половины: $d = AC = 2 \cdot 5 = 10$ .

4) Площадь квадрата через его диагональ вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}d^2$ :

S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot 10^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 100 = 50

5) Вычислим объём пирамиды:

V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 50 \cdot 12 = 50 \cdot 4 = 200

Ответ: 200.

Объём правильной шестиугольной пирамиды

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник со стороной $a$ . Он состоит из 6 равных равносторонних треугольников со стороной $a$ . Площадь основания равна:

S_{\text{осн}} = 6 \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}

Подставляя площадь основания в общую формулу, получаем формулу объёма правильной шестиугольной пирамиды:

V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot h = \dfrac{a^2 h\sqrt{3}}{2}

Пример задачи: объём правильной шестиугольной пирамиды

Задание (прототип ЕГЭ): Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $4$ , а боковое ребро равно $\sqrt{37}$ . Найдите объём пирамиды.

Пошаговое решение:

1) В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны основания: $R = AO = a = 4$ .

2) Высота $SO = h$ падает в центр шестиугольника. Из прямоугольного треугольника $SOA$ найдём высоту по теореме Пифагора:

h = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{(\sqrt{37})^2 - 4^2} = \sqrt{37 - 16} = \sqrt{21}

3) Найдём площадь правильного шестиугольника в основании ( $a = 4$ ):

S_{\text{осн}} = \dfrac{3 \cdot 4^2 \sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 \cdot 16 \sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}

4) Вычислим объём пирамиды:

V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 24\sqrt{3} \cdot \sqrt{21} = 8\sqrt{63} = 8 \cdot 3\sqrt{7} = 24\sqrt{7}

Ответ: $24\sqrt{7}$ .

Объём треугольной пирамиды через объём параллелипепеда

Один из самых частых вопросов первой части профильного ЕГЭ по математике формулируется так: «Объём параллелепипеда (или прямоугольного параллелепипеда) равен $V$ . Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды». Разберём строгое геометрическое обоснование этого соотношения.

Теорема о коэффициенте 1/6 (угловая пирамида)

Пусть дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ объёмом $V$ . Треугольная пирамида $ABDA_1$ отсекается плоскостью, проходящей через три вершины при одном угле:

1. Высота отсечённой пирамиды $h$ совпадает с высотой параллелепипеда $H$ .

2. Основанием пирамиды служит треугольник $ABD$ , который образуется диагональю параллелограмма $ABCD$ . Площадь треугольника $ABD$ ровно в 2 раза меньше площади основания параллелепипеда: $S_{\triangle ABD} = \dfrac{1}{2} S_{ABCD}$ .

3. Находим объём треугольной пирамиды:

V_{\text{пир}} = \dfrac{1}{3} S_{\triangle ABD} \cdot h = \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{1}{2} S_{ABCD}\right) H = \dfrac{1}{6} \left(S_{ABCD} \cdot H\right) = \dfrac{1}{6} V_{\text{пар}}

Вывод: объём треугольной пирамиды, вершины которой лежат в вершинах параллелепипеда и образуют «уголок», всегда составляет ровно одну шестую от объёма параллелепипеда:

V_{\text{пир}} = \dfrac{V_{\text{пар}}}{6}

Пример задачи из банка ФИПИ (ЕГЭ)

Задание (№3 / №2 профильного ЕГЭ): Объём прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $72$ . Найдите объём треугольной пирамиды $B_1ABC$ .

Пошаговое решение:

1) Пирамида $B_1ABC$ имеет вершину $B_1$ и основание — прямоугольный треугольник $ABC$ .

2) Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна половине площади основания параллелепипеда:

S_{ABC} = \dfrac{1}{2} S_{ABCD}

3) Высота пирамиды равна длине бокового ребра $BB_1 = H$ .

4) Вычисляем объём пирамиды через формулу одной шестой:

V_{\text{пир}} = \dfrac{1}{6} V_{\text{пар}} = \dfrac{72}{6} = 12

Ответ: 12.

Объём усечённой пирамиды

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием исходной пирамиды и секущей плоскостью, параллельной основанию. Её основания — подобные многоугольники площадей $S_1$ и $S_2$ , а высота $h$ — расстояние между параллельными плоскостями оснований.

V = \dfrac{1}{3} h \left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right)

Пример задачи: вычисление объёма усечённой пирамиды

Задание: В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны $8$ и $2$ , а высота пирамиды равна $6$ . Найдите её объём.

Пошаговое решение:

1) Основания пирамиды — квадраты. Найдём их площади:
• Площадь нижнего основания: $S_1 = 8^2 = 64$ .
• Площадь верхнего основания: $S_2 = 2^2 = 4$ .

2) Вычислим среднее геометрическое площадей:

\sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{64 \cdot 4} = 8 \cdot 2 = 16

3) Подставим полученные значения и высоту $h = 6$ в формулу объёма усечённой пирамиды:

V = \dfrac{1}{3} \cdot 6 \cdot (64 + 16 + 4) = 2 \cdot 84 = 168

Ответ: 168.

Типичные ошибки при решении задач на объём пирамиды

При выполнении заданий по стереометрии школьники чаще всего допускают следующие три характерные ошибки:

Потеря коэффициента 1/3

Забывают умножить на $\dfrac{1}{3}$ и находят произведение $S_{\text{осн}} \cdot h$ . В итоге получают объём призмы вместо пирамиды, завышая правильный ответ ровно в 3 раза.

Подстановка апофемы вместо высоты пирамиды

Путают апофему (высоту боковой грани $L$ ) и высоту всей пирамиды ( $h$ ). Апофема всегда длиннее высоты пирамиды, так как является гипотенузой прямоугольного треугольника, составленного высотой пирамиды, апофемой и радиусом вписанной окружности.

Неверный радиус в основании при нахождении высоты

В правильной треугольной пирамиде путают радиус вписанной окружности $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ (применяемый с апофемой) и радиус описанной окружности $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ (применяемый с боковым ребром). Ошибка в выборе радиуса приводит к неверному значению высоты $h$ .

Задачи на объём пирамиды 11 класс

Задачи на объём пирамиды помогут вам отработать формулы и научиться решать задачи, благодаря подробным решениям с пояснениями. В каждом задании вы найдете большое количество вариантов и автоматическую проверку ответов.

Задача 1

Четырёхугольная пирамида — стороны прямоугольного основания, высота и объём

Темы2

Курсы2

Стереометрическая задача на формулу объёма пирамидыВариант 1

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 10 и 6. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 160.

Четырехугольная пирамида для задач

Ваш ответ

Задача 2

Объём прямоугольного тетраэдра и обратные задачи

Темы4

Курсы3

Стереометрическая задача на нахождение объёма треугольной пирамиды с взаимно перпендикулярными боковыми рёбрами (прямоугольный тетраэдр) либо одного из рёбер по известному объёму и двум другим рёбрам.Вариант 1

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$ , $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 15$ , $AC = 7$ и $AD = 9$ .

Прямоугольный тэтраэдр

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Чему равен объём пирамиды

Объём треугольной пирамиды

Объём четырёхугольной пирамиды

Объём правильной шестиугольной пирамиды

Объём треугольной пирамиды через объём параллелипепеда

Объём усечённой пирамиды

Типичные ошибки при решении задач на объём пирамиды

Задачи на объём пирамиды 11 класс

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой