МатематикаМатематика 10 класс

Прямоугольный параллелепипед в 10 классе: свойства и задачи

Определение (все грани — прямоугольники), свойства (все двугранные углы прямые, квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений).

Карта темы

Прямоугольный параллелепипед в курсе геометрии 10 класса — базовый пространственный многогранник, свойства которого открывают систематическое изучение раздела стереометрии и служат фундаментом для экзаменационных заданий ЕГЭ по математике (задание 3 и задание 14 профильного уровня, задание 13 базового уровня). В повседневной жизни форму прямоугольного параллелепипеда имеют классные комнаты, кирпичи, морские контейнеры, книги, упаковки товаров и системные блоки компьютеров.

При подготовке к урокам и самостоятельным работам в 10 классе важно опираться на геометрические свойства прямоугольного параллелепипеда: попарное равенство и параллельность противоположных граней, равенство всех четырёх пространственных диагоналей, свойства прямых двугранных углов, а также расчёт площади поверхности и объёма тела через три его линейных измерения.

Ниже собраны все свойства фигуры, представлена сводная таблица формул, разобран подробный алгоритм и пошаговые решения задач, а также открыт доступ к онлайн-тренажёрам Экзамео с мгновенной проверкой ответов.

Определение и свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, у которого основаниями являются прямоугольники.

Это означает, что боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, а абсолютно все шесть его граней являются прямоугольниками.

Прямоугольный параллелепипед с вершинами

Главные свойства прямоугольного параллелепипеда:

• Линейные размеры (три измерения): длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины: длина ( $a$ ), ширина ( $b$ ) и высота ( $c$ ). Три этих отрезка взаимно перпендикулярны и полностью задают геометрическую форму и размеры тела.

• Свойства противоположных граней: противоположные грани параллельны и равны между собой ( $ABCD = A_1B_1C_1D_1$ , $ABB_1A_1 = DCC_1D_1$ , $AA_1D_1D = BB_1C_1C$ ). Всего у параллелепипеда три пары равных прямоугольных граней.

• Свойства двугранных углов: любые две смежные грани взаимно перпендикулярны. Все 12 двугранных углов параллелепипеда являются прямыми ( $90^\circ$ ).

• Свойства рёбер: фигура содержит 12 рёбер, которые делятся на три четвёрки равных и параллельных между собой отрезков: 4 ребра длины $a$ , 4 ребра ширины $b$ и 4 ребра высоты $c$ .

• Свойства диагоналей: все четыре пространственные диагонали равны между собой ( $AC_1 = BD_1 = CA_1 = DB_1 = d$ ), пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии тела.

Свойства диагональных сечений и описанной сферы

Геометрическая симметрия прямоугольного параллелепипеда даёт важные свойства для решения стереометрических задач повышенной сложности:

1. Диагональные сечения всегда являются прямоугольниками:

Сечение, проходящее через два противоположных боковых ребра (например, $AA_1$ и $CC_1$ ) и диагонали оснований ( $AC$ и $A_1C_1$ ), представляет собой прямоугольник $AA_1C_1C$ . Сторонами этого прямоугольника служат диагональ основания $d_{\text{осн}} = \sqrt{a^2 + b^2}$ и высота $c$ .

2. Около любого прямоугольного параллелепипеда можно описать сферу:

Центр описанной сферы совпадает с точкой пересечения всех четырёх его пространственных диагоналей. Диагональ параллелепипеда служит диаметром описанной сферы ( $D = 2R = d$ ), откуда радиус сферы равен половине пространственной диагонали:

R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}

3. Вписанная сфера существует не всегда:

В прямоугольный параллелепипед можно вписать сферу тогда и только тогда, когда он является кубом ( $a = b = c$ ). В этом случае диаметр сферы равен ребру куба ( $2r = a$ ).

Диагональное сечение прямоугольного параллелипепеда и описанная сфера

Свойства и расчётные формулы прямоугольного параллелепипеда

Справочная таблица основных формул для решения задач самостоятельных и контрольных работ в 10 классе:

Элемент / Величина

Формула

Для куба

Геометрическое свойство

Объём параллелепипеда

$V = a \cdot b \cdot c$

$V = a^3$

Объём равен произведению площади основания на высоту: $V = S_{\text{осн}} \cdot c = ab \cdot c$ .

Площадь боковой поверхности

$S_{\text{бок}} = 2(a + b)c$

$S_{\text{бок}} = 4a^2$

Сумма площадей четырёх вертикальных граней: произведение периметра основания на высоту ( $P_{\text{осн}} \cdot c$ ).

Площадь полной поверхности

$S_{\text{полн}} = 2(ab + bc + ac)$

$S_{\text{полн}} = 6a^2$

Сумма площадей всех шести граней тела ( $2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$ ).

Сумма длин всех рёбер

$L = 4(a + b + c)$

$L = 12a$

Сумма 12 рёбер: по 4 одинаковых ребра каждого из трёх измерений.

Площадь диагонального сечения

$S_{\text{сеч}} = c\sqrt{a^2 + b^2}$

$S_{\text{сеч}} = a^2\sqrt{2}$

Сечение является прямоугольником со сторонами $d_{\text{осн}}$ и $c$ .

Связь объёма с площадями трёх граней

$V = \sqrt{S_1 \cdot S_2 \cdot S_3}$

$V = S_{\text{гр}}^{3/2}$

$S_1 = ab$ , $S_2 = bc$ , $S_3 = ac \implies S_1 S_2 S_3 = (abc)^2 = V^2$ .

Где встречаются задачи на прямоугольный параллелепипед

Задания на свойства и вычисление элементов прямоугольного параллелепипеда распределены по следующим учебным и экзаменационным блокам:

Самостоятельные работы 10 класса

Тематические проверочные работы по учебнику Атанасяна: нахождение измерений по площадям граней, вычисление углов между скрещивающимися рёбрами и нахождение площади сечений.

Задание 3 Профильного ЕГЭ

Базовые стереометрические задачи: расчёт изменения объёма при масштабировании рёбер, нахождение площади поверхности фигур с вырезами и радиуса описанной сферы.

Задание 13 Базового ЕГЭ

Практические расчётные задачи: вычисление объёма комнат, массы жидкости в резервуаре, расхода краски для стен или кафельной плитки для облицовки бассейна.

Задание 14 Профильного ЕГЭ (Часть 2)

Задачи с развёрнутым ответом: введение декартовой системы координат $Oxyz$ вдоль рёбер параллелепипеда для нахождения расстояний и углов между скрещивающимися прямыми векторным методом.

Алгоритм решения задач на прямоугольный параллелепипед

При решении стереометрических задач на прямоугольный параллелепипед ключевая цель — свести все пространственные данные к трём базовым линейным измерениям $a, b, c$ . Если в условии даны площади граней, периметры или отношения сторон, составьте систему алгебраических уравнений относительно этих трёх рёбер. Чертёж начинайте с нижнего основания в виде параллелограмма, после чего восстанавливайте равные вертикальные рёбра, отображая невидимые внутренние линии штриховым пунктиром.

Определите три линейных измерения фигуры: найдите или обозначьте переменными ( $a, b, c$ ) длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Если заданы пропорции (например, $2 : 3 : 5$ ), запишите рёбра как $2x, 3x, 5x$ .

Используйте свойства граней для составления уравнений: свяжите известные площади с рёбрами: $S_{\text{осн}} = ab$ , $S_{\text{бок1}} = bc$ , $S_{\text{бок2}} = ac$ . Помните, что произведение площадей трёх смежных граней равно квадрату объёма: $S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = V^2$ .

Примените свойства диагоналей и сечений: если в условии задано диагональное сечение, представьте его в виде прямоугольника со сторонами $d_{\text{осн}} = \sqrt{a^2 + b^2}$ и $c$ . Если фигурирует описанная сфера, используйте связь диаметра с пространственной диагональю ( $2R = d$ ).

Используйте перпендикулярность смежных граней для углов: так как рёбра параллелепипеда параллельны координатным осям, угол между скрещивающимися прямыми на гранях параллелепипеда легко находится параллельным переносом отрезков в одну общую плоскость грани.

Вычислите искомую геометрическую характеристику: подставьте найденные измерения $a, b, c$ в итоговую формулу объёма $V = abc$ , боковой поверхности $S_{\text{бок}} = 2(a + b)c$ , полной поверхности $S_{\text{полн}} = 2(ab + bc + ac)$ или суммы длин всех рёбер $L = 4(a + b + c)$ .

Задачи на прямоугольный параллелепипед с пошаговыми решениями

Ниже приведены подробные эталоны решений пяти типовых задач самостоятельных работ 10 класса и КИМов ЕГЭ, сфокусированных на геометрических свойствах параллелепипеда.

Нахождение измерений и объёма по площадям трёх граней

Условие: Площади трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равны $12\text{ см}^2$ , $15\text{ см}^2$ и $20\text{ см}^2$ . Найдите объём этого параллелепипеда и длины трёх его рёбер.

Пошаговое решение:

1) Обозначим три линейных измерения параллелепипеда через $a, b, c$ . Грани, имеющие общую вершину, попарно образованы этими рёбрами:

ab = 12, \quad bc = 15, \quad ac = 20

2) Перемножим эти три равенства почленно:

(ab) \cdot (bc) \cdot (ac) = 12 \cdot 15 \cdot 20

a^2 b^2 c^2 = (abc)^2 = 3600

3) Так как объём прямоугольного параллелепипеда равен $V = abc$ :

V = \sqrt{3600} = 60\text{ см}^3

4) Найдём каждое ребро делением объёма на площадь соответствующей грани:
• Ребро $c = \dfrac{V}{ab} = \dfrac{60}{12} = 5\text{ см}$ ;
• Ребро $a = \dfrac{V}{bc} = \dfrac{60}{15} = 4\text{ см}$ ;
• Ребро $b = \dfrac{V}{ac} = \dfrac{60}{20} = 3\text{ см}$ .

Ответ: объём равен $60\text{ см}^3$ ; рёбра равны $4\text{ см}$ , $3\text{ см}$ , $5\text{ см}$ .

Нахождение измерений и площади поверхности по пропорции рёбер и объёму

Условие: Линейные размеры прямоугольного параллелепипеда относятся как $2 : 3 : 5$ , а его объём равен $240\text{ см}^3$ . Найдите сумму длин всех его рёбер и площадь полной поверхности.

Пошаговое решение:

1) Обозначим коэффициент пропорциональности через $x$ ( $x > 0$ ). Измерения равны:

a = 2x, \quad b = 3x, \quad c = 5x

2) Запишем формулу объёма через введённую переменную:

V = a \cdot b \cdot c = 2x \cdot 3x \cdot 5x = 30x^3

3) По условию $V = 240$ :

30x^3 = 240 \implies x^3 = 8 \implies x = 2\text{ см}

4) Найдём длины рёбер:

a = 2 \cdot 2 = 4\text{ см}, \quad b = 3 \cdot 2 = 6\text{ см}, \quad c = 5 \cdot 2 = 10\text{ см}

5) Вычислим сумму длин всех 12 рёбер:

L = 4(a + b + c) = 4(4 + 6 + 10) = 4 \cdot 20 = 80\text{ см}

6) Вычислим площадь полной поверхности:

S_{\text{полн}} = 2(ab + bc + ac) = 2(4 \cdot 6 + 6 \cdot 10 + 4 \cdot 10) = 2(24 + 60 + 40) = 2 \cdot 124 = 248\text{ см}^2

Ответ: сумма длин рёбер равна $80\text{ см}$ ; площадь поверхности равна $248\text{ см}^2$ .

Изменение объёма и площади при масштабировании рёбер

Условие: Длину прямоугольного параллелепипеда увеличили в $2$ раза, ширину увеличили в $3$ раза, а высоту уменьшили в $4$ раза. Как и во сколько раз изменился объём параллелепипеда?

Пошаговое решение:

1) Пусть исходные измерения параллелепипеда равны $a, b, c$ . Тогда его начальный объём:

V_1 = a \cdot b \cdot c

2) Запишем новые линейные размеры параллелепипеда:

a_2 = 2a, \quad b_2 = 3b, \quad c_2 = \dfrac{c}{4}

3) Вычислим новый объём $V_2$ :

V_2 = a_2 \cdot b_2 \cdot c_2 = 2a \cdot 3b \cdot \dfrac{c}{4} = \dfrac{6}{4} \cdot abc = 1{,}5 \cdot abc

4) Найдём отношение нового объёма к начальному:

\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{1{,}5 \cdot abc}{abc} = 1{,}5

Объём параллелепипеда увеличился в $1{,}5$ раза (или на $50\%$ ).

Ответ: увеличился в $1{,}5$ раза.

Нахождение угла между скрещивающимися диагоналями смежных граней

Условие: В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между скрещивающимися прямыми $A_1B$ и $B_1C$ .

Пошаговое решение:

1) По свойству противоположных граней куба грань $AA_1B_1B$ параллельна и равна грани $DD_1C_1C$ .
Отрезок $A_1B$ параллелен отрезку $D_1C$ ( $A_1B \parallel D_1C$ ).

2) Заменим скрещивающуюся прямую $A_1B$ параллельной ей прямой $D_1C$ , пересекающейся с прямой $B_1C$ в точке $C$ .
Углом между скрещивающимися прямыми $A_1B$ и $B_1C$ является угол $\angle B_1CD_1$ в треугольнике $\Delta B_1CD_1$ .

3) Соединим вершины $B_1$ и $D_1$ отрезком $B_1D_1$ и рассмотрим треугольник $\Delta B_1CD_1$ :
• Отрезок $B_1C$ — диагональ правой грани куба со стороной $a$ : $B_1C = a\sqrt{2}$ ;
• Отрезок $D_1C$ — диагональ задней грани куба: $D_1C = a\sqrt{2}$ ;
• Отрезок $B_1D_1$ — диагональ верхнего основания куба: $B_1D_1 = a\sqrt{2}$ .

4) Все три стороны треугольника $\Delta B_1CD_1$ равны между собой ( $B_1C = D_1C = B_1D_1 = a\sqrt{2}$ ).
Следовательно, треугольник $\Delta B_1CD_1$ — равносторонний, и все его углы равны $60^\circ$ .

\angle B_1CD_1 = 60^\circ

Ответ: $60^\circ$ .

Свойства диагонального сечения и радиус описанной сферы

Условие: В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны $6$ и $8$ , а площадь диагонального сечения равна $120$ . Найдите высоту параллелепипеда и радиус описанной около него сферы.

Пошаговое решение:

1) Найдём диагональ прямоугольника основания ( $AC$ ):
Стороны основания равны $a = 6$ и $b = 8$ . По теореме Пифагора для прямоугольника основания:

AC = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

2) Найдём высоту параллелепипеда ( $c$ ):
Диагональное сечение $AA_1C_1C$ является прямоугольником со сторонами $AC = 10$ и высотой $c$ . По формуле площади прямоугольника:

S_{\text{сеч}} = AC \cdot c \implies 120 = 10 \cdot c \implies c = \dfrac{120}{10} = 12

3) Найдём длину пространственной диагонали ( $d$ ):
В диагональном сечении $AA_1C_1C$ отрезок $AC_1 = d$ является диагональю прямоугольника:

d = \sqrt{AC^2 + c^2} = \sqrt{10^2 + 12^2} = \sqrt{100 + 144} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}

4) Найдём радиус описанной сферы:
По свойству сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, её диаметр равен пространственной диагонали ( $2R = d$ ):

R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{2\sqrt{61}}{2} = \sqrt{61}

Ответ: высота равна $12$ ; радиус описанной сферы равен $\sqrt{61}$ .

Типичные ошибки в задачах на прямоугольный параллелепипед

При выполнении самостоятельных работ и экзаменационных заданий десятиклассники чаще всего допускают следующие четыре ошибки:

Потеря коэффициента 2 в площади поверхности

Складывают три произведения разных сторон: $ab + bc + ac$ , забывая умножить сумму на два.

Параллелепипед состоит из 6 граней, которые попарно равны! Результат обязательно умножается на 2: $S_{\text{полн}} = 2(ab + bc + ac)$ .

Путаница диагонали грани и диагонали тела

Считают, что диагональ основания равна пространственной диагонали фигуры.

Диагональ грани лежит на плоскости одной стенки ( $d_{\text{осн}} = \sqrt{a^2 + b^2}$ ), а пространственная диагональ проходит сквозь всё тело ( $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ ) и всегда длиннее диагонали любой грани.

Линейное изменение объёма при увеличении рёбер

Полагают, что если все рёбра параллелепипеда увеличить в 2 раза, то и объём увеличится в 2 раза.

При увеличении всех трёх измерений в $k$ раз объём увеличивается в $k^3$ раз: $(2a)(2b)(2c) = 8abc$ , то есть объём вырастет в 8 раз!

Ложное равенство диагоналей граней

Считают, что диагонали всех граней прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

Равны только диагонали противоположных граней. Диагонали разных смежных граней различны: $\sqrt{a^2+b^2} \neq \sqrt{b^2+c^2}$ . Все диагонали граней равны исключительно у куба.

Задания на тему «Прямоугольный параллелепипед» для 10 класса

Тренажёры по теме «Прямоугольный параллелепипед» содержат подборку практических заданий за 10 класс из самостоятельных и контрольных работ, школьных учебников по стереометрии и открытого банка задач ЕГЭ по математике профильного и базового уровней. Для каждого задания вы найдёте подробные решения, пошаговые подсказки и автоматическую проверку ответов.

Задача 1

Число рёбер, граней и вершин куба с отпиленными вершинами

Темы2

Курсы2

Стереометрическая задача из базового ЕГЭ по математике на подсчёт геометрических элементов (рёбер, граней или вершин) усечённого кубика, у которого отпилили все 8 вершин.Вариант 1

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Ваш ответ

Задача 2

Задание плоскости в многограннике

Темы3

Курсы1

Тренажёр для 10 класса на применение аксиомы А1 и следствий из неё внутри тетраэдра SABC и параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Проверяет умение отличать компланарные элементы от скрещивающихся, прямые линии от троек точек, задающих единственную плоскость.Вариант 1

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ . Через какую из следующих пар прямых невозможно провести плоскость?

Ваш ответ

Прямые

CC_1

CB

Прямые

CC_1

AB

Прямые

CB

CD

Прямые

CC_1

AA_1

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Связанные темы

Пространственная теорема ПифагораВ прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений.Открыть тему Предмет стереометрииОпределение стереометрии, отличие от планиметрии, основные геометрические тела.Открыть тему

Определение и свойства прямоугольного параллелепипеда

Свойства и расчётные формулы прямоугольного параллелепипеда

Где встречаются задачи на прямоугольный параллелепипед

Алгоритм решения задач на прямоугольный параллелепипед

Задачи на прямоугольный параллелепипед с пошаговыми решениями

Типичные ошибки в задачах на прямоугольный параллелепипед

Задания на тему «Прямоугольный параллелепипед» для 10 класса

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой