МатематикаМатематика 11 класс

Цилиндр - формулы, теория, сечения и задачи

Определение цилиндра (тело, образованное вращением прямоугольника вокруг его стороны), элементы (ось, основания, образующие, радиус, высота), прямой круговой цилиндр.

Карта темы

Тема «Цилиндр» в 11 классе по геометрии открывает ключевой раздел стереометрии, посвящённый телам вращения. На уроках геометрии, проверочных тестах и в материалах ЕГЭ одиннадцатиклассники сталкиваются с необходимостью рассчитывать геометрические элементы цилиндрических поверхностей, строить сечения и вычислять объёмы.

На этой странице собраны подробная теория, все базовые формулы, разбор сечений и типовые задачи на цилиндр за 11 класс, которые помогут уверенно подготовиться к контрольным и самостоятельным работам, а также закрепить навык в онлайн-тренажёре с пошаговой проверкой ответов.

В курсе 11 класса цилиндр рассматривается как пространственное тело вращения, полученное в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. Границами цилиндра выступают два равных параллельных круглых основания и гладкая боковая поверхность, состоящая из отрезков образующих. Чтобы безошибочно решать задачи на цилиндр в 11 классе, важно понимать взаимосвязь между высотой, радиусом, диагоналями осевых сечений и хордами оснований.

Прямой круговой цилиндр — тело вращения, ограниченное цилиндрической боковой поверхностью и двумя равными кругами в параллельных плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

• Ось цилиндра: прямая, соединяющая центры оснований. Ось строго перпендикулярна плоскостям оснований и служит осью симметрии тела.

• Образующая ( $l$ ): отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и параллельный оси. Для прямого цилиндра образующая перпендикулярна основаниям и равна высоте: $l = h$ .

• Равносторонний цилиндр: цилиндр, у которого высота равна диаметру основания ( $h = 2R$ ). Его осевое сечение является квадратом.

Элементы цилиндра в школьной геометрии 11 класса

При подготовке к самостоятельной работе по теме цилиндр в 11 классе важно разграничивать линейные параметры цилиндра :

Элемент цилиндра

Определение в курсе 11 класса

Формулы и обозначения

Основания

Два равных круга радиуса $R$ , лежащих в параллельных плоскостях.

Площадь одного основания: $S_{\text{осн}} = \pi R^2$ . Суммарная площадь двух оснований: $2S_{\text{осн}} = 2\pi R^2$ .

Высота и образующая

Высота $h$ — расстояние между основаниями. Образующая $l$ — отрезок, описывающий боковую поверхность при вращении.

Для прямого кругового цилиндра высота и образующая равны: $l = h$ .

Ось цилиндра

Отрезок, соединяющий центры верхнего и нижнего оснований ( $O_1O_2$ ).

Длина отрезка оси равна высоте цилиндра: $O_1O_2 = h$ . Ось перпендикулярна обоим основаниям.

Боковая поверхность

Криволинейная внешняя стенка, разворачивающаяся на плоскость в прямоугольник.

Стороны развёртки равны длине окружности основания $2\pi R$ и высоте $h$ .

Формулы цилиндра: площадь и объём для 11 класса

Для успешного выполнения контрольной и самостоятельной работы по теме «Цилиндр» в 11 классе необходимо знать три базовые расчётные формулы:

Боковая поверхность

Площадь развёртки стенки

Произведение длины окружности основания на высоту:

S_{\text{бок}} = 2\pi R h

Полная поверхность

Стенка и два основания

Сумма боковой площади и двух круглых оснований:

S_{\text{полн}} = 2\pi R(h + R)

Объём цилиндра

Вместимость тела

Произведение площади основания на высоту:

V = \pi R^2 h

Сечение цилиндра: виды и геометрические свойства

Большинство стереометрических задач на цилиндр в 11 классе строится вокруг расчёта сечений секущими плоскостями. В зависимости от расположения плоскости выделяют три основных типа сечений:

Осевое сечение цилиндра

Осевым сечением называют сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через его ось вращения ( $O_1O_2$ ):

• Осевое сечение прямого цилиндра — это прямоугольник со сторонами $2R$ (диаметр основания) и $h$ (высота или образующая цилиндра).

• Площадь осевого сечения равна:

S_{\text{сеч}} = 2Rh

• Отсюда вытекает прямая связь боковой поверхности цилиндра с площадью осевого сечения: $S_{\text{бок}} = \pi \cdot S_{\text{сеч}}$ .

• Диагональ осевого сечения $d_{\text{сеч}}$ связывает диаметр и высоту теоремой Пифагора: $d_{\text{сеч}}^2 = (2R)^2 + h^2$ .

Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра

Если плоскость параллельна оси цилиндра и удалена от неё на расстояние $d < R$ , в сечении также получается прямоугольник:

• Две противоположные стороны сечения являются образующими цилиндра длиной $h$ , а две другие — параллельными хордами оснований длиной $a$ .

• Отрезок расстояния от оси до секущей плоскости $d$ перпендикулярен хорде $a$ и делит её пополам. В основании образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$ и катетами $d$ и $\dfrac{a}{2}$ :

R^2 = d^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \implies a = 2\sqrt{R^2 - d^2}

• Площадь сечения равна произведению длины хорды на высоту: $S = a \cdot h = 2h\sqrt{R^2 - d^2}$ .

Поперечное и наклонное сечения цилиндра

• Сечение плоскостью, перпендикулярной оси: секущая плоскость параллельна основаниям цилиндра и отсекает круг, в точности равный основанию (радиус равен $R$ , площадь равна $\pi R^2$ ).

• Наклонное сечение: плоскость пересекает все образующие цилиндра под острым углом к плоскости основания. Полученное сечение имеет форму эллипса с малой полуосью $R$ и большой полуосью $\dfrac{R}{\cos\varphi}$ , где $\varphi$ — угол наклона плоскости сечения к основанию.

Задачи на цилиндр 11 класс с подробными решениями

Ниже приведены подробные пошаговые решения пяти типичных задач по теме «Цилиндр», которые регулярно встречаются на самостоятельных работах по геометрии в 11 классе, а также в первой и второй части профильного ЕГЭ по математике.

Задача 1: Нахождение высоты и радиуса по диагонали осевого сечения

Условие: Диагональ осевого сечения цилиндра равна $16\text{ см}$ и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$ . Найдите высоту цилиндра, радиус основания и площадь осевого сечения.

Пошаговое решение:

1) Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $2R$ (диаметр основания) и $h$ (высота). Диагональ $d = 16\text{ см}$ образует прямоугольный треугольник с диаметром и высотой.

2) Найдём высоту цилиндра $h$ как катет, лежащий напротив угла $30^\circ$ :

h = d \cdot \sin 30^\circ = 16 \cdot \dfrac{1}{2} = 8\text{ см}

3) Найдём диаметр основания $2R$ (прилежащий катет):

2R = d \cdot \cos 30^\circ = 16 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\text{ см} \implies R = 4\sqrt{3}\text{ см}

4) Вычислим площадь осевого сечения как произведение диаметра на высоту:

S_{\text{сеч}} = 2R \cdot h = 8\sqrt{3} \cdot 8 = 64\sqrt{3}\text{ см}^2

Ответ: $h = 8\text{ см}$ ; $R = 4\sqrt{3}\text{ см}$ ; $S_{\text{сеч}} = 64\sqrt{3}\text{ см}^2$ .

Задача 2: Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси (классика самостоятельных работ)

Условие: Высота цилиндра равна $8\text{ см}$ , радиус основания равен $10\text{ см}$ . В цилиндре проведено сечение плоскостью, параллельной оси и удалённой от неё на расстояние $6\text{ см}$ . Найдите площадь этого сечения.

Пошаговое решение:

1) Сечение представляет собой прямоугольник со сторонами $h$ (высота цилиндра) и $a$ (хорда основания).

2) Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения $d = 6\text{ см}$ делит хорду $a$ пополам под прямым углом. В основании возникает прямоугольный треугольник с гипотенузой $R = 10\text{ см}$ и катетом $d = 6\text{ см}$ .

3) Найдём половину длины хорды по теореме Пифагора:

\dfrac{a}{2} = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\text{ см}

4) Полная длина стороны сечения равна:

a = 2 \cdot 8 = 16\text{ см}

5) Вычислим площадь сечения:

S_{\text{сеч}} = a \cdot h = 16 \cdot 8 = 128\text{ см}^2

Ответ: 128.

Задача 3: Расчёт параметров равностороннего цилиндра

Условие: Площадь полной поверхности равностороннего цилиндра равна $54\pi\text{ см}^2$ . Найдите радиус основания, высоту и объём цилиндра. В ответе для объёма запишите $\dfrac{V}{\pi}$ .

Пошаговое решение:

1) Для равностороннего цилиндра высота равна диаметру основания: $h = 2R$ .

2) Подставим $h = 2R$ в формулу полной поверхности:

S_{\text{полн}} = 2\pi R(h + R) = 2\pi R(2R + R) = 2\pi R \cdot 3R = 6\pi R^2

3) Приравняем к заданному значению площади:

6\pi R^2 = 54\pi \implies R^2 = \dfrac{54}{6} = 9 \implies R = 3\text{ см}

4) Найдём высоту цилиндра:

h = 2R = 2 \cdot 3 = 6\text{ см}

5) Найдём объём цилиндра:

V = \pi R^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 54\pi\text{ см}^3 \implies \dfrac{V}{\pi} = 54

Ответ: $R = 3\text{ см}$ ; $h = 6\text{ см}$ ; 54.

Задача 4: Нахождение объёма цилиндра через длину окружности основания

Условие: Длина окружности основания прямого цилиндра равна $12\pi$ , а его образующая равна $7$ . Найдите объём цилиндра. В ответе запишите $\dfrac{V}{\pi}$ .

Пошаговое решение:

1) Для прямого цилиндра образующая равна высоте: $h = l = 7$ .

2) Длина окружности основания задаётся формулой $C = 2\pi R$ . Найдём радиус $R$ :

2\pi R = 12\pi \implies R = \dfrac{12\pi}{2\pi} = 6

3) Вычислим площадь круглого основания:

S_{\text{осн}} = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi

4) Вычислим объём цилиндра:

V = S_{\text{осн}} \cdot h = 36\pi \cdot 7 = 252\pi

5) Разделим полученный объём на $\pi$ :

\dfrac{V}{\pi} = 252

Ответ: 252.

Задача 5: Цилиндр, описанный около правильной четырёхугольной призмы (прототип ЕГЭ)

Условие: В цилиндр вписана правильная четырёхугольная призма со стороной основания $4\sqrt{2}$ и высотой $5$ . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. В ответе запишите $\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi}$ .

Пошаговое решение:

1) Основанием правильной четырёхугольной призмы служит квадрат со стороной $a = 4\sqrt{2}$ . Высота призмы равна высоте цилиндра: $h = 5$ .

2) Круг основания цилиндра описан около квадрата со стороной $a$ . Диагональ квадрата $d_{\text{кв}}$ равна диаметру окружности $2R$ :

d_{\text{кв}} = a\sqrt{2} = (4\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8

3) Отсюда радиус цилиндра равен половине диагонали:

2R = 8 \implies R = 4

4) Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра:

S_{\text{бок}} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 4 \cdot 5 = 40\pi

5) Разделим результат на $\pi$ :

\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi} = 40

Ответ: 40.

Типичные ошибки в самостоятельных работах по теме «Цилиндр»

При выполнении контрольных и самостоятельных работ по геометрии в 11 классе учащиеся чаще всего допускают следующие четыре ошибки:

Подстановка диаметра вместо радиуса

Основание осевого сечения равно диаметру ( $2R = 10$ ). Число 10 напрямую подставляют в формулу объёма $V = \pi R^2 h$ , получая результат в 4 раза больше истинного. Если в задаче дан диаметр или основание осевого сечения, сначала обязательно разделите его на 2: $R = 5$ .

Потеря половины хорды при параллельном сечении

В задаче на сечение, параллельное оси, расстояние $d$ от оси до сечения делит хорду основания пополам. Вычислив катет по теореме Пифагора $\sqrt{R^2 - d^2} = 8$ , его сразу принимают за всю сторону сечения, забывая умножить на 2 ( $a = 16$ ). Это занижает площадь ровно в два раза.

Путаница площади боковой поверхности и полной

Когда в задаче требуется найти полную поверхность, находят только боковую стенку $2\pi Rh$ или прибавляют лишь одно круглое основание вместо двух ( $2\pi R^2$ ). Внимательно проверяйте условие: замкнутый цилиндр всегда имеет два основания.

Игнорирование требования разделить на пи

В заданиях ЕГЭ и тестах просят записать в ответ величину $\dfrac{S}{\pi}$ или $\dfrac{V}{\pi}$ . Если вписать в поле ответа букву $\pi$ или начать приближённо округлять с числом $3{,}14$ , компьютерная система тестирования не сможет распознать целое число и не зачтёт верное решение.

Задачи на цилиндр 11 класс с онлайн-проверкой

Банк практических заданий по теме «Цилиндр» для 11 класса собран в интерактивном тренажёре Экзамео. Тренируйтесь находить площади сечений, объёмы, радиусы и образующие, проверяйте свои ответы за секунду, разбирайте пошаговые подсказки и успешно готовьтесь к самостоятельным и контрольным работам по стереометрии!

Задача 1

Отношение объёмов двух цилиндрических кружек

Темы1

Курсы1

Стереометрическая текстовая задача на нахождение отношения объёмов двух цилиндрических сосудов (кружек, кастрюль, банок), у которых заданы кратные соотношения высот и диаметров/радиусов оснований.Вариант 1

Даны две кастрюли цилиндрической формы. Первая кастрюл в 4,5 раза ниже второй, а вторая в три раза ýже первой. Во сколько раз объём первой кастрюли больше объёма второй?

Две кружки задача база

Ваш ответ

Задача 2

Соотношение объёмов цилиндра и вписанного конуса

Темы4

Курсы1

Задача по стереометрии на связь объёмов цилиндра и конуса, имеющих общее основание и равную высоту. Включает прямое нахождение объёма конуса по объёму цилиндра, обратную задачу, нахождение объёма оставшейся части цилиндра (разности объёмов), а также сравнение объёмов тел.Вариант 1

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Объём конуса равен 20. Найдите объём цилиндра.

Конус внутри цилиндра

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план