Конус - тема геометрии 11 класс - теория и тренажеры с решениями

Тема «Конус и тела вращения» в 11 классе — один из ключевых разделов школьного курса стереометрии. Изучение конуса завершает курс пространственной геометрии и достаточно часто проверяется в первой и второй частях профильного и базового ЕГЭ по математике. Для решения задач необходимо владеть не только готовыми формулами объёма и площадей, но и понимать геометрическое строение развёртки, осевых сечений и комбинаций конуса со сферой и цилиндром.

На этой странице представлен полный справочник по теме: определение прямого кругового конуса, теорема Пифагора для его элементов, виды плоских сечений, вывод формул площадей и объёма, комбинации с шаром, а также разбор типовых задач экзаменационного уровня. После теоретического материала вы сможете закрепить навыки в онлайн-тренажёрах с пошаговыми решениями и проверкой ответов.

Определение конуса и его базовые элементы

Прямой круговой конус: геометрическое тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Прямая, содержащая этот катет, является осью вращения (осью конуса).

• Вершина конуса ( $S$ ): точка, в которой сходятся все образующие конуса (вершина прямого угла или острого угла вращаемого треугольника, лежащая на оси).

• Основание конуса: круг радиуса $R$ , полученный вращением второго катета вокруг оси. Центр круга $O$ — основание высоты конуса.

• Высота конуса ( $h$ или $H$ ): перпендикуляр $SO$ , опущенный из вершины на плоскость основания (совпадает с осью конуса).

• Образующая конуса ( $l$ ): отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой окружности основания (гипотенуза вращаемого треугольника). В прямом конусе все образующие равны между собой.

• Ключевое метрическое соотношение: треугольник $SOA$ , образованный высотой, радиусом основания и образующей, является прямоугольным. По теореме Пифагора получаем базовое равенство:

l^2 = h^2 + R^2 \implies l = \sqrt{h^2 + R^2}

Сечения конуса плоскостями

При пересечении прямого конуса плоскостью в зависимости от её положения образуются различные плоские геометрические фигуры:

Осевое сечение

Через ось конуса

Плоскость проходит через ось $SO$ .

• Сечение представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ , основанием $2R$ и высотой $h$ .
• Площадь осевого сечения равна $S_{\text{сеч}} = \dfrac{1}{2} \cdot 2R \cdot h = R \cdot h$ .
• Если осевое сечение — правильный треугольник ( $l = 2R$ ), конус называют равносторонним.

Параллельно основанию

Перпендикулярно оси

Плоскость перпендикулярна оси $SO$ .

• Сечение представляет собой круг радиуса $r < R$ .
• Центр сечения лежит на высоте конуса.
• Плоскость отсекает от конуса меньший конус, подобный исходному. Отношение радиусов равно отношению высот и составляет $\dfrac{r}{R} = \dfrac{h_1}{h}$ .

Через вершину под углом

Хордовое сечение

Плоскость проходит через вершину $S$ и пересекает основание по хорде $AB$ .

• Сечение — равнобедренный треугольник $SAB$ с боковыми сторонами $SA = SB = l$ .
• Основание треугольника — хорда $AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$ , где $d$ — расстояние от центра $O$ до плоскости сечения.

Пример: расчёт угла и площади осевого сечения

Радиус основания конуса равен 6, а образующая равна 10. Найдите высоту конуса, площадь его осевого сечения и угол при вершине осевого сечения.

Пошаговое решение:

1) Найдём высоту конуса $h$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $SOA$ .

h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8

2) Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием $2R = 2 \cdot 6 = 12$ и высотой $h = 8$ . Вычисляем его площадь:

S_{\text{сеч}} = R \cdot h = 6 \cdot 8 = 48

3) Половина угла при вершине $\angle OSA = \varphi$ определяется через отношение катета к гипотенузе:

\sin \varphi = \dfrac{R}{l} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6 \implies \varphi = \arcsin(0{,}6)

Угол при вершине равен удвоенному значению $2\varphi = 2\arcsin(0{,}6)$ .

Ответ: высота равна 8; площадь осевого сечения равна 48; угол при вершине равен $2\arcsin(0{,}6)$ .

Площадь поверхности и объём конуса

Поверхность конуса состоит из плоского круглого основания и искривлённой боковой поверхности. Чтобы найти площадь боковой поверхности, конус мысленно разрезают по образующей $l$ и разворачивают на плоскость.

Развёртка боковой поверхности и формулы площадей

Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор радиуса $l$ , длина дуги которого в точности равна длине окружности основания конуса $C = 2\pi R$ .

• Центральный угол развёртки ( $\alpha$ в градусах) вычисляется по формуле:

\alpha = \dfrac{R}{l} \cdot 360^\circ \quad \left(\text{в радианах: } \alpha = \dfrac{2\pi R}{l}\right)

• Площадь боковой поверхности ( $S_{\text{бок}}$ ) равна площади кругового сектора с радиусом $l$ и дугой $2\pi R$ :

S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} \cdot \text{длина дуги} \cdot l = \dfrac{1}{2} \cdot 2\pi R \cdot l = \pi R l

• Площадь основания ( $S_{\text{осн}}$ ) представляет собой площадь круга радиуса $R$ :

S_{\text{осн}} = \pi R^2

• Площадь полной поверхности ( $S_{\text{полн}}$ ) равна сумме площадей боковой поверхности и основания:

S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = \pi R l + \pi R^2 = \pi R(l + R)

Объём конуса

Объём кругового конуса вычисляется аналогично объёму пирамиды. Он равен одной трети произведения площади основания на высоту:

V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h

Связь объёмов цилиндра и конуса

Если цилиндр и конус имеют общее основание и равные высоты, то выполняются следующие соотношения.

• Объём конуса ровно в 3 раза меньше объёма цилиндра и равен:

V_{\text{кон}} = \dfrac{1}{3} V_{\text{цил}}

• Оставшаяся часть цилиндра вокруг вписанного конуса составляет $\dfrac{2}{3}$ объёма цилиндра. Эта теорема часто встречается в практических задачах ЕГЭ.

Пример: нахождение объёма и площади через угол развёртки

Задание: Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой полукруг радиуса 12. Найдите объём этого конуса.

Пошаговое решение:

1) Радиус сектора развёртки равен образующей конуса: $l = 12$ .

2) Сектор является полукругом, значит его центральный угол равен $\alpha = 180^\circ$ . Используем формулу угла развёртки:

\alpha = \dfrac{R}{l} \cdot 360^\circ \implies 180^\circ = \dfrac{R}{12} \cdot 360^\circ \implies \dfrac{R}{12} = \dfrac{1}{2} \implies R = 6

3) Найдём высоту конуса $h$ по теореме Пифагора:

h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}

4) Вычислим объём конуса:

V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 6\sqrt{3} = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3}\pi

Ответ: $72\sqrt{3}\pi$ .

Усечённый конус: элементы и формулы

Усечённым конусом называется часть конуса, заключённая между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Усечённый конус также образуется при вращении прямоугольной трапеции вокруг стороны, перпендикулярной основаниям.

• Элементы: нижнее основание радиуса $R_1$ , верхнее основание радиуса $R_2$ ( $R_1 > R_2$ ), высота $h$ (расстояние между плоскостями оснований), образующая $l$ .

• Связь образующей, высоты и радиусов: осевое сечение усечённого конуса — равнобедренная трапеция с основаниями $2R_1$ и $2R_2$ . Опустив высоту из вершины верхнего основания, получаем прямоугольный треугольник с катетами $h$ и $(R_1 - R_2)$ и гипотенузой $l$ :

l^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2 \implies l = \sqrt{h^2 + (R_1 - R_2)^2}

Площади поверхностей усечённого конуса

Боковая поверхность выражается формулой:

S_{\text{бок}} = \pi(R_1 + R_2)l

Полная поверхность равна сумме боковой поверхности и площадей обоих оснований:

S_{\text{полн}} = \pi(R_1 + R_2)l + \pi R_1^2 + \pi R_2^2

Объём усечённого конуса

Формула аналогична объёму усечённой пирамиды:

V = \dfrac{1}{3}\pi h \left(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2\right)

где $R_1$ и $R_2$ — радиусы нижнего и верхнего оснований, $h$ — высота.

Комбинации конуса с другими геометрическими телами

В стереометрии профильного уровня задачи на конус часто строятся на взаимном расположении со сферой:

• Сфера, вписанная в конус: сфера касается основания конуса в его центре и каждой образующей. Радиус вписанной сферы $r_{\text{сф}}$ равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса (равнобедренный треугольник со сторонами $l$ , $l$ , $2R$ ):

r_{\text{сф}} = \dfrac{S_{\text{сеч}}}{p_{\text{сеч}}} = \dfrac{R \cdot h}{R + l}

• Сфера, описанная около конуса: вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности сферы. Центр сферы лежит на оси конуса (или её продолжении) и совпадает с центром окружности, описанной около равнобедренного треугольника осевого сечения:

R_{\text{сф}} = \dfrac{l^2}{2h}

• Конус и правильная пирамида: пирамида называется вписанной в конус, если её основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса (боковые рёбра пирамиды являются образующими конуса). Пирамида описана около конуса, если её основание описано около основания конуса, а грани касаются боковой поверхности конуса.

Типичные ошибки при решении задач на конус

При сдаче ЕГЭ и выполнении контрольных работ школьники чаще всего допускают следующие три ошибки:

Путаница высоты и образующей

В формуле площади боковой поверхности $S_{\text{бок}} = \pi R l$ подставляют высоту $h$ вместо образующей $l$ . Запомните: образующая всегда длиннее высоты ( $l > h$ ), так как является гипотенузой прямоугольного треугольника $SOA$ .

Потеря множителя 1/3 в формуле объёма

Забывают коэффициент $\dfrac{1}{3}$ и вычисляют произведение $\pi R^2 h$ , получая объём цилиндра, а не конуса. Объём конуса всегда составляет ровно треть от объёма соответствующего цилиндра.

Ошибки с радиусом развёртки

При вычислении угла развёртки боковой поверхности в качестве радиуса сектора берут радиус основания $R$ вместо образующей $l$ . Сектор развёртки вырезается из круга радиуса $l$ , а радиус основания $R$ задаёт лишь длину дуги этого сектора ( $2\pi R$ ).

Задания и тренажёр по теме «Конус» на Экзамео

В интерактивных тренажёрах образовательной платформы Экзамео собрана полная база стереометрических задач по теме «Конус и усечённый конус» для 11 класса: вычисление элементов по осевому сечению, задачи на развёртку и угол при вершине, площади поверхностей, расчёт объёмов тел вращения и сложные комбинации конуса со сферой из банка заданий ЕГЭ.

Задача 1

Взаимосвязь объёма, радиуса основания и высоты конуса

Темы2

Курсы1

Стереометрическая задача на конус. По формуле объёма конуса рассматриваются три прямых и обратных подтипа: нахождение высоты h (по известным V и R), нахождение радиуса R (по известным V и h) и вычисление объёма, делённого на число пи.Вариант 1

Объём конуса равен $147\pi$ , а его высота равна 9. Найдите радиус основания конуса.

Конус с высотой

Ваш ответ

Задача 2

Соотношение объёмов цилиндра и вписанного конуса

Темы3

Курсы1

Задача по стереометрии на связь объёмов цилиндра и конуса, имеющих общее основание и равную высоту. Включает прямое нахождение объёма конуса по объёму цилиндра, обратную задачу, нахождение объёма оставшейся части цилиндра (разности объёмов), а также сравнение объёмов тел.Вариант 1

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Объём конуса равен 20. Найдите объём цилиндра.

Конус внутри цилиндра

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план