На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Упрощение выражений» для учащихся 5 класса. После теории вы можете научиться раскрывать скобки, выносить общий множитель за скобки, приводить подобные слагаемые и успешно подготовиться к самостоятельным, контрольным работам и ВПР по математике в интерактивных тренажёрах с подробными решениями.
В 5 классе на уроках математики происходит переход от простых числовых расчётов к работе с буквенными выражениями. Чтобы быстро решать длинные уравнения и текстовые задачи, нужно уметь делать выражения короче и проще. Упростить выражение — значит заменить его более простым, равным ему выражением с помощью математических свойств.
Главный инструмент упрощения выражений в 5 классе
В основе всех правил упрощения выражений в 5 классе лежит распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания:
• Относительно сложения: (a + b) · c = a·c + b·c
• Относительно вычитания: (a − b) · c = a·c − b·c
Это свойство работает в обе стороны:
1) Раскрытие скобок: умножаем число за скобкой на каждое слагаемое внутри скобок;
2) Вынесение общего множителя: складываем или вычитаем коэффициенты при одинаковых буквах: a·c + b·c = (a + b) · c.
Два основных приёма упрощения
В 5 классе выделяют два ключевых действия при упрощении буквенных и числовых выражений:
1. Сложение и вычитание слагаемых с буквой ➕
• Суть: чтобы сложить выражения с одинаковой буквой, складываем их числа (коэффициенты), а букву оставляем прежней.
• Пример 1: 4x + 3x = (4 + 3) · x = 7x.
• Пример 2: 12a − 5a = (12 − 5) · a = 7a.
• Важно: если буква стоит одна (напр. x), её числовой коэффициент равен 1 (x = 1x).
• Пример 3: 8y + y = 8y + 1y = 9y.
2. Умножение чисел и букв ✖️
• Суть: при умножении нескольких множителей отдельно перемножаем числа, а букву приписываем рядом (сочетательное свойство).
• Пример 1: 4 · x · 5 = (4 · 5) · x = 20x.
• Пример 2: 6a · 3 = (6 · 3) · a = 18a.
• Пример 3: 2m · 5n = (2 · 5) · m · n = 10mn.
Таблица правил для упрощения выражений
В таблице ниже приведена наглядная шпаргалка по всем типам заданий для 5 класса, используйте её, чтобы лучше запомнить все свойства и избегать ошибок на самостоятельных и контрольных работах:
Тип выражения
Используемое правило
Пример упрощения
Сложение одинаковых букв
Складываем коэффициенты, букву пишем один раз.
14b + 6b = (14 + 6)b = 20b
Вычитание с одиночной буквой
Учитываем, что одиночная буква имеет коэффициент 1.
15k − k = 15k − 1k = 14k
Умножение числа на буквенное выражение
Перемножаем числа между собой.
8 · 5x = (8 · 5) · x = 40x
Раскрытие скобок
Умножаем число за скобкой на каждое число в скобках.
5 · (x + 7) = 5·x + 5·7 = 5x + 35
Смешанное выражение с числами
Буквы складываем с буквами, числа с числами!
7x + 12 + 3x − 4 = (7x + 3x) + (12 − 4) = 10x + 8
Алгоритм упрощения буквенных выражений
Чтобы безошибочно упрощать любые выражения по математике в 5 классе, придерживайтесь этого пошагового алгоритма:
Раскройте скобки (если они есть в выражении): примените распределительное свойство, умножив число за скобками на каждое слагаемое в скобках.
Найдите слагаемые с одинаковыми буквами: подчеркните однородные слагаемые (например, 5x и 3x). Помните, что перед одиночной буквой стоит скрытый коэффициент 1!
Сложите или вычтите их числа (коэффициенты): выполните действие с числами при букве, а саму буквенную часть перепишите без изменений.
Отдельно посчитайте обычные числа (без букв): сложите или вычтите свободные числовые слагаемые и запишите итоговый ответ.
Типичные ошибки в заданиях на упрощение выражений
При выполнении заданий на упрощение выражений ученики 5 класса чаще всего допускают следующие ошибки:
Сложение чисел с буквами
Складывать число с буквенным слагаемым (например, 5x + 3 = 8x ❌). Запомните: числа без букв нельзя складывать с числами при буквах! 5x + 3 — выражение дальше не упрощается ✅!
Забывание коэффициента 1 при одиночной букве
Считать, что у буквы без числа нет коэффициента (например, 7a − a = 7 ❌). Запомните: a — это 1a, поэтому 7a − 1a = 6a ✅!
Постарайтесь обращать на это внимание при выполнении самостоятельных и контрольных работ.
Разбор практических примеров
Рассмотрите полные образцы решения типовых заданий по математике для 5 класса.
Пример 1: Упрощение выражения и подстановка значения переменной
Задание: Упростите выражение 18x + 12x − 15x + 7 и найдите его значение при x = 4.
Подробное решение:
1) Сгруппируем слагаемые с переменной x:
• (18 + 12 − 15) · x + 7
2) Выполним действия в скобках:
• 18 + 12 = 30
• 30 − 15 = 15
• Получаем упрощённое выражение: 15x + 7.
3) Подставим x = 4 в упрощённое выражение:
• 15 · 4 + 7 = 60 + 7 = 67.
Ответ: Упрощённое выражение: 15x + 7; Значение при x = 4 равно 67.
Пример 2: Решение уравнения с помощью предварительного упрощения
Задание: Решите уравнение 9y − y + 15 = 87 (задание из контрольной работы за 5 класс).
Подробное решение:
1) Упростим левую часть уравнения:
• Помним, что y = 1y.
• 9y − 1y = 8y.
• Уравнение принимает вид: 8y + 15 = 87.
2) Найдем неизвестное слагаемое 8y:
• 8y = 87 − 15
• 8y = 72
3) Найдем неизвестный множитель y:
• y = 72 : 8
• y = 9
Ответ: y = 9.
Карточки-тренажёры по теме «Упрощение выражений»
Онлайн-тренажёры и дидактические карточки по теме «Упрощение выражений» для 5 класса с подробными решениями и автоматической проверкой ответов включают в себя задачи на раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, вынесение общего множителя и решение уравнений составлены в точном соответствии с учебной программой за 5 класс и требованиями ВПР по математике!
Рациональные вычисления с дробями
Темы5
Курсы2
Вычислите наиболее удобным способом:
Рациональные вычисления с натуральными числами
Темы4
Курсы2
Вычислите наиболее удобным способом: