Перпендикулярные прямые: определение, свойства, построение и перпендикуляр

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме «Перпендикулярные прямые» по геометрии для 7 класса. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам освоить базовое определение перпендикулярности, изучить теорему о единственности перпендикуляра, освоить алгоритмы построения с помощью чертёжного угольника и циркуля, а также научиться решать задачи из самостоятельно-контрольных работ.

Перпендикулярные прямые — одно из ключевых понятий школьной планиметрии. На свойстве перпендикулярности строятся высоты треугольников, прямоугольные системы координат, прямоугольники и квадраты, а также понятие расстояния от точки до прямой.

Что такое перпендикулярные прямые?

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Если хотя бы один из них оказывается прямым ( $90^\circ$ ), то и остальные три угла автоматически становятся прямыми.

Определение и обозначение перпендикулярных прямых

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом ( $90^\circ$ ).

• Специальный символ: перпендикулярность обозначается знаком $\perp$ . Запись $a \perp b$ читается: «Прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$ ».

• Перпендикулярность отрезков и лучей: Два отрезка (или луча) называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.

Теорема о единственности перпендикуляра

Существование и единственность перпендикуляра выражается фундаментальной теоремой геометрии 7 класса:

Теорема о перпендикуляре:

Через каждую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной прямой, и притом только одну.

При этом точка может как лежать на данной прямой, так и находиться вне её.

Отрезок-перпендикуляр и его основание

Пусть $A$ — точка, не лежащая на прямой $a$ , а $AH$ — отрезок прямой, перпендикулярной прямой $a$ , где точка $H$ лежит на прямой $a$ .

• Отрезок $AH$ называется перпендикуляром, проведённым из точки $A$ к прямой $a$ .

• Точка $H$ называется основанием перпендикуляра.

• Длина отрезка $AH$ называется расстоянием от точки $A$ до прямой $a$ .

[ Место для иллюстрации: Перпендикуляр AH из точки A к прямой a и основание перпендикуляра H ]

Важное свойство перпендикуляра и наклонной! 💡

Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, всегда короче любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. Длина перпендикуляра — это кратчайшее расстояние от точки до прямой!

Способы построения перпендикулярных прямых

В школьном курсе 7 класса используют два основных инструмента для построения перпендикулярных прямых.

1. С помощью чертёжного угольника 📐

1. Прикладываем один из катетов чертёжного угольника к данной прямой.
2. Сдвигаем угольник вдоль прямой до тех пор, пока второй катет не пройдет через заданную точку.
3. Проводим прямую вдоль второго катета.

2. С помощью циркуля и линейки 📏

1. Из заданной точки раствором циркуля засекаем две точки на прямой.
2. Из полученных точек одинаковым радиусом проводим две пересекающиеся дуги с другой стороны от прямой.
3. Соединяем исходную точку с точкой пересечения дуг линейкой.

[ Место для иллюстрации: Построение перпендикулярных прямых с помощью циркуля и линейки ]

Пошаговый алгоритм решения задач на перпендикулярные прямые

При решении геометрических задач в 7 классе на перпендикулярность и поиск углов придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Выполните чертёж и отметьте перпендикуляры: обозначьте прямые углы квадратом символом $90^\circ$ .

Используйте свойства смежных и вертикальных углов: если две прямые перпендикулярны, то все 4 угла при пересечении равны $90^\circ$ .

Примените аксиому измерения углов: если прямой угол разбивается лучом на два угла, их сумма строго равна $90^\circ$ .

Разбор типовых задач из контрольных по геометрии на перпендикулярные прямые за 7 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 7 классе.

Пример 1: Нахождение углов при пересечении перпендикулярных прямых лучом

Задание: Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$ . Внутри угла $AOC$ проведён луч $OK$ . Найдите угол $KOC$ , если угол $AOK$ на $20^\circ$ меньше угла $KOC$ .

[ Место для иллюстрации: Чертеж к задаче с перпендикулярными прямыми AB и CD и лучом OK ]

Подробное решение:

1) Так как прямые $AB \perp CD$ , угол $\angle AOC = 90^\circ$ .

2) Луч $OK$ проходит внутри угла $\angle AOC$ , следовательно, по аксиоме измерения углов:
$\angle AOK + \angle KOC = \angle AOC = 90^\circ$ .

3) Пусть $\angle KOC = x$ . Тогда угол $\angle AOK = x - 20^\circ$ .

4) Составим и решим уравнение:
$(x - 20^\circ) + x = 90^\circ \implies 2x - 20^\circ = 90^\circ \implies 2x = 110^\circ \implies x = 55^\circ$ .

5) Следовательно, угол $\angle KOC = 55^\circ$ .

Ответ: $\angle KOC = 55^\circ$ .

Пример 2: Доказательство перпендикулярности прямых через смежные углы

Задание: Две прямые пересекаются в точке $O$ . Докажите, что если два из образовавшихся смежных углов равны между собой, то эти прямые перпендикулярны.

Подробное решение:

1) Обозначим два смежных угла, образованных при пересечении прямых, как $\angle 1$ и $\angle 2$ .

2) По свойству смежных углов их сумма равна $180^\circ$ :
$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ .

3) По условию задачи эти углы равны между собой: $\angle 1 = \angle 2$ .

4) Подставляя равенство в сумму, получаем:
$\angle 1 + \angle 1 = 180^\circ \implies 2 \cdot \angle 1 = 180^\circ \implies \angle 1 = 90^\circ$ .

5) Так как угол пересечения прямых равен $90^\circ$ , то по определению эти прямые перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Тренажёры по теме «Перпендикулярные прямые» на Экзамео

Закрепите определение и свойства перпендикулярных прямых на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания и тренажёры по теме «Перпендикулярные прямые» за 7 класс и их свойства составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии и позволят подготовиться к самостоятельным работам.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы