Перпендикулярные прямые - определение, свойства, построение

На странице собраны подробные учебные материалы по математике и наглядной геометрии «Перпендикулярные прямые» для 6 класса (по учебнику Н.Я. Виленкина и др.). Методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с правилами, свойствами, алгоритмами построения и подробными примерами решений, чтобы помочь шестиклассникам освоить построение прямых углов, научиться чертить перпендикулярные отрезки и лучи с помощью угольника и транспортира, а также успешно подготовиться к самостоятельным работам, контрольным работам и ВПР.

В 6 классе тема «Перпендикулярные прямые» — это важная геометрическая основа: ученики узнают, как пересечение прямых под углом $90^\circ$ формирует прямоугольную систему координат и служит фундаментом для построения высот и геометрических фигур.

Что такое перпендикулярные прямые? — 6 класс

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Если один из этих углов оказывается прямым (равным $90^\circ$ ), то и остальные три угла автоматически становятся прямыми ( $90^\circ$ ).

• Определение перпендикулярных прямых: Две прямые, пересекающиеся под прямым углом ( $90^\circ$ ), называются перпендикулярными;
• Обозначение (знак перпендикулярности): Для записи перпендикулярности используют символ $\perp$ . Запись $AB \perp CD$ читается как: «Прямая AB перпендикулярна прямой CD»;
• Перпендикулярные отрезки и лучи: Отрезки или лучи называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых;
• Связь с параллельностью: Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой (подробнее см. тему «Параллельные прямые»).

Графическое обозначение перпендикулярных прямых

Примеры перпендикулярных линий из окружающей жизни:

Перекрёсток дорог: пересечение улиц под прямым углом.

Рамки и окна: смежные стороны тетради, оконной рамы, дверей и книг образуют угол $90^\circ$ .

Координатная плоскость: оси абсцисс ( $Ox$ ) и ординат ( $Oy$ ) всегда строго перпендикулярны.

Главные свойства перпендикулярных прямых

Запомните два основных геометрических свойства перпендикулярности:

1. Единообразие построения 🎯

Через каждую точку прямой (или вне её) можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой.

Пример: Для прямой $a$ и любой точки $P$ существует единственная прямая $b \perp a$ , проходящая через $P$ .

2. Перпендикуляр и параллельность 📐

Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

Формула: Если $a \perp c$ и $b \perp c$ , то отсюда следует, что $a \parallel b$ .

[ Место для иллюстрации 2: Чертеж прямой $a$ , точки $P$ и единственной прямой $b \perp a$ , опущенной из точки $P$ ]

Как построить перпендикулярные прямые?

Для построения прямой, перпендикулярной данной прямой $a$ и проходящей через точку $M$ , используют чертёжный треугольник (угольник) или транспортир:

Инструмент

Порядок действий при построении

Результат

Способ 1: Чертёжный угольник

1. Совместите один из катетов угольника (сторону прямого угла) с прямой $a$ .
2. Сдвигайте угольник вдоль прямой $a$ до тех пор, пока второй катет не пройдет через точку $M$ .
3. Проведите линию вдоль второго катета.

Прямая $b \perp a$ прошла через точку $M$ .

Способ 2: Транспортир

1. Приложите центр транспортира к заданной точке на прямой $a$ .
2. Отмерьте по шкале угол в $90^\circ$ и поставьте вспомогательную точку.
3. Соедините точки по линейке.

Угол между прямыми составит ровно $90^\circ$ .

[ Место для иллюстрации 3: Наглядный чертеж использования чертёжного угольника для проведения перпендикуляра к прямой $a$ через точку $M$ ]

Алгоритм распознавания перпендикулярных сторон в фигурах

Чтобы проверить, являются ли смежные стороны прямоугольника или треугольника перпендикулярными, придерживайтесь следующего алгоритма:

Порядок действий:

Приложите прямой угол чертёжного угольника: поместите вершину прямого угла угольника в вершину проверяемого угла фигуры.

Проверьте совпадение сторон: если обе стороны фигуры точно совпадают со сторонами прямого угла угольника, то угол равен $90^\circ$ .

Сформулируйте вывод с математической записью: например, в прямоугольнике $ABCD$ смежные стороны перпендикулярны: $AB \perp BC$ , $BC \perp CD$ , $CD \perp AD$ и $AD \perp AB$ .

Разбор практических заданий и задач

Рассмотрите подробные решения типовых заданий самостоятельных и контрольных работ по теме «Перпендикулярные прямые» за 6 класс.

Задание 1: Нахождение смежных перпендикулярных отрезков у прямоугольника

Условие: Дан прямоугольник $KLMN$ . Выпишите все пары перпендикулярных сторон этого прямоугольника.

Подробное решение:

1) В прямоугольнике каждые две смежные (соседние) стороны пересекаются под углом $90^\circ$ .

2) Сторона $KL$ перпендикулярна стороне $LM$ :

$KL \perp LM$

3) Сторона $LM$ перпендикулярна стороне $MN$ :

$LM \perp MN$

4) Сторона $MN$ перпендикулярна стороне $NK$ :

$MN \perp NK$

5) Сторона $NK$ перпендикулярна стороне $KL$ :

$NK \perp KL$

Ответ: Четыре пары перпендикулярных отрезков: $KL \perp LM$ , $LM \perp MN$ , $MN \perp NK$ , $NK \perp KL$ .

Задание 2: Нахождение величины углов при пересечении перпендикулярных прямых

Условие: Прямые $a$ и $b$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$ . Луч $OC$ проходит внутри одного из образованных углов так, что угол $\angle AOC = 35^\circ$ . Найдите градусную меру угла $\angle COB$ .

Подробное решение:

1) Так как прямые $a$ и $b$ перпендикулярны ( $a \perp b$ ), прямой угол $\angle AOB = 90^\circ$ .

2) Луч $OC$ делит прямой угол $\angle AOB$ на два угла: $\angle AOC$ и $\angle COB$ .

3) По свойству величины угла:

$\angle AOC + \angle COB = \angle AOB = 90^\circ$

4) Вычисляем угол $\angle COB$ :

$\angle COB = 90^\circ - \angle AOC = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .

Ответ: Угол $\angle COB = 55^\circ$ .

Тренажёры по теме «Перпендикулярные прямые» для 6 класса на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Перпендикулярные прямые» для 6 класса с подробными решениями и автоматической проверкой ответов. Задания на построение перпендикулярных отрезков, определение прямых углов в фигурах и вычисление градусных мер смежных углов составлены в точном соответствии с федеральной рабочей программой за 6 класс и требованиями ФГОС!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Перпендикулярные прямые 6 класс» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень знаний и достигайте отличных результатов по математике вместе с нами!