Углы в геометрии: определение, виды, измерение и градусная мера

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме «Углы. Градусная мера и измерение углов» по геометрии для 7 класса. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам освоить определение угла, выучить все виды углов, освоить аксиомы измерения и правила работы с транспортиром, а также научиться решать задачи из самостоятельных и контрольных работ.

Угол — одна из важнейших базовых геометрических фигур. На понятии угла и его величины строятся все ключевые разделы планиметрии: от треугольников и параллелограммов до тригонометрии и стереометрии старших классов.

Угол - тема геометрии 7 класса

Ниже подробно разобраны базовое определение угла, его обозначения, градусная мера и классификация по величине.

Определение угла и его обозначения

Определение угла

Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, выходящих из этой точки.

• Точка называется вершиной угла.

• Лучи называются сторонами угла.

• Обозначение: угол обозначают знаком $\angle$ и тремя заглавными латинскими буквами (например, $\angle AOB$ , причём вершина $O$ всегда пишется посередине), либо одной буквой вершины ( $\angle O$ ), либо строчной греческой буквой или цифрой ( $\angle \alpha, \angle 1$ ).

Любой угол делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю область угла.

Градусная мера и измерение углов

Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. За единицу измерения углов принимается градус ( $1^\circ$ ) — величина угла, равного $\frac{1}{180}$ части развернутого угла.

• Более точные измерения используют минуты и секунды:

1^{\circ}=60^{\prime},\space(1\space\text{градус} = 60\space\text{минут})

1' = 60'',\space(1\space\text{минута} = 60\space\text{секунд})

Для непосредственного измерения углов на чертеже используют прибор — транспортир, на рисунке ниже - вы будете пользоваться им при измерении углов в 7 классе.

Как измерить угол транспортиром:

Совместите центр транспортира (метку на его прямой нижней кромке) с вершиной угла, а затем разверните инструмент так, чтобы одна из сторон угла точно совпадала с нулевой отметкой на шкале — при этом важно помнить, что если сторона лежит на нуле слева, то отсчет ведется по внешней шкале, если справа — по внутренней.

После этого просто посмотрите, на какую цифру на дуге транспортира указывает вторая сторона угла: эта цифра и будет градусной мерой угла, например, 30°, 90° или 120°.

Главное — не сдвигать центр транспортира с вершины и не путать шкалы, начиная отсчет всегда от нуля, а не от 90 градусов.

Аксиома измерения углов

Свойство сложения углов является одной из главных аксиом планиметрии:

Аксиома сложения углов:

Если луч $OC$ проходит между сторонами угла $AOB$ , то градусная мера всего угла $AOB$ равна сумме градусных мер углов $AOC$ и $COB$ :

$\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$

Классификация углов по величине

В зависимости от градусной меры углы делятся на четыре основных вида:

• Развёрнутый угол: угол, стороны которого образуют прямую линию. Градусная мера развёрнутого угла равна строго $180^\circ$ .

• Прямой угол: угол, равный половине развёрнутого угла. Градусная мера прямого угла равна строго $90^\circ$ .

• Острый угол: угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$ ( $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ ).

• Тупой угол: угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ , но меньше $180^\circ$ ( $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ ).

Изобразим все виды углов на рисунке:

Темы раздела «Углы»

В курсе геометрии 7 класса темы, связанные с углами, вынесены на отдельные практические страницы. В таблице ниже представлены ссылки на подробные справочные материалы:

Тема урока

Краткое содержание

Биссектриса угла

Луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам. Свойства и задачи на деление углов.

Смежные и вертикальные углы

Пары углов, образующиеся при пересечении прямых. Теоремы о сумме смежных углов ( $180^\circ$ ) и равенстве вертикальных углов.

Перпендикулярные прямые

Прямые, пересекающиеся под углом $90^\circ$ . Построение перпендикуляра и расстояние от точки до прямой.

Пошаговый алгоритм решения задач на измерение углов

При решении задач на вычисление неизвестных углов придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Выполните чертёж и нанесите известные данные: подпишите вершины и градусные меры известных углов.

Установите взаимное расположение лучей: определите, какой луч проходит между сторонами какого угла.

Запишите равенство по аксиоме сложения углов: сопоставьте весь угол с суммой его частей ( $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$ ).

Вычислите неизвестную величину: подставьте числовые значения или составьте уравнение с переменной $x$ .

Разбор типовых задач из контрольных работ за 7 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 7 классе.

Пример 1: Нахождение части угла по всему углу и второй части

Задание: Луч $OC$ проходит между сторонами угла $AOB = 120^\circ$ . Найдите угол $AOC$ , если угол $COB$ равен $45^\circ$ .

Подробное решение:

1) По аксиоме сложения углов, так как луч $OC$ проходит внутри угла $AOB$ :
$\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$ .

2) Выразим неизвестный угол $\angle AOC$ :
$\angle AOC = \angle AOB - \angle COB$ .

3) Подставим числовые значения:
$\angle AOC = 120^\circ - 45^\circ = 75^\circ$ .

Ответ: $\angle AOC = 75^\circ$ .

Пример 2: Составление уравнения для углов с разностным отношением

Задание: Луч $OE$ делит прямой угол $AOB$ на два угла так, что угол $AOE$ на $14^\circ$ больше угла $EOB$ . Найдите градусную меру каждого из образовавшихся углов.

Подробное решение:

1) Так как угол $AOB$ прямой, его градусная мера равна $\angle AOB = 90^\circ$ .

2) Пусть угол $\angle EOB = x$ . Тогда угол $\angle AOE = x + 14^\circ$ .

3) По аксиоме сложения углов:
$\angle AOE + \angle EOB = \angle AOB \implies (x + 14^\circ) + x = 90^\circ$ .

4) Решаем полученное линейное уравнение:
$2x + 14^\circ = 90^\circ \implies 2x = 76^\circ \implies x = 38^\circ$ .

5) Находим угол $\angle EOB = 38^\circ$ , а угол $\angle AOE = 38^\circ + 14^\circ = 52^\circ$ .

Ответ: $\angle EOB = 38^\circ$ , $\angle AOE = 52^\circ$ .

Тренажёры по теме «Углы» за 7 класс на Экзамео

Закрепите определение и аксиомы измерения углов на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, карточки с транспортирами и проверочные тесты по теме «Углы. Измерение углов» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии (учебники Атанасяна, Погорелова, Мерзляка).

В базе платформы представлены сотни упражнений разного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями. Переходите к тренажёрам по геометрии за 7 класс на Экзамео, тренируйтесь в удобном темпе и уверенно получайте отличные оценки за самостоятельно-контрольные работы

Задача 1

Нахождение части от развёрнутого или прямого угла

Темы4

Курсы2

Задание на определение части от угла и сокращение дробейВариант 1

Какую часть прямого угла составляет угол, градусная мера которого равна $12^\circ$ ?

В ответ запишите несократимую дробь (например: 2/45).

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план