Формула Герона: нахождение площади треугольника по трём сторонам

На этой странице представлен полный теоретический разбор темы «Формула Герона» по геометрии для 8 класса, в конце страницы вы найдете задания с тренажёрами по этой теме. Очень рекомендуем уделить должное внимание этому материалу, потому что теорема Герона очень упрощает вычисления связанные с площадью.

Классическая формула площади треугольника $S = \dfrac{1}{2} a h$ требует знания высоты. Однако на практике (в геодезии, строительстве, навигации) измерить высоту внутри объекта бывает сложно или невозможно. Формула Герона позволяет рассчитать точную площадь треугольника, зная только длины трёх его сторон!

В добавок к формуле Герона, чтобы решить 90% задач на треугольники будет достаточно хорошо разбираться в следующих темах: Теорема косинусов,Теорема синусов , Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Формула Герона - площадь по трём сторонам

Рассмотрим математическую формулировку теоремы Герона, понятие полупериметра и полезные вычислительные приёмы. Знание формулы поможет решать геометрические задачи на площадь треугольника пропуская

Формулировка формулы Герона

Площадь $S$ треугольника со сторонами $a$ , $b$ , $c$ вычисляется по формуле:

S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}

где $p$ — полупериметр треугольника, равный половине суммы всех его сторон:

p = \dfrac{a + b + c}{2}

Важный лайфхак при вычислениях:

Не торопитесь перемножать огромные числа под знаком квадратного корня! Раскладывайте сомножители $(p - a)$ , $(p - b)$ , $(p - c)$ на простые множители или парные квадраты.
Пример: $\sqrt{36 \cdot 12 \cdot 3} = \sqrt{36 \cdot 36} = 36$ . Это сохранит время и убережёт от арифметических ошибок!

2. Применение формулы Герона для нахождения высот и радиусов

Зная площадь треугольника $S$ , найденную по формуле Герона, можно легко вычислить любые его высоты и радиусы вписанной и описанной окружностей:

• Радиус вписанной окружности ( $r$ ):

r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}{p}^{}

• Радиус описанной окружности ( $R$ ):

R=\dfrac{a \cdot b \cdot c}{4S}=\dfrac{a \cdot b \cdot c}{4\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}

Во всех формулах p-полупериметр

Историческая справка 💡

Формула названа в честь древнегреческого математика и механика Герона Александрийского (I век н. э.), который привёл её доказательство в своём труде «Метрика». Однако ученые полагают, что это правило было известно ещё Великому Архимеду в III веке до н. э.

Типовые задачи на формулу Герона для 8 класс - разбор решений

Рассмотрите решения задач на формулу Герона, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 8 классе.

Пример 1: Нахождение площади треугольника по трём сторонам

Задание: Найдите площадь треугольника со сторонами $13\text{ см}$ , $14\text{ см}$ и $15\text{ см}$ .

Подробное решение:

1) Вычислим полупериметр $p$ :
$p = \dfrac{13 + 14 + 15}{2} = \dfrac{42}{2} = 21\text{ см}$ .

2) Вычислим разности со сторонами:
$p - a = 21 - 13 = 8\text{ см}$ ;
$p - b = 21 - 14 = 7\text{ см}$ ;
$p - c = 21 - 15 = 6\text{ см}$ .

3) Подставим полученные значения в формулу Герона:
$S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$ .

4) Разложим подкоренные числа на множители:
$S = \sqrt{(7 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 2) \cdot 7 \cdot (3 \cdot 2)} = \sqrt{7^2 \cdot 3^2 \cdot 2^2 \cdot 4} = 7 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 84\text{ см}^2$ .

Ответ: $84\text{ см}^2$ .

Пример 2: Нахождение наименьшей высоты треугольника через формулу Герона

Задание: Стороны треугольника равны $10\text{ см}$ , $17\text{ см}$ и $21\text{ см}$ . Найдите наименьшую высоту этого треугольника.

Подробное решение:

1) Найдем полупериметр $p$ :
$p = \dfrac{10 + 17 + 21}{2} = \dfrac{48}{2} = 24\text{ см}$ .

2) Найдем площадь по формуле Герона:
$S = \sqrt{24 \cdot (24 - 10) \cdot (24 - 17) \cdot (24 - 21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3}$ .
$S = \sqrt{(8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84\text{ см}^2$ .

3) Наименьшая высота опускается на наибольшую сторону ( $c = 21\text{ см}$ ):
$h_{\text{мин}} = \dfrac{2S}{c} = \dfrac{2 \cdot 84}{21} = 2 \cdot 4 = 8\text{ см}$ .

Ответ: наименьшая высота равна $8\text{ см}$ .

Тренажёры по теме «Формула Герона» на Экзамео для 8 класса

Закрепите формулу Герона и нахождение площадей и высот на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео с подробными решениями и ответами. Все задания по теме «Формула Герона» за 8 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы