Площадь треугольника - все формулы и задачи с решениями

На этой странице представлен подробный разбор темы геометрии «Площадь треугольника: основные формулы» по геометрии для 8 класса. Рассматриваются абсолютно все формулы, чтобы найти площадь треугольника.

Нахождение площади треугольника — базовый навык геометрии. Разнообразие формул позволяет рассчитать площадь через стороны, высоты, углы и радиусы связанных окружностей.

Теоретический справочник - все формулы площади треугольника

Рассмотрим классические математические формулы нахождения площади треугольника по порядку от самых простых к продвинутым. Каждая из них используется в своем отдельном случае, поэтому рекомендуем запомнить их все, чтобы не усложнять решение геометрических задач в 8 классе

Площадь через сторону и высоту (классическая формула)

Самый известный и базовый способ нахождения площади любого треугольника - через высоту:

Формула площади через высоту

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне:

S = \dfrac{1}{2} a \cdot h_a

где $a$ — сторона треугольника, $h_a$ — высота, опущенная строго на сторону $a$ .

В случае с данным рисунком, сторона $a = AC$ , высота $h_{a}=BH_{}$ и тогда формула для площади треугольника на рисунке будет выглядеть следующим образом:

S=\frac{AC\cdot BH}{2}

Частные случаи этой формулы:

• Прямоугольный треугольник: так как катеты $a$ и $b$ взаимно перпендикулярны, один катет является высотой для другого. Площадь равна половина произведения катетов: $S = \dfrac{1}{2} a \cdot b$ .

• Равносторонний треугольник: выразив высоту через сторону $a$ , получаем формулу: $S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ .

Площадь через радиусы окружностей ( $r$ и $R$ )

Если треугольник связан с вписанной или описанной окружностью, используют удобные формулы через радиусы:

Через радиус вписанной окружности ( $r$ ) ⭕

S = p \cdot r

Где $p = \dfrac{a + b + c}{2}$ — полупериметр треугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Через радиус описанной окружности ( $R$ ) 🔴

S = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R}

Где $a, b, c$ — длины сторон, а $R$ — радиус описанной вокруг треугольника окружности.

[ Место для иллюстрации: Вписанная окружность радиуса r и описанная окружность радиуса R вокруг треугольника ]

Площадь через две стороны и синус угла между ними

Когда в условии известны две стороны и угол между ними, применяется тригонометрическая формула:

Формула через синус угла:

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними:

S = \dfrac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin \gamma

где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол, расположенный между ними.

Площадь по трём сторонам (Формула Герона)

Если известны длины всех трёх сторон $a, b, c$ , но неизвестны углы и высоты, площадь вычисляют по универсальной формуле Герона:

Формула: $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ , где $p = \dfrac{a + b + c}{2}$ — полупериметр.

Подробный разбор, вывод и примерами решений смотрите на отдельной странице: Формула Герона

Как выбрать нужную формулу? 💡

• Даны сторона и высота $\implies S = \dfrac{1}{2} a h$

• Даны две стороны и угол $\implies S = \dfrac{1}{2} a b \sin \gamma$

• Даны все три стороны $\implies$ Формула Герона или $S = p \cdot r$

• Даны три стороны и радиус описанной окружности $\implies S = \dfrac{abc}{4R}$

Пошаговый алгоритм решения задач на площадь треугольника

При решении задач на площадь треугольника в 8 классе придерживайтесь алгоритма, он поможет начать их решать быстро и без ошибок.

Порядок действий:

Проанализируйте дано: выпишите известнее элементы (стороны, высоты, углы, радиусы).

Выберите подходящую формулу: подберите формулу площади, содержащую наибольшее количество известных из условия величин.

Подставьте числа и вычислите: произведите вычисления и запишите полученный результат в квадратных единицах.

Тренажёры по теме «Площадь треугольника» на Экзамео

Закрепите все формулы площади треугольника на практике с помощью тренажёров на платформе Экзамео. Все задачи на «Площадь треугольника» для 8 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии. Для каждого задания вы найдете подробное пошаговое решение и автоматическую проверку ответов.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы