Прямоугольная трапеция: свойства, формулы площади и углы

На этой странице представлен справочный материал по теме «Прямоугольная трапеция» для 8 класса.

Собраны основные свойства фигуры, способы нахождения сторон, углов и площади, а также характерные приёмы решения задач. Материал составлен с учётом программы 8 класса по геометрии и ориентирован на подготовку к текущим проверочным работам и ОГЭ. Особое внимание уделено ключевой особенности прямоугольной трапеции — боковой стороне, которая одновременно является высотой, что значительно упрощает вычисления.

После теории вы сможете отработать материалы на тренажерах с подробными решениями и автоматической проверкой.

Всё про прямоугольную трапецию для 8 класса

Ниже подробно разобраны определение, ключевые свойства, особенности и формулы для вычислений.

Определение прямоугольной трапеции

Прямоугольной трапецией называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

• Перпендикулярная боковая сторона образует с двумя основаниями два прямых угла по $90^\circ$ .

• Длина меньшей (перпендикулярной) боковой стороны равна высоте трапеции ( $h = AB$ ).

Главные свойства и особенности прямоугольной трапеции

В школьной программе по геометрии за 8 класс изучают следующие фундаментальные свойства прямоугольной трапеции:

Основные свойства (8 класс):

1. Прямые углы: Углы при перпендикулярной боковой стороне равны $90^\circ$ ( $\angle A = \angle B = 90^\circ$ ).
2. Сумма острых и тупых углов: Сумма углов при наклонной боковой стороне равна $180^\circ$ ( $\angle C + \angle D = 180^\circ$ ).
3. Совпадение стороны и высоты: Перпендикулярная боковая сторона является высотой трапеции ( $AB = h$ ).
4. Образование прямоугольного треугольника: Если из вершины тупого угла $C$ опустить высоту $CK$ на большее основание $AD$ , то фигура разбивается на:
• Прямоугольник $ABCK$ (в котором $AK = BC$ и $CK = AB = h$ ).
• Прямоугольный треугольник $\triangle CKD$ (в котором катет $KD = AD - BC$ равен разности оснований!).

• Вписанная окружность: В прямоугольную трапецию можно вписать окружность только в том случае, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон ( $a + b = c + d$ ). При этом радиус вписанной окружности равен половине перпендикулярной боковой стороны ( $r = \dfrac{h}{2}$ ).

Как найти углы прямоугольной трапеции? 💡

Два угла прямоугольной трапеции всегда известны заранее — они прямые и равны $90^\circ$ .
Чтобы найти два оставшихся угла (острый и тупой):
• Достаточно знать один из них — второй находится вычитанием из $180^\circ$ ( $\angle \text{тупой} = 180^\circ - \angle \text{острый}$ ).
• Если опустить высоту $CK$ , острый угол легко находится из прямоугольного треугольника $\triangle CKD$ через синус, косинус или теорему Пифагора!

Площадь прямоугольной трапеции

В геометрии 8 класса площадь прямоугольной трапеции находится двумя способами - вы можете выбрать любой, в зависимости от того, что удобно в конкретной задачи:

Через основания и перпендикулярную боковую сторону

Это классическая формула площади трапеции

S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h

где $a$ и $b$ — основания, $h$ — меньшая боковая сторона или проведенная высота.

При чем вместо полусуммы оснований можно использовать значение средней линии трапеции, если она вам дана в условии задачи

Через сумму площадей прямоугольника и треугольника

S=S_{ABCK}+S_{\triangle CKD}=BC\cdot h+\dfrac{1}{2}(AD-BC)\cdot h

Разбор типовых задач на прямоугольную трапецию для 8 класса

Рассмотрите решения задач, на прямоугольную трапецию, которые часто встречаются на уроках по геометрии в школе в 8 классе. В них используются как раз разобранные на странице.

Пример задачи на углы прямоугольной трапеции

Задание: В прямоугольной трапеции острый угол при основании равен $45^\circ$ . Меньшее основание и меньшая боковая сторона равны по $8\text{ см}$ . Найдите большее основание трапеции.

Подробное решение:

1) Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$ , где $\angle A = \angle B = 90^\circ$ , $BC = 8\text{ см}$ , $AB = 8\text{ см}$ , $\angle D = 45^\circ$ .

2) Проведём высоту $CK \perp AD$ . Четырёхугольник $ABCK$ — прямоугольник, следовательно:
$AK = BC = 8\text{ см}$ и $CK = AB = 8\text{ см}$ .

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CKD$ ( $\angle CKD = 90^\circ$ ).
Так как $\angle D = 45^\circ$ , второй острый угол $\angle KCD = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ .

4) Следовательно, треугольник $\triangle CKD$ — равнобедренный:
$KD = CK = 8\text{ см}$ .

5) Найдем большее основание $AD$ :
$AD = AK + KD = 8 + 8 = 16\text{ см}$ .

Ответ: $16\text{ см}$ .

Пример на нахождение площади прямоугольной трапеции

Задание: Основания прямоугольной трапеции равны $9\text{ см}$ и $14\text{ см}$ , а наклонная боковая сторона равна $13\text{ см}$ . Найдите площадь трапеции.

Подробное решение:

1) Проведём высоту $CK \perp AD$ из вершины тупого угла $C$ .

2) Отрезок $KD$ равен разности оснований:
$KD = AD - BC = 14 - 9 = 5\text{ см}$ .

3) Из прямоугольного треугольника $\triangle CKD$ по теореме Пифагора найдем высоту $CK$ :
$CK = \sqrt{CD^2 - KD^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ см}$ .

4) Так как в прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна высоте ( $AB = CK = 12\text{ см}$ ), найдем площадь трапеции:
$S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = \dfrac{9 + 14}{2} \cdot 12 = \dfrac{23}{2} \cdot 12 = 23 \cdot 6 = 138\text{ см}^2$ .

Ответ: $138\text{ см}^2$ .

Тренажёры по теме «Прямоугольная трапеция» на Экзамео

Закрепить знания о прямоугольной трапеции помогут онлайн-тренажёры «Экзамео». Для восьмиклассников собраны задачи на вычисление углов, элементов и дополнительных построений в этой фигуре. Упражнения разработаны с учётом образовательных стандартов и охватывают все типовые случаи, встречающиеся в школьной практике.

Каждое задание сопровождается автоматической проверкой и развёрнутым решением. Такой формат позволяет отработать материал до автоматизма и уверенно выполнять проверочные работы.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы