Трапеция - свойства, признаки и задачи

На этой странице представлен разбор темы «Трапеция» по геометрии для 8 класса, чтобы помочь восьмиклассникам освоить свойства и признаки трапеции, научиться отличать трапецию от параллелограмма и уверенно решать задачи из самостоятельных и контрольных работ.

Отработать теорию можно в тренажерах с подробными решениями после теории

Трапеция в геометрии 8 класса

Ниже подробно разобраны определение, основные элементы трапеции, её виды, свойства и признаки. Все это будет использоваться при решении задач по геометрии в 8 классе, а так же на ОГЭ и ЕГЭ - поэтому этой теме стоит уделить особое внимание.

Определение и виды трапеций

Определение трапеции

Трапецией называется Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

• Параллельные стороны называются основаниями трапеции ( $AD \parallel BC$ ).

• Непараллельные стороны называются боковыми сторонами ( $AB$ и $CD$ ).

На данном рисунке трапеция ABCD является трапецией общего вида, с основаниями AD и BC

Виды трапеций:

Равнобедренная трапеция

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если её боковые стороны равны ( $AB = CD$ ).

Прямоугольная трапеция

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям (содержит прямой угол $90^\circ$ ).

Свойства и признаки трапеции

Для успешного решения задач по геометрии в 8 классе необходимо четко разграничивать общие свойства любой трапеции и частные свойства равнобедренной трапеции.

Общие свойства любого вида трапеции:

• Сумма углов, прилежащих к любой боковой стороне, равна $180^\circ$ (как односторонние углы при параллельных прямых оснований):

\angle A+\angle B=180^{\circ} ,\angle C + \angle D = 180^\circ

• Биссектрисы углов, прилежащих к боковой стороне, пересекаются под прямым углом ( $90^\circ$ ).

Средняя линия трапеции и формулы площади

В геометрии 8 класса тема «Трапеция» напрямую связана с понятиями средней линии и вычислением площадей.

• Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

• Теорема о средней линии трапеции: средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме:

m = \dfrac{a + b}{2}

На рисунке основания AD и BC, тогда среднюю линию трапеции KL можно найти по формуле:

m=KL=\frac{BC+AD}2

Формулы площади трапеции (8 класс)

1. Классическая формула площади трапеции:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:

S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h

2. Площадь через среднюю линию:
Так как средняя линия равна $\dfrac{a + b}{2} = m$ , площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту:

S = m \cdot h

Пошаговый алгоритм решения задач на трапецию

Чтобы без ошибок решать задачи на трапецию в 8 классе, следуйте алгоритму, он поможет упростить задачу:

Определите вид трапеции: проверьте по условию, является ли трапеция произвольной, равнобедренной или прямоугольной. Это может добавить интересных свойств

Проведите одну или две высоты: дополнительное построение (проведение высот из вершин тупых углов к большему основанию) разбивает трапецию на прямоугольник и один или два прямоугольных треугольника.

Примените свойства углов или теорему Пифагора: найдите неизвестные стороны, высоту или основания, а затем вычислите искомую величину (среднюю линию или площадь).

Тренажёры по теме «Трапеция» для 8 класса на Экзамео

Ниже собраны варианты задач для 8 классе по теме трапеция различных уровней сложности. К каждому заданию доступно полноценное пошаговое решение с объяснением свойств трапеций и признаков. Решения задач помогут вам лучше разобраться в теме трапеция и запомнить их использование.

Задача 1

Меньшее основание прямоугольной трапеции с диагональю

Темы4

Курсы2

Вариант 1

В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ стороны $AB = BC$ . Угол $\angle ACD = 105^\circ$ , а боковая сторона $CD = 40$ . Найдите длину меньшего основания $BC$ .

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Углы в прямоугольной трапеции с равнобедренным треугольником

Темы4

Курсы2

Вариант 1

Дана прямоугольная трапеция $ABCD$ , в которой $AB = BD$ , а $\angle ABD = 98^\circ$ . Найдите $\angle CBD$ .

Прямоугольная трапеция и равнобедренный треугольник

Ответ дайте в градусах.

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план