Правильный многоугольник 9 класс: формулы, углы, радиусы и задачи

На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме «Правильный многоугольник» по геометрии для 9 класса. Материал подготовлен для углублённого изучения школьной программы, решения геометрических задач первой и второй частей ОГЭ, а также для подготовки к контрольным работам.

В курсе планиметрии 9 класса правильные многоугольники объединяют свойства треугольников, четырёхугольников и окружностей. Задачи на нахождение углов, сторон, периметров и радиусов правильных фигур регулярно встречаются в задании №16 и геометрических задачах на готовых чертежах №18 ОГЭ по математике, а также служат основой для стереометрии в старших классах.

Ниже приведены строгие определения, формулы вычисления внутренних и внешних углов, расчёт радиусов вписанных и описанных окружностей для произвольного $n$ -угольника, а также готовые таблицы для равностороннего треугольника, квадрата и правильного шестиугольника.

После теории на странице доступны онлайн-тренажёры с автоматической проверкой ответов и подробными решениями для закрепления навыков.

Что такое правильный многоугольник? — 9 класс

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны между собой.

• Простейшие примеры: правильный 3-угольник — это равносторонний треугольник (все углы по $60^\circ$ ); правильный 4-угольник — это квадрат (все углы по $90^\circ$ ). Ромб не является правильным многоугольником, так как его углы могут быть не равны; прямоугольник также не является правильным, так как его соседние стороны могут отличаться.

• Центр правильного многоугольника: точка, которая является одновременно центром его вписанной и описанной окружностей.

• Связь с окружностями: около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, причём их центры строго совпадают.

Углы правильного n-угольника

Для любого правильного многоугольника с числом сторон $n$ справедливы универсальные соотношения для суммы углов, внутреннего, внешнего и центрального углов:

Параметр

Формула

Пояснение

Сумма всех внутренних углов

\Sigma = 180^\circ \cdot (n - 2)

Справедливо для любого выпуклого $n$ -угольника

Один внутренний угол ( $\alpha_n$ )

\alpha_n = \dfrac{180^\circ \cdot (n - 2)}{n}

Сумма углов, разделённая поровну на число вершин $n$

Внешний угол ( $\beta_n$ )

\beta_n = \dfrac{360^\circ}{n}

Угол, смежный с внутренним: $\beta_n = 180^\circ - \alpha_n$

Центральный угол ( $\gamma_n$ )

\gamma_n = \dfrac{360^\circ}{n}

Угол, под которым видна сторона из центра многоугольника

Посмотрим, как формулы углов применяются на практике при анализе многоугольника:

Пример применения: Определение числа сторон многоугольника по его углу

Задание: Каждый внутренний угол правильного многоугольника равен $144^\circ$ . Найдите число сторон этого многоугольника.

Пошаговый разбор:

Самый быстрый способ решения — перейти к внешнему углу:

1) Найдём внешний угол многоугольника:

\beta = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ

2) Так как сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$ , выразим $n$ :

n = \dfrac{360^\circ}{\beta} = \dfrac{360^\circ}{36^\circ} = 10

Ответ: 10 сторон (правильный десятиугольник).

Общие формулы для радиусов и площади

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром многоугольника $O$ , серединой стороны $M$ и вершиной $A$ . В этом треугольнике гипотенуза равна радиусу описанной окружности $R$ , катет $OM$ равен радиусу вписанной окружности $r$ (апофеме), а катет $AM$ равен половине стороны $\frac{a_n}{2}$ :

Связь стороны со вписанным и описанным радиусами:

• Радиус описанной окружности выражается через сторону $a_n$ :

R = \dfrac{a_n}{2 \sin\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)}

• Радиус вписанной окружности (апофема) выражается через сторону $a_n$ :

r = \dfrac{a_n}{2 \operatorname{tg}\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)}

• Связь стороны и радиусов по теореме Пифагора:

R^2 = r^2 + \left(\dfrac{a_n}{2}\right)^2

• Площадь правильного $n$ -угольника через периметр $P$ и радиус вписанной окружности $r$ :

S = \dfrac{1}{2} P \cdot r = \dfrac{1}{2} n \cdot a_n \cdot r

Правильные многоугольники в ОГЭ: треугольник, квадрат, шестиугольник

В 9 классе и в экзаменационных заданиях ОГЭ чаще всего встречаются три правильные фигуры: $n = 3$ , $n = 4$ и $n = 6$ . Значения их параметров выучивают наизусть:

Характеристика

Правильный треугольник

Квадрат

Правильный шестиугольник

Внутренний угол ( $\alpha$ )

$60^\circ$

$90^\circ$

$120^\circ$

Центральный угол ( $\gamma$ )

$120^\circ$

$90^\circ$

$60^\circ$

Сторона через $R$

$a_3 = R\sqrt{3}$

$a_4 = R\sqrt{2}$

$a_6 = R$

Радиус описанной окр. ( $R$ )

$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

$R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

$R = a$

Радиус вписанной окр. ( $r$ )

$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} = \dfrac{R}{2}$

$r = \dfrac{a}{2}$

$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Площадь фигуры ( $S$ )

$S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$S = a^2$

$S = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Разберём классическую задачу ОГЭ на нахождение площади правильного шестиугольника по известному радиусу:

Пример применения: Расчёт площади правильного шестиугольника

Задание: Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен $6$ . Найдите сторону этого шестиугольника, радиус вписанной окружности и его площадь.

Пошаговый разбор:

1) В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности:

a = R = 6

2) Найдём радиус вписанной окружности $r$ :

r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}

3) Правильный шестиугольник состоит из 6 равных равносторонних треугольников со стороной $a = 6$ :

S = 6 \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{6 \cdot 36\sqrt{3}}{4} = 54\sqrt{3}

Ответ: сторона $6$ ; радиус вписанной окружности $3\sqrt{3}$ ; площадь $54\sqrt{3}$ .

Как решать задачи на многоугольники в 9 классе

При решении геометрических задач на правильные многоугольники придерживайтесь следующей последовательности действий:

Определите число сторон $n$ : если задан угол, перейдите к внешнему углу $\beta = 180^\circ - \alpha$ и найдите количество сторон по формуле $n = \frac{360^\circ}{\beta}$ .

Выделите прямоугольный треугольник $OMA$ : соедините центр фигуры $O$ с вершиной $A$ (получите $R$ ) и проведите перпендикуляр $OM$ к середине стороны (получите $r$ и отрезок $\frac{a}{2}$ ).

Примените тригонометрию или теорему Пифагора: выразите неизвестный отрезок через $R^2 = r^2 + (\frac{a}{2})^2$ либо воспользуйтесь готовыми табличными формулами для $n = 3, 4, 6$ .

Вычислите искомую площадь или периметр: используйте соотношение $P = n \cdot a$ и формулу площади через полупериметр $S = \frac{1}{2} P r$ .

Типичные ошибки школьников

При решении контрольных работ в 9 классе и задач на ОГЭ девятиклассники чаще всего допускают следующие три ошибки:

Путаница между радиусами R и r

Ошибочная подстановка радиуса вписанной окружности вместо описанной. Помните: отрезок от центра к вершине — это всегда больший радиус $R$ , а отрезок от центра к середине стороны (перпендикуляр) — меньший радиус $r$ .

Путаница внутреннего и центрального углов

Школьники часто путают угол между сторонами фигуры $\alpha$ и центральный угол $\gamma$ . Для шестиугольника внутренний угол равен $120^\circ$ , а центральный угол — $60^\circ$ !

Применение формул правильного многоугольника к произвольному

Попытка применить формулу $\alpha = \frac{180^\circ(n-2)}{n}$ к фигурам, у которых стороны равны, но углы разные (например, к произвольному ромбу). Формула работает строго для правильных фигур!

Тренажёры по теме «Правильный многоугольник» для 9 класса

Ниже представлены интерактивные тренажёры с задачами на вычисление сторон, углов, радиусов и площадей правильных многоугольников для 9 класса. К каждому заданию приведено подробное решение, что поможет закрепить теорию и уверенно решать геометрические номера ОГЭ по математике.

Задача 1

Сумма углов выпуклого n-угольника

Темы2

Курсы2

Задачи на использование формулы суммы углов выпуклого n-угольника c полноценным решениемВариант 1

Найдите сумму углов выпуклого тринадцатиугольника. Ответ дайте в градусах.

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Внутренний угол правильного n-угольника

Темы1

Курсы1

Вариант 1

Найдите величину внутреннего угла правильного $18$ -угольника. Ответ дайте в градусах.

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Правильные многоугольники в природе и технике

Геометрия правильных многоугольников обеспечивает максимальную прочность и экономию материала при строительстве и в живой природе:

Пчелиные соты и принцип экономии 🐝

Пчёлы строят соты в форме правильных шестиугольников. Математически доказано, что среди всех правильных фигур, которыми можно замостить плоскость без зазоров и наложений (треугольник, квадрат, шестиугольник), именно правильный шестиугольник имеет наименьший периметр при заданной площади. Это позволяет насекомым тратить минимум воска при максимальном объёме мёда.

Шестигранные гайки и инструменты 🔧

Болты и гайки чаще всего изготавливают в форме правильного шестиугольника. Центральный угол между гранями составляет $60^\circ$ , благодаря чему гаечный ключ можно повернуть всего на шестую часть оборота для перехвата инструмента, что критически важно при сборке механизмов в тесном пространстве.

Кристаллические решётки и снежинки ❄️

Молекулярная структура льда формирует гексагональную кристаллическую решётку. Поэтому каждая природная снежинка строго шестилучевая, а угол между её главными лучами составляет ровно $60^\circ$ , повторяя центральный угол правильного шестиугольника.

Паркеты и плитка в архитектуре 🏛️

В дизайне и строительстве для бесшовного покрытия полов и стен используют свойство правильных многоугольников заполнять плоскость вокруг одной вершины. Сумма углов, сходящихся в одной точке, должна составлять строго $360^\circ$ : шесть треугольников ( $6 \times 60^\circ$ ), четыре квадрата ( $4 \times 90^\circ$ ) или три шестиугольника ( $3 \times 120^\circ$ ).