Равносторонний треугольник: определение, свойства, признаки и задачи

На этой странице представлен теоретический разбор темы «Равносторонний треугольник и его свойства» по геометрии для 7 класса. Эта тема встречается в очень большом количестве заданий и тем в различных классах.

Равносторонний (правильный) треугольник — это наиболее симметричная геометрическая фигура среди всех треугольников. Понимание его свойств упрощает вычисление углов, высот, медиан и биссектрис и подготавливает базу для решения сложных задач планиметрии.

Что такое равносторонний треугольник?

Ниже подробно разобраны: определение равностороннего или другими словами правильного треугольника, его связь с равнобедренным треугольником, свойства и признаки - всё, что изучается в этой теме в 7 классе по геометрии.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) треугольником называется треугольник, у которого все три стороны равны:

$AB = BC = AC = a$

Связь равностороннего и равнобедренного треугольников 💡

Равносторонний треугольник — это частный случай равнобедренного треугольника.
Любой равносторонний треугольник является равнобедренным по отношению к любой выбранной паре сторон! Поэтому все свойства и теоремы равнобедренного треугольника автоматически верны и для равностороннего.
Однако не всякий равнобедренный треугольник является равносторонним.

Основные свойства равностороннего треугольника

Благодаря полной симметрии фигуры, равносторонний треугольник обладает особыми свойствами, которые значительно упрощают решение задач по геометрии. Постарайтесь их запомнить и применять при решении задач в 7 и старших классах.

Свойство 1 (об углах):

В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны по $60^\circ$ :

$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$

Свойство 2 (о медианах, биссектрисах и высотах):

В равностороннем треугольнике все три медианы, биссектрисы и высоты, проведённые из всех вершин, совпадают и равны между собой.

Периметр равностороннего треугольника:

Периметр вычисляется по простой формуле $P = 3a$ , где $a$ — длина стороны.

Замечательная точка:

Точка пересечения медиан, биссектрис и высот является единым центром треугольника - центром вписанной и описанной окружностей

Признаки равностороннего треугольника

Чтобы доказать, что треугольник является равносторонним, достаточно установить выполнение одного из следующих условий:

По равенству сторон

Если все три стороны треугольника равны между собой

Равнобедренный треугольника с углом $60^\circ$

Если в равнобедренном треугольнике хотя бы один угол равен $60^\circ$

По равенству углов

Если все три угла треугольника равны между собой ( $\angle A = \angle B = \angle C$ ).

Доказательство признака: равнобедренный треугольник с углом 60° является равносторонним

Доказательство:

1) Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$ ( $AB = BC$ ). По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle A = \angle C$ .

2) Случай 1: Угол при вершине $\angle B = 60^\circ$ . Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$ , то $\angle A + \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ . Поскольку $\angle A = \angle C$ , получаем $\angle A = \angle C = 120^\circ : 2 = 60^\circ$ . Все три угла равны по $60^\circ$ , значит, треугольник равносторонний.

3) Случай 2: Угол при основании $\angle A = 60^\circ$ . Тогда $\angle C = 60^\circ$ . Угол при вершине $\angle B = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$ . Все три угла равны по $60^\circ$ , следовательно, треугольник равносторонний. Теорема доказана.

Алгоритм решения задач на равносторонний треугольник

При решении задач с равносторонним треугольником придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Отметьте равенство сторон и углов на чертеже: укажите штрихами равенство трёх сторон и подпишите углы по $60^\circ$ .

Используйте свойства проведённых высот, медиан и биссектрис: каждая такая линия делит противоположную сторону пополам, образует прямой угол ( $90^\circ$ ) и делит угол при вершине на два угла по $30^\circ$ .

Выполните расчёт: используйте формулу периметра $P = 3a$ или свойства получившихся прямоугольных треугольников.

Разбор типовых задач на равносторонние треугольники в 7 классе

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 7 классе.

Пример 1: Нахождение стороны равностороннего треугольника по его периметру

Задание: Периметр равностороннего треугольника равен $45\text{ см}$ . На стороне $AC$ взята точка $D$ — середина этой стороны. Найдите длину отрезка $AD$ и сторону треугольника.

Подробное решение:

1) По формуле периметра равностороннего треугольника $P = 3a$ , найдем его сторону $a$ :
$a = P : 3 = 45 : 3 = 15\text{ см}$ .
Таким образом, $AB = BC = AC = 15\text{ см}$ .

2) Так как точка $D$ — середина стороны $AC$ , отрезок $BD$ является медианой.
Длина отрезка $AD = AC : 2 = 15 : 2 = 7{,}5\text{ см}$ .

Ответ: сторона равна $15\text{ см}$ , $AD = 7{,}5\text{ см}$ .

Пример 2: Нахождение углов, образованных высотой равностороннего треугольника

Задание: В равностороннем треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$ . Найдите углы треугольника $ABH$ .

[ Место для иллюстрации: Чертеж равностороннего треугольника ABC с высотой BH к стороне AC ]

Подробное решение:

1) По свойству равностороннего треугольника, все его углы равны по $60^\circ$ .
Значит, в $\triangle ABH$ угол $\angle BAH = \angle A = 60^\circ$ .

2) Так как $BH$ — высота, $BH \perp AC$ .
Значит, угол $\angle AHB = 90^\circ$ (треугольник $ABH$ — прямоугольный).

3) Так как в равностороннем треугольнике высота $BH$ является также биссектрисой угла $B$ :
$\angle ABH = \dfrac{1}{2}\angle ABC = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ$ .

Ответ: Углы треугольника $ABH$ равны $60^\circ$ , $90^\circ$ , $30^\circ$ .

Тренажёры по теме «Равносторонний треугольник» на Экзамео

Закрепите свойства и признаки равностороннего треугольника на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, карточки и проверочные тесты по теме «Равносторонний треугольник» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы