Функции с модулем, отражение по осям Ox и Oy, построение

Тема «Графики функций с модулем» — один из ключевых разделов школьного курса алгебры, связывающий воедино алгебраическое определение абсолютной величины и геометрические преобразования на координатной плоскости. Умение безошибочно строить графики с модулями необходимо для решения уравнений графическим методом, а также выполнения задания 22 второй части ОГЭ по математике и задач с параметрами профильного ЕГЭ.

На этой странице представлен полный разбор темы: алгебраическое раскрытие модуля, два главных геометрических правила отражения (внешний модуль относительно оси Ox и внутренний модуль аргумента относительно оси Oy), построение кусочных функций методом интервалов и решение задач на количество точек пересечения с прямой $y = m$ . После теории вы найдёте интерактивные онлайн-тренажёры с проверкой ответов на платформе Экзамео.

Определение: модуль действительного числа

Модулем (абсолютной величиной) числа $x$ называется само число $x$ , если оно неотрицательно, и противоположное число $-x$ , если $x$ отрицательно:

|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0; \\ -x, & \text{если } x < 0. \end{cases}

• Геометрический смысл: $|x|$ равен расстоянию на координатной прямой от точки $x$ до начала отсчёта. Так как расстояние не может быть отрицательным, значение модуля всегда неотрицательно: $|x| \ge 0$ .

• Свойство противоположных чисел: противоположные числа имеют равные модули: $|-x| = |x|$ .

Правила отражения графиков при воздействии модуля

В зависимости от того, где именно стоит знак абсолютной величины — вокруг всей функции или только вокруг независимой переменной $x$ , действуют два принципиально разных правила геометрического преобразования:

Внешний модуль

График y = |f(x)|

Отражение относительно оси Ox:
Знак модуля применяется ко всем значениям функции целиком, поэтому отрицательных ординат быть не может ( $y \ge 0$ ).

Алгоритм:
1. Строим базовый график $y = f(x)$ .
2. Всё, что лежит выше оси Ox или на ней ( $y \ge 0$ ), оставляем без изменений.
3. Всё, что лежит ниже оси Ox ( $y < 0$ ), зеркально «откидываем» наверх относительно оси Ox.

Модуль аргумента

График y = f(|x|)

Отражение относительно оси Oy:
Знак модуля стоит только у переменной $x$ . Функция становится чётной: $f(|-x|) = f(|x|)$ , график симметричен относительно оси ординат.

Алгоритм:
1. Строим базовый график $y = f(x)$ только для правой полуплоскости ( $x \ge 0$ ).
2. Всё, что было слева от оси Oy ( $x < 0$ ), полностью стираем.
3. Правую часть ( $x \ge 0$ ) зеркально копируем влево относительно оси Oy.

Внешний модуль: график y = |f(x)|

При наложении внешнего модуля график «подпрыгивает» вверх: точки пересечения с осью $Ox$ служат точками излома, а нижняя часть переворачивается в верхнюю полуплоскость.

Пример: построение графика параболы с внешним модулем y = |x² - 4|

Задание: Постройте график функции $y = |x^2 - 4|$ .

Пошаговый разбор:

1) Строим базовую квадратичную функцию $y = x^2 - 4$ :
• Вершина в точке $(0; -4)$ .
• Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции): $x^2 - 4 = 0 \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 2$ .
• Ветви направлены вверх.

2) Применяем внешний модуль $y = |x^2 - 4|$ :
• На промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$ значения функции неотрицательны, эти дуги остаются на месте.
• На интервале $(-2; 2)$ парабола лежала ниже оси $Ox$ с вершиной $(0; -4)$ . Зеркально отражаем эту «яму» наверх: вершина переходит в точку $(0; 4)$ .
• Получается график W-образной формы с изломами в точках $(-2; 0)$ и $(2; 0)$ .

Ответ: график состоит из двух восходящих ветвей при $|x| \ge 2$ и перевёрнутой дуги с вершиной $(0; 4)$ при $|x| < 2$ .

Модуль аргумента: график y = f(|x|)

Когда модуль окружает только переменную $x$ , функция выдаёт одинаковый результат для $x$ и для $-x$ . Левая половина исходного графика роли не играет — она замещается зеркальной копией правой половины.

Пример: построение графика y = x² - 4|x| + 3

Задание: Постройте график функции $y = x^2 - 4|x| + 3$ .

Пошаговый разбор:

1) Заметим, что $x^2 = (|x|)^2$ . Следовательно, перед нами функция вида $y = (|x|)^2 - 4|x| + 3$ , то есть $y = f(|x|)$ , где $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

2) Строим график $y = x^2 - 4x + 3$ для $x \ge 0$ :
• Координаты вершины: $x_0 = -\dfrac{-4}{2} = 2$ , $y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1$ . Вершина $(2; -1)$ .
• Пересечение с осью $Oy$ : при $x = 0 \implies y = 3$ .
• Нули функции: $x^2 - 4x + 3 = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 3$ .
• Строим правую половину параболы при $x \ge 0$ .

3) Отражаем построенную правую часть влево относительно оси $Oy$ :
• Вторая вершина появляется в симметричной точке $(-2; -1)$ .
• Симметричные нули функции: $x = -1$ и $x = -3$ .
• В точке $(0; 3)$ на оси ординат график образует характерный излом («клюв»).

Ответ: график симметричен относительно оси $Oy$ , имеет две вершины $(2; -1)$ и $(-2; -1)$ и излом в точке $(0; 3)$ .

Построение графиков кусочным раскрытием модуля

Если модуль стоит в знаменателе или в выражении участвуют несколько разных модулей со сдвигами (например, $y = |x - 1| + |x + 2|$ ), применять правила отражения неудобно. В таких случаях используют универсальный метод интервалов:

Найдите нули подмодульных выражений:
Приравняйте к нулю каждое выражение, стоящее под знаком модуля, и найдите критические точки.

Разбейте числовую ось на промежутки:
Критические точки делят ось $Ox$ на интервалы знакопостоянства подмодульных выражений.

Раскройте модули на каждом промежутке:
Если выражение под модулем положительно, снимаем скобки модуля без изменения знака. Если отрицательно — меняем знаки слагаемых на противоположные.

Постройте полученные фрагменты:
На каждом промежутке постройте соответствующую прямую или кривую строго в границах этого интервала и состыкуйте график на границах.

Пример из ОГЭ (задание 22): кусочная функция с модулем и исследование параметра m

Задание: Постройте график функции $y = x^2 - 2x - 3\dfrac{|x|}{x}$ . Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Пошаговый разбор:

1) Найдём область определения: знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$ . Точка $x = 0$ будет выколотой на графике.

2) Раскроем модуль $\dfrac{|x|}{x}$ по определению:
• При $x > 0$ : $|x| = x \implies \dfrac{|x|}{x} = \dfrac{x}{x} = 1$ .
Функция принимает вид: $y = x^2 - 2x - 3$ .
Вершина этой параболы: $x_0 = 1$ , $y_0 = 1 - 2 - 3 = -4$ . При $x \to 0$ значение стремится к $-3$ (выколотая точка $(0; -3)$ ).
• При $x < 0$ : $|x| = -x \implies \dfrac{|x|}{x} = \dfrac{-x}{x} = -1$ .
Функция принимает вид: $y = x^2 - 2x - 3(-1) = x^2 - 2x + 3$ .
Вершина: $x_0 = 1$ (не входит в интервал $x < 0$ ). При $x \to 0$ значение стремится к $+3$ (выколотая точка $(0; 3)$ ). На промежутке $x < 0$ функция монотонно убывает.

3) Исследуем пересечение с горизонтальной прямой $y = m$ :
• При $m < -4$ : прямая лежит ниже вершины параболы, общих точек $0$ .
• При $m = -4$ : прямая касается вершины $(1; -4)$ , общая точка $1$ .
• При $-4 < m < -3$ : прямая пересекает две ветви правой параболы, общих точек $2$ .
• При $m = -3$ : прямая проходит через выколотую точку $(0; -3)$ , остаётся $1$ общая точка на правой ветви.
• При $-3 < m < 3$ : прямая пересекает правую ветвь параболы, общая точка $1$ .
• При $m = 3$ : проходит через выколотую точку $(0; 3)$ и пересекает правую ветвь, общая точка $1$ .
• При $m > 3$ : пересекает и левую параболу, и правую ветвь, общих точек $2$ .

Ответ: прямая $y = m$ имеет ровно две общие точки при $m \in (-4; -3) \cup (3; +\infty)$ .

Ошибки при построении графиков с модулем

При выполнении графических заданий с модулями учащиеся чаще всего допускают следующие три ошибки:

Путаница между осями отражения Ox и Oy

Для функции $y = f(|x|)$ ошибочно переворачивают нижнюю часть наверх, путая её с $y = |f(x)|$ . Запомните: внешний модуль $|f(x)|$ отражает нижнюю часть наверх относительно горизонтальной оси Ox, а модуль аргумента $f(|x|)$ копирует правую часть влево относительно вертикальной оси Oy.

Скругление углов в точках излома

В точках, где подмодульное выражение обращается в ноль (например, нули функции в $y = |f(x)|$ или $x = 0$ в $y = f(|x|)$ ), график имеет резкий угловой излом. Сглаживать эти стыки гладкой дугой — грубая геометрическая ошибка.

Потеря выколотых точек

В дробных функциях вида $y = \dfrac{|x|}{x}$ сокращают дробь и забывают нанести выколотую точку $x = 0$ на итоговый чертёж. В заданиях ОГЭ наличие выколотой точки напрямую влияет на правильный интервал значений параметра $m$ .

Задания и тренажёр по графикам с модулем на Экзамео

В интерактивных тренажёрах платформы Экзамео собрана полная коллекция графических задач с модулями: базовые преобразования прямых и парабол, кусочные функции с модульными дробями, нахождение точек излома и прототипы задания 22 ОГЭ с исследованием параметров прямой $y = m$ . Тренируйтесь строить графики онлайн, разбирайте подробные пошаговые эталоны решений и получайте максимальные баллы за сложные экзаменационные задачи!

Задача 1

Дробно-рациональная функция с модулем

Темы2

Курсы3

Прототип задания 22 из открытого банка ФИПИ ОГЭ по математике. Построение графика дробно-рациональной функции с модулемВариант 1

Постройте график функции

y = \frac{(x^2 - 2x) \cdot |x|}{x - 2}.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ваш ответ

Задача 2

График квадратичной функции с модулями

Темы2

Курсы3

Прототип задания 22 (вторая часть) ОГЭ по математике. Построение графика кусочно-квадратичной функции вида y = x|x| + b|x| - cx. Аналитическое раскрытие модуля через совокупность двух систем (две параболы, склеивающиеся в начале координат x = 0).Вариант 1

Постройте график функции

y = 1,5x|x| - 0,75|x| - 6,75x.

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план