Координатная прямая в 7 задании ОГЭ по математике: теория и расположение чисел

В этом разделе подробно рассматривается тема «Координатная прямая» в Задании 7 ОГЭ по математике. Координатная (числовая) прямая лежит в основе большинства прототипов 7 задания экзамена. Большая часть номеров из банка ФИПИ строится именно на умении определять положение точек на числовой оси, сравнивать расстояния, оценивать значения квадратных корней, обыкновенных и десятичных дробей, а также анализировать знаки буквенных выражений.

Отработать тему координатная прямая ОГЭ можно после изучения теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями.

Что такое координатная прямая в ОГЭ: начало отсчета и числа

Координатная (числовая) прямая — это прямая, на которой выбраны начало отсчёта (точка $O$ ), положительное направление (обозначается стрелкой) и единичный отрезок.

Базовые элементы координатной прямой 🎯

• Начало отсчёта (точка 0): делит прямую на две полупрямые. Числу $0$ соответствует точка начало координат.

• Положительные числа ( $> 0$ ): располагаются справа от нуля (в направлении стрелки). Чем правее находится точка, тем больше число.

• Отрицательные числа ( $< 0$ ): располагаются слева от нуля (противоположно направлению стрелки). Из двух отрицательных чисел больше то, которое находится правее (ближе к нулю).

• Единичный отрезок: задаёт масштаб на оси (расстояние между $0$ и $1$ ).

Всего в ОГЭ по математике вы можете встретить два варианта заданий на координатную прямую:

Сопоставить буквы и числа

Вам будут даны буквы на координатной прямой и нужно понять какое число какой букве соответствует

Выбрать верное выражение

В ОГЭ по математике дадут числовую прямую, на ней будет отмечен ноль и два или даже три числа, и выражения с разностью или произведением чисел

Такой формат задач может отлично решаться при помощи выбора конкретных значений и подстановки вместо букв.

Нужно обязательно учесть, что значения для подстановки нужно обязательно выбирать с учетом масштаба. Подробно это разберем в примере решения задач

Разберем примеры решения заданий ОГЭ на координатную прямую

Пример 1: Определение точки по известному квадратному корню или дроби

Задание: На координатной прямой отмечены точки $A, B, C, D$ , соответствующие числам $\sqrt{17}, \sqrt{28}, \sqrt{39}, \sqrt{47}$ . Какая точка соответствует числу $\sqrt{28}$ ?

1) $A$ 2) $B$ 3) $C$ 4) $D$

Подробное решение:

1) Упорядочим подкоренные выражения по возрастанию:

17 < 28 < 39 < 47

2) Извлекая квадратный корень, порядок чисел сохраняется:

\sqrt{17} < \sqrt{28} < \sqrt{39} < \sqrt{47}

3) На координатной прямой точки идут слева направо в порядке возрастания:
• Точка $A$ соответствует наименьшему числу $\sqrt{17}$ .
• Точка $B$ соответствует числу $\sqrt{28}$ .
• Точка $C$ соответствует числу $\sqrt{39}$ .
• Точка $D$ соответствует наибольшему числу $\sqrt{47}$ .

4) Числу $\sqrt{28}$ соответствует точка $B$ (вариант ответа 2).

Ответ: 2.

Пример 2: Оценка разности координат и знаков выражений на прямой

Задание: На координатной прямой отмечены числа p и q

Как и говорилось ранее, можно просто взять значения с учетом масштаба, так вам будет удобнее проверять выражения на правильность. Например можно сказать, что точка p находится на отметке -2, а точка q на отметке 3 или 4, потому что расстояние от неё до нуля больше. Какое из следующих утверждений верно?

1) $p + q < 0$ 2) $p - q > 0$ 3) $p \cdot q < 0$ 4) $|p| > |q|$

Подробное решение:

1) По координатной прямой определим конкретные значения с учётом расстояний до $0$ :
Пусть $p = -2$ (отрицательное), $q = 3$ (положительное).

2) Проверим все варианты ответа:
• Вариант 1: $p + q = -2 + 3 = 1 > 0$ (неверно, так как утверждалось $< 0$ ).
• Вариант 2: $p - q = -2 - 3 = -5 < 0$ (неверно, так как утверждалось $> 0$ ).
• Вариант 3: $p \cdot q = (-2) \cdot 3 = -6 < 0$ (ВЕРНО).
• Вариант 4: $|p| = |-2| = 2$ , $|q| = |3| = 3$ . $2 > 3$ (неверно).

3) Верным является утверждение под номером 3.

Ответ: 3.

Свойства расположения чисел на координатной прямой

При решении 7 заданий в ОГЭ на координатную прямую опирайтесь на фундаментальные геометрические и алгебраические правила преобразований и сравнения чисел, собрали их вместе в таблицу:

Правило / Свойство

Геометрический смысл на прямой

Формула или вывод

Порядок чисел

Если точка $A(a)$ лежит правее точки $B(b)$ , то число $a$ строго больше числа $b$ .

a>b\iff a-b>0

Расстояние между точками

Длина отрезка $AB$ равна модулю разности координат (из правой координаты вычитаем левую).

\rho(A, B) = x_{\text{прав}} - x_{\text{лев}}

Модуль числа $|x|$

Геометрически модуль $|x|$ — это расстояние от начала отсчёта (точки $0$ ) до точки $x$ .

|x| \geqslant 0

Противоположные числа

Точки $x$ и $-x$ симметричны относительно начала отсчёта $0$ (находятся на одинаковом расстоянии).

|-x| = |x|

Как оценить положение корней и дробей на координатной прямой ОГЭ

В ОГЭ по математике некоторые задачи проверяют умение оценивать, между какими целыми засечками на координатной прямой находится иррациональное число или обыкновенная дробь. Они встречаются как в открытом банке заданий ФИПИ, так и в сборниках для подготовки.

1. Оценка квадратных корней $\sqrt{N}$ 🔢

Чтобы найти координату точки $\sqrt{N}$ , переведите целые засечки шкалы в квадратные корни ( $5 = \sqrt{25}$ , $6 = \sqrt{36}$ , $7 = \sqrt{49}$ ) и посмотрите, к какому из точных квадратов ближе подкоренное число $N$ .

2. Оценка обыкновенных дробей $\frac{a}{b}$ 🍰

Переведите дробь в десятичную форму с помощью деления столбиком ( $5 : 8 = 0{,}625$ ) или выделите целую часть ( $\dfrac{23}{5} = 4\dfrac{3}{5}$ ), чтобы сразу увидеть единичный интервал на числовой прямой (между $4$ и $5$ ).

Лайфхак для Задания 7 ОГЭ! 💡

1. Метод подстановки конкретных чисел: Если на числовой прямой отмечены абстрактные точки $a$ и $b$ , припишите им разумные числовые значения. Например, если $0$ посередине, $a$ слева (на расстоянии 3 клеток), а $b$ справа (на расстоянии 1 клетки) — возьмите $a = -3$ , $b = 1$ . Подставьте их в выражения из вариантов ответа.

2. Внимание на половину отрезка: Обращайте внимание, левее или правее середины отрезка стоит точка! Например, число $\sqrt{30}$ находится на отрезке $[5; 6]$ (между $\sqrt{25}$ и $\sqrt{36}$ ), но так как $30$ ближе к $31{,}5$ (середине), точка $\sqrt{30}$ лежит левее середины отрезка.

Пошаговый алгоритм решения задач

При выполнении седьмых заданий в ОГЭ по математике на координатную прямую придерживайтесь универсального алгоритма:

Порядок действий:

Изучите разметку прямой: найдите положение нуля $0$ , единичного отрезка $1$ и направление оси (стрелку).

Оцените координаты точек: переведите корней в числа или присвойте буквенным точкам конкретные значения с учётом знаков ( $+$ и $-$ ) и масштаба.

Проверьте варианты ответа: сопоставьте вычисления с вопросом задачи (требуется найти ВЕРНОЕ или НЕВЕРНОЕ утверждение) и выпишите цифру ответа.

Тренажёры по теме «Координатная прямая ОГЭ» на Экзамео

Довести до совершенства умение работать с координатной прямой в Задании 7 ОГЭ по математике можно с помощью онлайн-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео». В тренажерах вы найдете актуальные прототипы заданий из открытого банка ФИПИ на расположение отрицательных и положительных чисел, оценку квадратных корней, обыкновенных дробей и буквенных неравенств на прямой.

Интерактивная система проверяет ответы в реальном времени и предоставляет подробный пошаговый разбор к каждому номеру с наглядными чертежами координатных осей.

Задача 1

Знак разности трех чисел на координатной прямой

Темы3

Курсы3

Задача для 7–9 классов на определение знака разностей между тремя числами, отмеченными на координатной прямой (из открытого банка заданий ФИПИ, задание 7 ОГЭ).Вариант 1

На координатной прямой отмечены числа $a$ , $b$ и $c$ (см. рисунок).

Какая из разностей

c - a

c - b

b - a

отрицательна?

1) $c - a$

2) $c - b$

3) $b - a$

4) ни одна из них

В поле ответа запишите номер правильного варианта.

Ваш ответ

Задача 2

Сравнение выражений с переменными на координатной прямой

Темы2

Курсы2

Тренажер на определение верного или неверного числового утверждения для двух чисел на координатной прямой по прототипам задания 7 ОГЭ из открытого банка.Вариант 1

На координатной прямой точками отмечены числа $m$ и $n$ :

Укажите номер неравенства, которое является верно.

1) $n - m < 0$

2) $m^2 n < 0$

3) $nm > 0$

4) $m + n < 0$

В поле ответа запишите номер правильного варианта.

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план