Координатная прямая 6 класс: теория и задания в тренажёре

Координатная прямая в 6 классе по математике — фундаментальная тема, которая знакомит школьников с миром отрицательных чисел и наглядно связывает абстрактную арифметику с геометрией. До изучения этой темы числовой луч содержал только нуль и натуральные числа с дробями, направленными в одну сторону. Добавление противоположного луча превращает луч в прямую и позволяет представить наглядно все целые и рациональные числа.

Координатная прямая даёт наглядный геометрический образ для важнейших понятий математики: противоположных чисел, модуля числа (как расстояния от начала отсчёта), правил сложения, вычитания и сравнения положительных и отрицательных величин. Умение безошибочно определять координаты точек по рисунку, рассчитывать расстояния и ориентироваться по направлению числовой оси необходимо для успешного выполнения контрольных работ, заданий ВПР в 6 классе и базовых заданий ОГЭ по математике (номер 7). Ниже систематизирована вся теория, представлены пошаговые эталоны решений практических задач, разобран блок частых ошибок и открыт доступ к онлайн-тренажёрам Экзамео с мгновенной проверкой ответов.

Координатная прямая в 6 классе: определение и ключевые правила

Координатной прямой называется прямая, на которой выбраны: точка отсчёта (начало координат), положительное направление (указанное стрелкой) и единичный отрезок.

• Начало отсчёта: точка $O$ , которой соответствует число $0$ . Число $0$ разделяет прямую на две части и не является ни положительным, ни отрицательным.

• Положительное направление: луч, идущий от точки $0$ вправо (отмечается стрелкой на конце прямой). Вправо от нуля откладываются положительные числа ( $+1, +2, +3{,}5 \dots$ ).

• Отрицательное направление: луч, идущий от точки $0$ влево. Влево от нуля откладываются отрицательные числа ( $-1, -2, -3{,}5 \dots$ ).

• Координата точки: число, показывающее точное положение точки на координатной прямой. Записывается в круглых скобках рядом с именем точки: например, $A(3)$ , $B(-4)$ , $C(2{,}5)$ .

• Правило сравнения чисел: из двух чисел на координатной прямой больше то число, которое расположено правее, и меньше то, которое расположено левее: любое положительное число всегда больше нуля и любого отрицательного ( $5 > -100$ ), а из двух отрицательных больше то, у которого меньше модуль ( $-2 > -7$ , так как $-2$ лежит правее).

Противоположные числа и геометрический смысл модуля

Координатная прямая позволяет наглядно и просто объяснить фундаментальные понятия отрицательной арифметики:

1. Противоположные числа: два числа, которые отличаются друг от друга только знаками (например, $+5$ и $-5$ , $\dfrac{2}{3}$ и $-\dfrac{2}{3}$ ). На координатной прямой противоположные точки расположены симметрично относительно начала отсчёта $O(0)$ : они находятся по разные стороны от нуля, но на абсолютно одинаковом расстоянии от него.

2. Геометрический смысл модуля: модулем числа $a$ (обозначается $|a|$ ) называется расстояние в единичных отрезках от начала отсчёта $O(0)$ до точки с координатой $a$ на координатной прямой.

• Так как расстояние не может быть отрицательным, модуль любого числа всегда неотрицателен: $|a| \ge 0$ .

• Модули противоположных чисел равны: $|5| = 5$ и $|-5| = 5$ , так как обе точки удалены от нуля ровно на 5 единичных отрезков.

• Расстояние между двумя любыми точками $A(a)$ и $B(b)$ на координатной прямой равно модулю разности их координат: $AB = |a - b| = |b - a|$ .

Элементы и правила координатной прямой

Для успешного выполнения заданий и решения примеров используйте сводную таблицу правил числовой прямой:

Элемент / Понятие

Обозначение

Определение в курсе 6 класса

Пример на прямой

Начало отсчёта

$O(0)$

Точка, разделяющая прямую на положительную и отрицательную полуоси.

Центральная точка с отметкой $0$ .

Единичный отрезок

от $0$ до $1$

Отрезок, принятый за единицу измерения длины (например, 1 клетка или 1 см).

Расстояние между $0$ и $1$ , $1$ и $2$ , $-1$ и $-2$ строго одинаково.

Координата точки

$M(x)$

Число со знаком (« $+$ » или « $-»$ ), указывающее точное положение точки.

$A(4)$ — на 4 единицы вправо; $B(-3)$ — на 3 единицы влево.

Противоположные числа

$a$ и $-a$

Числа, расположенные на одинаковом расстоянии от начала координат по разные стороны.

$7$ и $-7$ ; число $0$ противоположно самому себе ( $-0 = 0$ ).

Модуль числа

$|a|$

Расстояние от точки до нуля в единичных отрезках.

$|-8| = 8$ , $|+8| = 8$ , $|0| = 0$ .

Расстояние между точками

$AB = |b - a|$

Разность правого и левого чисел: из большей координаты вычитают меньшую.

Расстояние между $-3$ и $5$ : $5 - (-3) = 8$ .

Основные типы заданий на координатную прямую в 6 классе

В школьных проверочных работах, карточках заданий и на ВПР по математике за 6 класс встречаются четыре основных типа задач:

Определение координат по рисунку

На координатной прямой отмечены точки. Задача: определить цену деления единичного отрезка, сосчитать шаги от нуля вправо или влево и записать координаты точек (включая обыкновенные и десятичные дроби).

Отметка точек на числовой прямой

Нанесение целых, дробных и смешанных чисел: отсчитать нужное число делений от нуля в правильном направлении (положительные вправо, отрицательные влево) с учётом масштаба.

Сравнение чисел и знаки неравенств

Сравнение положительных и отрицательных чисел по их взаимному расположению: правее лежит большее число, левее — меньшее. Запись двойных неравенств и нахождение целых чисел между ними.

Расстояние между точками и середина отрезка

Вычисление длины отрезка $AB$ вычитанием меньшей координаты из большей: $d = x_{\text{прав}} - x_{\text{лев}}$ , а также нахождение координаты середины отрезка как среднего арифметического концов: $\dfrac{a + b}{2}$ .

Задачи с координатной прямой 6 класс с пошаговыми решениями

Ниже приведены подробные эталоны решений пяти типовых задач, охватывающих стандартные формулировки самостоятельных и контрольных работ по математике за 6 класс.

Задание 1: Определение координат точек по готовому рисунку с дробной ценой деления

Условие: На координатной прямой отрезок между числами $0$ и $1$ разделён на $4$ равные части. Определите координаты точек $A$ , $B$ , $C$ и $D$ , если: точка $A$ расположена на 3 деления правее нуля; точка $B$ — на 7 делений правее нуля; точка $C$ — на 2 деления левее нуля; точка $D$ — на 5 делений левее нуля.

Пошаговое решение:

1) Найдём цену одного деления:
Единичный отрезок ( $1$ ) разделён на $4$ равные части, следовательно, цена одного деления равна:

\dfrac{1}{4} = 0{,}25

2) Найдём координаты точек, лежащих правее нуля (положительные):
• Точка $A$ находится на $3$ деления вправо:

x_A = 3 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75 \implies A\left(\dfrac{3}{4}\right)

• Точка $B$ находится на $7$ делений вправо:

x_B = 7 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{4} = 1\dfrac{3}{4} = 1{,}75 \implies B\left(1\dfrac{3}{4}\right)

3) Найдём координаты точек, лежащих левее нуля (отрицательные со знаком минус):
• Точка $C$ находится на $2$ деления влево:

x_C = -2 \cdot \dfrac{1}{4} = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5 \implies C\left(-\dfrac{1}{2}\right)

• Точка $D$ находится на $5$ делений влево:

x_D = -5 \cdot \dfrac{1}{4} = -\dfrac{5}{4} = -1\dfrac{1}{4} = -1{,}25 \implies D\left(-1\dfrac{1}{4}\right)

Ответ: $A\left(\dfrac{3}{4}\right)$ , $B\left(1\dfrac{3}{4}\right)$ , $C\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ , $D\left(-1\dfrac{1}{4}\right)$ .

Задание 2: Нахождение расстояния между точками на координатной прямой

Условие: На координатной прямой заданы точки $M(-8)$ и $K(6)$ . Найдите длину отрезка $MK$ . Чему равна длина отрезка, если единичный отрезок равен $0{,}5\text{ см}$ ?

Пошаговое решение:

1) Геометрическое правило расстояния:
Чтобы найти расстояние между двумя точками на координатной прямой, нужно из координаты более правой (большей) точки вычесть координату более левой (меньшей) точки:

d = x_{\text{прав}} - x_{\text{лев}}

2) Точка $K(6)$ лежит правее ( $6 > -8$ ), точка $M(-8)$ лежит левее. Вычислим расстояние в единичных отрезках:

MK = 6 - (-8) = 6 + 8 = 14\text{ единичных отрезков}

(Проверка через сумму расстояний до нуля: от $-8$ до $0$ ровно $8$ единиц, от $0$ до $6$ ровно $6$ единиц; суммарное расстояние: $8 + 6 = 14$ ).

3) Переведём длину в сантиметры:
По условию $1\text{ ед. отр.} = 0{,}5\text{ см}$ :

L = 14 \cdot 0{,}5\text{ см} = 7\text{ см}

Ответ: $14$ единичных отрезков ( $7\text{ см}$ ).

Задание 3: Сравнение отрицательных и положительных чисел по координатной прямой

Условие: Сравните числа с помощью координатной прямой, поставив знак « $>$ » или « $<$ »:
1) $-6$ и $2$ ;
2) $-9$ и $-4$ ;
3) $-3{,}8$ и $-3{,}2$ ;
4) Сколько целых чисел расположено на координатной прямой между числами $-4{,}3$ и $2{,}8$ ?

Пошаговое решение:

1) Сравним $-6$ и $2$ :
Число $2$ лежит правее нуля, а число $-6$ — левее. Любое положительное число больше любого отрицательного:

-6 < 2

2) Сравним $-9$ и $-4$ :
Оба числа отрицательны. При движении влево от нуля сначала встречается $-4$ , а затем $-9$ . Число $-4$ расположено правее числа $-9$ :

-9 < -4

3) Сравним $-3{,}8$ и $-3{,}2$ :
Число $-3{,}2$ ближе к нулю, чем $-3{,}8$ , то есть лежит правее на числовой прямой:

-3{,}8 < -3{,}2

4) Найдём целые числа между $-4{,}3$ и $2{,}8$ :
Запишем двойное неравенство: $-4{,}3 < x < 2{,}8$ .
Выпишем все подходящие целые числа слева направо:

-4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2

Всего получилось ровно $7$ целых чисел.

Ответ: 1) $-6 < 2$ ; 2) $-9 < -4$ ; 3) $-3{,}8 < -3{,}2$ ; 4) $7$ целых чисел.

Задание 4: Нахождение середины отрезка на координатной прямой

Условие: Точка $C$ является серединой отрезка $AB$ . Найдите координату точки $C$ , если $A(-7)$ и $B(3)$ .

Пошаговое решение:

1) Способ 1 (через среднее арифметическое координат):
Координата середины отрезка равна полусумме координат его концов:

x_C = \dfrac{x_A + x_B}{2} = \dfrac{-7 + 3}{2} = \dfrac{-4}{2} = -2

2) Способ 2 (через длину отрезка):
• Найдём полную длину отрезка $AB$ : $d = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10$ единиц.
• Половина длины отрезка составляет: $10 : 2 = 5$ единиц.
• Отступим от левой точки $A(-7)$ вправо на $5$ единиц: $-7 + 5 = -2$ .
• Или отступим от правой точки $B(3)$ влево на $5$ единиц: $3 - 5 = -2$ .

Оба способа дают одинаковую координату: $C(-2)$ .

Ответ: $C(-2)$ .

Задание 5: Перемещение точки вдоль координатной прямой

Условие: Точка $P(-3)$ переместилась по координатной прямой на $7$ единиц вправо, а затем на $9$ единиц влево. Найдите координату точки после каждого перемещения и запишите итоговое числовое равенство.

Пошаговое решение:

1) Первое перемещение (на $7$ единиц вправо):
Перемещение вправо соответствует арифметическому действию сложения ( $+$ ):

-3 + 7 = 4 \implies P_1(4)

Точка оказалась на отметке $+4$ .

2) Второе перемещение (на $9$ единиц влево):
Перемещение влево соответствует арифметическому действию вычитания ( $-$ ) или прибавлению отрицательного числа:

4 - 9 = -5 \implies P_2(-5)

Точка оказалась на отметке $-5$ .

3) Запишем итоговое выражение целиком:

-3 + 7 - 9 = 4 - 9 = -5

Ответ: после первого шага $P_1(4)$ , итоговая координата $P_2(-5)$ .

Типичные ошибки в заданиях на координатную прямую

При решении примеров и контрольных работ по теме шестиклассники чаще всего допускают следующие четыре ошибки:

Отсчёт отрицательных чисел слева направо

Начиная рисовать левую полуось, подписывают числа слева направо: $-1, -2, -3 \dots$ , помещая число $-1$ далеко от нуля.

Отсчёт как положительных, так и отрицательных чисел ведётся строго от нуля: прямо рядом с нулём слева стоит $-1$ , затем $-2$ , затем $-3$ .

Сравнение отрицательных чисел без учёта знака

Полагают, что $-8 > -3$ , потому что $8 > 3$ . Это грубая ошибка!

Чем число левее на прямой, тем оно меньше. Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше: $-3 > -8$ , так как $-3$ лежит ближе к нулю и правее.

Отрицательное расстояние между точками

Находя расстояние между точками $A(-5)$ и $B(2)$ , вычисляют $-5 - 2 = -7$ и записывают расстояние со знаком минус.

Геометрическое расстояние всегда неотрицательно! Всегда вычитайте из правого левое: $2 - (-5) = 2 + 5 = 7$ , либо берите модуль $|-7| = 7$ .

Случайный шаг единичного отрезка

Откладывают единицу в 2 клетки тетради, а двойку ставят через 1 клетку.

Единичный отрезок на протяжении всей прямой должен быть строго фиксированным: если выбрана длина в 2 клетки, то каждое следующее целое число откладывается ровно через 2 клетки.

Тренажёр по координатной прямой для 6 класса

Интерактивные онлайн-тренажёры Экзамео включают полную подборку тренировочных карточек и практических задач по теме «Координатная прямая» за 6 класс: определение координат по рисункам, нанесение положительных и отрицательных чисел, сравнение величин и расчёт расстояний между точками. Тренируйтесь решать задачи онлайн, получайте мгновенную проверку ответов, изучайте подробные решения к каждому номеру и получайте отличные оценки на контрольных работах по математике!

Задача 1

Определение точки на координатной прямой по неправильной дроби

Темы5

Курсы3

Задача для 7–9 классов на определение точки на координатной прямой (A, B, C или D), соответствующей заданной несократимой обыкновенной дроби (из открытого банка заданий ФИПИ, задание 7 ОГЭ).Вариант 1

На координатной прямой отмечены точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ (см. рисунок).

Одна из них соответствует числу

\frac{83}{9}

. Какая это точка?

1) точка $A$

2) точка $B$

3) точка $C$

4) точка $D$

В поле ответа запишите номер правильного варианта.

Ваш ответ

Задача 2

Определение обыкновенной дроби на координатной прямой

Темы5

Курсы3

Задача для 7–9 классов на сопоставление точки на координатной прямой с одной из несократимых обыкновенных дробей из открытого банка заданий ФИПИ, задание 7 ОГЭ.Вариант 1

Одно из чисел $\frac{5}{13}, \quad \frac{17}{13}, \quad \frac{6}{13}, \quad \frac{7}{13}$ отмечено на числовой прямой точкой $A$ (см. рисунок).

Какое это число?

1) $\frac{5}{13}$

2) $\frac{17}{13}$

3) $\frac{6}{13}$

4) $\frac{7}{13}$

В поле ответа запишите номер правильного варианта.

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Координатная прямая в 6 классе: определение и ключевые правила

Элементы и правила координатной прямой

Основные типы заданий на координатную прямую в 6 классе

Задачи с координатной прямой 6 класс с пошаговыми решениями

Типичные ошибки в заданиях на координатную прямую

Тренажёр по координатной прямой для 6 класса

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой