Задание 17 ОГЭ по математике - теория и все виды задач с решениями

17 задание ОГЭ по математике входит в блок геометрии в первой части экзамена в 9 классе и приносит 1 первичный балл. Задание проверяет знания раздела четырехугольники - понимание свойств выпуклых четырёхугольников: параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата и трапеции, а также умение рассчитывать их площади, стороны, высоты и углы и применять теоремы, связанные с ними.

На этой странице собраны все прототипы 17 задания из открытого банка ФИПИ: свойства параллельных прямых и смежных углов, взаимное расположение диагоналей, формулы вычисления площадей через основание и высоту, через стороны и синус угла, через диагонали, а также свойства равнобедренной и прямоугольной трапеций.

Отработать все виды прототипов семнадцатого номера помогут интерактивные тренажёры Задания 17 ОГЭ по математике с автоматической проверкой и решениями.

Четырехугольники в ОГЭ по математике - 17 задание

Ниже представлен полный разбор теории для выполнения 17 задания из ОГЭ по математике, рассмотрим отдельно каждую фигуру, все свойства и теоремы, которые могут встречаться на экзамене в первой части в задачах на четырехугольники.

Параллелограмм, ромб, прямоугольник и квадрат

Каждая из этих фигур обладает уникальными свойствами диагоналей, сторон и углов:

Параллелограмм ▱

• Противоположные стороны равны и параллельны ( $AB = CD$ , $BC = AD$ )

• Противоположные углы равны ( $\angle A = \angle C$ , $\angle B = \angle D$ )

• Сумма соседних углов равна $180^\circ$ ( $\angle A + \angle B = 180^\circ$ )

• Диагонали точкой пересечения делятся пополам ( $AO = OC$ , $BO = OD$ )

Ромб (все стороны равны) 🔶

• Обладает всеми свойствами параллелограмма

• Диагонали взаимно перпендикулярны ( $d_1 \perp d_2$ )

• Диагонали являются биссектрисами углов

• Диагонали разбивают ромб на 4 равных прямоугольных треугольника

Прямоугольник ▯

• Все углы прямые ( $90^\circ$ )

• Диагонали равны ( $d_1 = d_2$ )

• Точка пересечения диагоналей является центром описанной окружности ( $R = \frac{d}{2}$ )

Квадрат ⏹️

• Все стороны равны, все углы равны $90^\circ$

• Объединяет свойства ромба и прямоугольника

• Диагональ: $d = a\sqrt{2}$

Трапеция и её элементы

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания $a$ и $b$ ), а две другие не параллельны (боковые стороны):

Главные теоремы о трапеции:

• Средняя линия трапеции: параллельна основаниям и равна их полусумме:

m = \dfrac{a + b}{2}

• Сумма углов при боковой стороне: $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и $\angle C + \angle D = 180^\circ$ .

• Равнобедренная трапеция: боковые стороны равны, углы при основаниях равны ( $\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle C$ ), а диагонали равны ( $AC = BD$ ). Две высоты отсекают на большем основании равные отрезки: $AH = KD = \dfrac{a - b}{2}$ .

Равнобедренная трапеция ABCD с двумя высотами

3. Справочник формул площадей четырёхугольников

Сводная таблица всех формул вычисления площадей для Задания 17:

Фигура

Формулы площади ( $S$ )

Когда применять

Параллелограмм

$S = a \cdot h_a$

$S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$

Через сторону и высоту или через две стороны и угол между ними.

Ромб

$S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2$

$S = a \cdot h = a^2 \sin \alpha$

Через произведение диагоналей (самая частая формула в ОГЭ) или сторону и высоту.

Трапеция

$S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h$

Через полусумму оснований и высоту или среднюю линию и высоту.

Прямоугольник и квадрат

$S_{\text{прям}} = a \cdot b$

$S_{\text{кв}} = a^2 = \dfrac{1}{2} d^2$

Через смежные стороны или диагональ квадрата.

Любой четырёхугольник

$S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \phi$

Через диагонали и угол $\phi$ между ними.

Лайфхаки для Задания 17 ОГЭ! 💡

1. Ромб и прямоугольный треугольник: Половинки диагоналей ромба образуют катеты прямоугольного треугольника со стороной ромба в качестве гипотенузы: $\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2$ .

2. Высота трапеции через прямоугольный треугольник: Проводя высоты из вершин меньшего основания, всегда выделяйте крайние прямоугольные треугольники — к ним сразу применяется теорема Пифагора или тригонометрия углов $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ .

3. Биссектриса угла параллелограмма: Биссектриса угла параллелограмма всегда отсекает от него равнобедренный треугольник!

Пошаговый алгоритм решения Задания 17

При выполнении Задания 17 на экзамене придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите тип четырёхугольника: выделите параллелограмм, ромб, трапецию или прямоугольник и отметьте известные данные прямо на чертеже КИМ.

Подберите подходящую теорему или формулу площади: выразите высоту, среднюю линию, сторону или диагональ.

Вычислите ответ и внесите в бланк № 1: переведите обыкновенную дробь в конечную десятичную дробь и аккуратно впишите число.

Разбор всех прототипов Задания 17 из банка ФИПИ

Рассмотрите решения характерных прототипов 17 задания ОГЭ.

Пример 1: Нахождение площади ромба через диагонали

Задание: Диагонали ромба равны $14$ и $6$ . Найдите его площадь.

Подробное решение:

1) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2

2) Подставим заданные значения $d_1 = 14$ и $d_2 = 6$ :

S = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 6 = 7 \cdot 6 = 42

Ответ: $42$ .

Пример 2: Площадь трапеции через основания и высоту

Задание: Основания трапеции равны $5$ и $9$ , а высота равна $4$ . Найдите площадь этой трапеции.

Подробное решение:

1) Применим формулу площади трапеции через полусумму оснований и высоту:

S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h

2) Подставим $a = 5$ , $b = 9$ , $h = 4$ :

S = \dfrac{5 + 9}{2} \cdot 4 = \dfrac{14}{2} \cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28

Ответ: $28$ .

Пример 3: Углы и биссектриса в параллелограмме

Задание: Один из углов параллелограмма равен $58^\circ$ . Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Подробное решение:

1) Сумма двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$ (как внутренних односторонних при параллельных прямых):

\angle A + \angle B = 180^\circ

2) Пусть меньший угол равен $58^\circ$ . Найдем больший угол параллелограмма:

\angle B = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ

Ответ: $122$ .

Тренажёры по Заданию 17 ОГЭ на Экзамео

Довести до совершенства решение Задания 17 ОГЭ по математике помогут интерактивные тренажёры на образовательной платформе «Экзамео». В нашем банке собраны сотни актуальных прототипов задач ФИПИ на все виды четырёхугольников: параллелограммы, ромбы, трапеции, прямоугольники и квадраты.

Интерактивная система автоматически проверяет ответы в реальном времени и предоставляет подробный пошаговый разбор к каждому номеру с понятными чертежами и геометрическими выкладками. Занимайтесь на Экзамео в удобном темпе, уверенно осваивайте планиметрию и гарантированно получайте максимальные баллы на ОГЭ по математике!

Задача 1

Углы прямоугольной трапеции

Темы1

Стандартные задачи, составленные по прототипам из открытого банка заданий ФИПИ на прямоугольную трапециюВариант 1

Один из углов прямоугольной трапеции равен $140^\circ$ . Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Высота трапеции и вписанная окружность

Темы3

Вариант 1

Боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная к её основаниям, равна 15. Найдите радиус окружности, вписанной в эту трапецию.

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Четырехугольники в ОГЭ по математике - 17 задание

Параллелограмм, ромб, прямоугольник и квадрат

Трапеция и её элементы

3. Справочник формул площадей четырёхугольников

Пошаговый алгоритм решения Задания 17

Разбор всех прототипов Задания 17 из банка ФИПИ

Тренажёры по Заданию 17 ОГЭ на Экзамео

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Темы, которые встречаются в этом задании