МатематикаОГЭ по математике

17 задание ОГЭ по математике - полный разбор и тренажеры

Разбор 17 задания ОГЭ по математике. Теория по четырёхугольникам и все прототипов из открытого банка ФИПИ и с решениями в тренажёрах на Экзамео.

17 задание ОГЭ по математике входит в блок геометрии в первой части экзамена в 9 классе и приносит 1 первичный балл. Задание проверяет знания раздела четырехугольники - понимание свойств выпуклых четырёхугольников: параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата и трапеции, а также умение рассчитывать их площади, стороны, высоты и углы и применять теоремы, связанные с ними.

На этой странице собраны вся теория по четырехугольникам и все прототипы 17 задания из открытого банка ФИПИ с решениями и проверкой ответов : свойства параллельных прямых и смежных углов, взаимное расположение диагоналей, формулы вычисления площадей через основание и высоту, через стороны и синус угла, через диагонали, а также свойства равнобедренной и прямоугольной трапеций.

Четырехугольники в ОГЭ по математике - 17 задание

Ниже представлен полный разбор теории для выполнения 17 задания из ОГЭ по математике, рассмотрим отдельно каждую фигуру, все свойства и теоремы, которые могут встречаться на экзамене в первой части в задачах на четырехугольники.

Параллелограмм, ромб, прямоугольник и квадрат

Каждая из этих фигур обладает уникальными свойствами диагоналей, сторон и углов:

Параллелограмм ▱

• Противоположные стороны равны и параллельны ( $AB = CD$ , $BC = AD$ )

• Противоположные углы равны ( $\angle A = \angle C$ , $\angle B = \angle D$ )

• Сумма соседних углов равна $180^\circ$ ( $\angle A + \angle B = 180^\circ$ )

• Диагонали точкой пересечения делятся пополам ( $AO = OC$ , $BO = OD$ )

Ромб (все стороны равны) 🔶

• Обладает всеми свойствами параллелограмма

• Диагонали взаимно перпендикулярны ( $d_1 \perp d_2$ )

• Диагонали являются биссектрисами углов

• Диагонали разбивают ромб на 4 равных прямоугольных треугольника

Прямоугольник ▯

• Все углы прямые ( $90^\circ$ )

• Диагонали равны ( $d_1 = d_2$ )

• Точка пересечения диагоналей является центром описанной окружности ( $R = \frac{d}{2}$ )

Квадрат

• Все стороны равны, все углы равны $90^\circ$

• Объединяет свойства ромба и прямоугольника

• Диагональ: $d = a\sqrt{2}$

Трапеция и её элементы

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания $a$ и $b$ ), а две другие не параллельны (боковые стороны):

Главные теоремы о трапеции:

• Средняя линия трапеции: параллельна основаниям и равна их полусумме:

m = \dfrac{a + b}{2}

• Сумма углов при боковой стороне: $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и $\angle C + \angle D = 180^\circ$ .

• Равнобедренная трапеция: боковые стороны равны, углы при основаниях равны ( $\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle C$ ), а диагонали равны ( $AC = BD$ ). Две высоты отсекают на большем основании равные отрезки: $AH = KD = \dfrac{a - b}{2}$ .

Равнобедренная трапеция ABCD с двумя высотами

Пример 17 задания на площадь трапеции через основания и высоту

Задание: Основания трапеции равны $5$ и $9$ , а высота равна $4$ . Найдите площадь этой трапеции.

Подробное решение:

1) Применим формулу площади трапеции через полусумму оснований и высоту:

S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h

2) Подставим $a = 5$ , $b = 9$ , $h = 4$ :

S = \dfrac{5 + 9}{2} \cdot 4 = \dfrac{14}{2} \cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28

Ответ: $28$ .

Все формулы площадей четырёхугольников

В 17 задании ОГЭ по математике достаточно часто требуется найти площадь, поэтому собрали все формулы площадей четырехугольников в единую таблицу с пояснениями:

Фигура

Формулы площади (S)

Когда применять

Параллелограмм

$S = a \cdot h_a$

$S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$

Через сторону и высоту или через две стороны и угол между ними.

Ромб

$S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2$

$S = a \cdot h = a^2 \sin \alpha$

Через произведение диагоналей (самая частая формула в ОГЭ) или сторону и высоту.

Трапеция

$S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h$

Через полусумму оснований и высоту или среднюю линию и высоту.

Прямоугольник и квадрат

$S_{\text{прям}} = a \cdot b$

$S_{\text{кв}} = a^2 = \dfrac{1}{2} d^2$

Через смежные стороны или диагональ квадрата.

Любой четырёхугольник

$S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \phi$

Через диагонали и угол $\phi$ между ними.

Пример задания на нахождение площади ромба через диагонали

Задание: Диагонали ромба равны $14$ и $6$ . Найдите его площадь.

Подробное решение:

1) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2

2) Подставим заданные значения $d_1 = 14$ и $d_2 = 6$ :

S = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 6 = 7 \cdot 6 = 42

Ответ: $42$ .

Полезные свойства для 17 задания 17!

1. Ромб и прямоугольный треугольник:

Половинки диагоналей ромба образуют катеты прямоугольного треугольника со стороной ромба в качестве гипотенузы:

\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2

2. Высота трапеции через прямоугольный треугольник:

Проводя высоты из вершин меньшего основания, всегда выделяйте крайние прямоугольные треугольники — к ним сразу применяется теорема Пифагора или тригонометрия углов $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ .

3. Биссектриса угла параллелограмма:

Биссектриса угла параллелограмма всегда отсекает от него равнобедренный треугольник!

Алгоритм решения Задания 17

При выполнении Задания 17 на экзамене придерживайтесь алгоритма:

Определите тип четырёхугольника: выделите параллелограмм, ромб, трапецию или прямоугольник и отметьте известные данные прямо на чертеже КИМ.

Подберите подходящую теорему или формулу площади: выразите высоту, среднюю линию, сторону или диагональ.

Вычислите ответ и внесите в бланк № 1: переведите обыкновенную дробь в конечную десятичную дробь и аккуратно впишите число.

Пример 3: Углы и биссектриса в параллелограмме

Задание: Один из углов параллелограмма равен $58^\circ$ . Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Подробное решение:

1) Сумма двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$ (как внутренних односторонних при параллельных прямых):

\angle A + \angle B = 180^\circ

2) Пусть меньший угол равен $58^\circ$ . Найдем больший угол параллелограмма:

\angle B = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ

Ответ: $122$ .

Все виды 17 задания ОГЭ по математике

Тренажёры по 17 заданию ОГЭ по математике составлены на основе актуальных прототипов открытого банка ФИПИ и включают в себя все виды заданий на четырехугольники. Для каждого задания вы найдете подробное решение с чертежом и автоматическую проверку ответов.

Задача 1

Квадрат и вписанный в него круг

Темы2

Тренажёр для 9 класса на взаимосвязь элементов квадрата и вписанного в него круга. В каждом варианте случайным образом задаётся ровно один целевой вопрос.Вариант 1

В квадрат вписан круг, радиус которого равен $3,5$ . Найдите площадь этого круга, делённую на $\pi$ .

Ваш ответ

Задача 2

Площадь параллелограмма

Темы1

17 задание ОГЭ по математике на площадь параллелограмма с проведенной высотойВариант 1

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Ваш ответ

ПрямоугольникОпределение и свойства прямоугольника: прямые углы, равные диагонали, формулы периметра и площади.Открыть тему Формулы площади трапецииВсе формулы для нахождения площади трапецииОткрыть тему

КвадратОпределение и свойства квадрата: равные стороны, прямые углы, формулы периметра и площади.

Площадь параллелограммаФормула площади параллелограммаОткрыть тему Равнобедренная трапецияОпределение (боковые стороны равны), свойства углов при основаниях, свойства диагоналей (равенство), свойства высоты, опущенной из вершины на большее основание, признаки равнобедренной трапеции.Открыть тему Тригонометрия в прямоугольном треугольникеРаздел геометрии, устанавливающий связи между острыми углами и сторонами прямоугольного треугольника через три основные функции: синус, косинус и тангенс.Открыть тему Вписанная и описанная окружности четырёхугольниковВписанная окружность касается всех сторон четырёхугольника (условие — равенство сумм противоположных сторон); описанная окружность проходит через все вершины (условие — суммы противоположных углов равны 180 градусовОткрыть тему Прямоугольная трапецияЧастный случай трапеции с двумя прямыми углами при одной из боковых сторон; обладает всеми свойствами обычной трапеции, а её высота совпадает с длиной боковой стороны, что упрощает вычисление площади и других элементов.Открыть тему

РомбЧто такое ромб, чем он отличается от параллелограмма и квадрата, как находить его площадь через диагонали и стороны. Основные формулы и задачи.

Четырехугольники в ОГЭ по математике - 17 задание

Параллелограмм, ромб, прямоугольник и квадрат

Все формулы площадей четырёхугольников

Алгоритм решения Задания 17

Все виды 17 задания ОГЭ по математике

Темы, которые встречаются в этом задании