Равнобедренный треугольник: определение, свойства, признаки и задачи

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме «Равнобедренный треугольник и его свойства» по геометрии для 7 класса. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам освоить определение равнобедренного треугольника, выучить его фундаментальные свойства и признаки, разобраться в свойствах медианы, высоты и биссектрисы, а также научиться без ошибок решать геометрические задачи из самостоятельных и контрольных работ.

Равнобедренный треугольник — одна из самых важных и часто встречающихся фигур в школьном курсе геометрии. Его свойства симметрии регулярно применяются при решении задач на доказательство равенства отрезков, вычисление углов, в прямоугольных и равносторонних треугольниках, а также в окружностях и четырёхугольниках старших классов.

Теоретический справочник: что такое равнобедренный треугольник?

Ниже подробно разобраны базовое определение равнобедренного треугольника, наименования его элементов, ключевые свойства и признаки.

Определение и элементы равнобедренного треугольника

Определение равнобедренного треугольника 🎯

Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны равны.

• Равные стороны называются боковыми сторонами.

• Третья сторона называется основанием.

• Угол, образованный боковыми сторонами, называется углом при вершине.

• Углы, прилегающие к третьей стороне, называются углами при основании.

[ Место для иллюстрации: Равнобедренный треугольник ABC с равными боковыми сторонами AB и BC, основанием AC и отмеченными равными углами A и C ]

Частный случай — равносторонний треугольник:

Если у треугольника равны все три стороны, он называется равносторонним (или правильным). Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Основные свойства равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник обладает двумя главными свойствами, которые необходимо знать наизусть:

Свойство 1 (об углах при основании):

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

$AB = BC \implies \angle A = \angle C$

Свойство 2 (о медиане, биссектрисе и высоте):

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

Строгое доказательство свойств равнобедренного треугольника

Доказательство:

1) Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$ , то есть $AB = BC$ . Проведём биссектрису $BD$ угла при вершине $B$ .

2) Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ . У них:

• $AB = BC$ (так как $\triangle ABC$ равнобедренный);

• $BD$ — общая сторона;

• $\angle ABD = \angle CBD$ (так как $BD$ — биссектриса угла $B$ ).

3) Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4) Из равенства треугольников вытекают следующие следствия:

• $\angle A = \angle C$ — доказано свойство 1 (углы при основании равны).

• $AD = DC$ — следовательно, отрезок $BD$ делит основание пополам, то есть является медианой.

• $\angle BDA = \angle BDC$ . Так как эти углы смежные и равны между собой, каждый из них равен $90^\circ$ ( $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$ ). Значит, $BD \perp AC$ , и отрезок $BD$ является высотой — доказано свойство 2.

Важная деталь о линиях к боковым сторонам! ⚠️

Запомните: совпадение медианы, биссектрисы и высоты происходит ТОЛЬКО для линии, проведённой к основанию!
Медианы, биссектрисы и высоты, проведённые к боковым сторонам, не совпадают между собой (но равны друг другу соответствующими парами).
В равностороннем же треугольнике все медианы, биссектрисы и высоты совпадают для всех трёх сторон.

Признаки равнобедренного треугольника

Чтобы доказать, что некоторый треугольник является равнобедренным, используют один из признаков:

1. По равенству углов: Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный ( $\angle A = \angle C \implies AB = BC$ ).

2. По совпадению высоты и медианы: Если в треугольнике высота является медианой, то он равнобедренный.

3. По совпадению высоты и биссектрисы: Если в треугольнике высота является биссектрисой, то он равнобедренный.

4. По совпадению медианы и биссектрисы: Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то он равнобедренный.

Пошаговый алгоритм решения задач на равнобедренный треугольник

При решении задач с равнобедренным треугольником придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите основание и боковые стороны: четко установите, какие стороны равны по условию и какая сторона является основанием.

Отметьте равные элементы на чертеже: укажите штрихами равенство боковых сторон, а дугами — равенство углов при основании.

Используйте свойства совпадающих отрезков: если проведёна медиана (биссектриса или высота) к основанию, смело используйте образование прямых углов ( $90^\circ$ ) и деление основания пополам.

Составьте уравнение или равенство: примените формулу периметра $P = 2a + b$ или свойства сумм углов.

Разбор типовых задач на равнобедренные треугольники из контрольных работ для 7 класса

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 7 классе.

Пример 1: Нахождение сторон равнобедренного треугольника по периметру

Задание: Периметр равнобедренного треугольника равен $48\text{ см}$ , а боковая сторона на $6\text{ см}$ больше основания. Найдите все стороны треугольника.

Подробное решение:

1) Пусть длина основания треугольника равна $x\text{ см}$ .

2) Так как боковая сторона на $6\text{ см}$ больше основания, каждая из двух боковых сторон равна $(x + 6)\text{ см}$ .

3) Периметр треугольника — это сумма длин всех его трёх сторон:
$P = x + (x + 6) + (x + 6) = 48$ .

4) Решим полученное линейное уравнение:
$3x + 12 = 48 \implies 3x = 36 \implies x = 12$ .

5) Таким образом:
• Основание равно $12\text{ см}$ .
• Боковые стороны равны $12 + 6 = 18\text{ см}$ каждая.

Ответ: $18\text{ см}$ , $18\text{ см}$ , $12\text{ см}$ .

Пример 2: Использование свойства высоты и медианы равнобедренного треугольника

Задание: В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена высота $BD$ . Найдите длину основания $AC$ , если $AD = 7\text{ см}$ , и угол $\angle ABD$ , если угол $\angle ABC = 80^\circ$ .

[ Место для иллюстрации: Чертеж равнобедренного треугольника ABC с высотой BD к основанию AC ]

Подробное решение:

1) По свойству равнобедренного треугольника, высота $BD$ , проведённая к основанию $AC$ , является также его медианой и биссектрисой.

2) Так как $BD$ — медиана, точка $D$ делит основание $AC$ пополам ( $AD = DC = 7\text{ см}$ ).
Следовательно, длина всего основания $AC = 2 \cdot AD = 2 \cdot 7 = 14\text{ см}$ .

3) Так как $BD$ — биссектриса угла при вершине $\angle ABC$ , она делит угол $\angle ABC$ пополам:
$\angle ABD = \dfrac{1}{2}\angle ABC = \dfrac{80^\circ}{2} = 40^\circ$ .

Ответ: $AC = 14\text{ см}$ , $\angle ABD = 40^\circ$ .

Тренажёры по теме «Равнобедренный треугольник» на Экзамео для 7 класса

Закрепите свойства и признаки равнобедренного треугольника на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, карточки и проверочные тесты по теме «Равнобедренный треугольник» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы