20 задание ОГЭ по математике - разбор всех видов и задачи с решениями

20 задание ОГЭ по математике открывает вторую часть экзамена по математике в 9 классе с развёрнутым ответом и относится к модулю «Алгебры» и приносит 2 первичных балла. Согласно спецификации ФИПИ это задание рассчитано на 20 минут.

В отличие от заданий первой части, здесь проверяется не просто ответ, но и решение и его оформление на бланке ответов № 2.

На этой странице систематизированы все прототипы 20 задания из открытого банка ФИПИ: метод группировки и разложения на множители, замена переменной, метод интервалов для неравенств, способы решения систем, а также официальные критерии проверки.

Все виды 20 задания в ОГЭ по математике

Все задачи 20 линии из открытого банка ФИПИ подразделяются на 4 основных блока:

1. Уравнения 🧩

• Биквадратные: $a x^4 + b x^2 + c = 0$ (замена $t = x^2 \ge 0$ )

• 3-й и 4-й степени: метод группировки слагаемых и вынесение общего множителя

• Дробно-рациональные: с переменной в знаменателе и обязательным отбором корней по ОДЗ

• Уравнения вида: $x^3 = x^2 - 7x + 7$ или $(x - 1)^4 + (x - 1)^2 - 6 = 0$

2. Неравенства 📉

• Квадратные неравенства: через параболу или разложение на скобки

• Дробно-рациональные неравенства: вида $\dfrac{-18}{(x+4)^2 - 5} \ge 0$ или $\dfrac{(x - 3)^2}{x - 5} \le 0$

• Неравенства с методом интервалов: строгое чередование знаков и выколотые точки знаменателя

3. Системы уравнений ⛓️

• Нелинейные системы второй степени: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases}$ или $\begin{cases} 2x^2 + y = 4 \\ 4x^2 - y = 2 \end{cases}$

• Решение методом алгебраического сложения или выражением переменной

4. Преобразование выражений ✂️

• Сокращение сложных степенных выражений вида $\dfrac{18^n}{3^{2n-1} \cdot 2^{n-2}}$

• Нахождение значений буквенных дробей при заданном соотношении переменных

Отработать решение каждого вида можно после теории в тренажёрах 20 задания ОГЭ по математике с подробными экспертными решениями для всех вариантов, которые попадались на экзамене в 9 классе в прошлые года и из открытого банка ФИПИ.

Прорешав и разобравшись во всех методах решения вы будете готовы к тому, чтобы получить два балла

Методы решения и ловушки оформления

Очень часто в 20 задании к нулю баллов приводит маленькая ошибка, о которой в первой части даже не задумываешься. Ниже собрали самые частые из них и советы по исправлению.

Типичные ошибки:

1. Сокращение на выражение с переменной без учёта корней:

Ни в коем случае нельзя делить обе части уравнения на скобку, например $(x - 3)$ . Это приводит к потере корня $x = 3$ и оценивается в 0 баллов. Всегда переносите всё в одну сторону и выносите скобку за скобки!

2. Игнорирование ограничений знаменателя (ОДЗ):

В дробных уравнениях вида $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$ корень $x = 2$ является посторонним. Если не записать $x - 2 \neq 0$ и не исключить этот корень в ответе — будет 0 баллов.

3. Умножение неравенства на знаменатель с переменной:

Нельзя просто отбросить знаменатель в неравенстве $\dfrac{1}{x - 2} > 3$ домножением на $(x - 2)$ , так как его знак неизвестен. Необходимо переносить всё влево и применять метод интервалов.

4. Замена переменной:

При введении новой переменной (например, $t = x^2$ ) обязательно укажите ограничение $t \ge 0$ и не забудьте выполнить обратную замену.

Можно сказать, что все виды 20 задания решаются по одному и тому же алгоритму, давайте рассмотрим его и постараемся разобраться

Пошаговый алгоритм решения и оформления:

Определите ОДЗ (при необходимости): если в выражении есть знаменатели или корни, зафиксируйте ограничения (знаменатель $\neq 0$ , подкоренное выражение $\ge 0$ ).

Выберите оптимальный метод: примените метод замены переменной, перенос слагаемых в одну часть с группировкой или метод интервалов.

Проверьте корни и оформите ответ: отсейте посторонние корни, если была замена — вернитесь к исходной переменной $x$ , и запишите слово Ответ с перечислением корней или числового промежутка.

Оформление 20 задания ОГЭ по математике

Рассмотрите примеры эталонного оформления решений для бланка № 2.

Пример 1: Уравнение 3-й степени (метод группировки)

Задание: Решите уравнение $x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0$ .

Эталонное решение для бланка № 2:

1) Сгруппируем слагаемые попарно:

(x^3 + 4x^2) - (9x + 36) = 0

2) Вынесем общий множитель из каждой группы:

x^2(x + 4) - 9(x + 4) = 0

3) Вынесем общий множитель $(x + 4)$ за скобки:

(x + 4)(x^2 - 9) = 0

4) Разложим вторую скобку по формуле разности квадратов:

(x + 4)(x - 3)(x + 3) = 0

5) Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x + 4 = 0 \implies x_1 = -4

x - 3 = 0 \implies x_2 = 3

x + 3 = 0 \implies x_3 = -3

Ответ: $-4;\; -3;\; 3$ .

Пример 2: Биквадратное уравнение (замена переменной)

Задание: Решите уравнение $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$ .

Эталонное решение для бланка № 2:

1) Введем замену переменной: пусть $t = x^2$ , причём $t \ge 0$ .

2) Получаем квадратное уравнение относительно $t$ :

t^2 - 5t - 36 = 0

3) Найдем корни через дискриминант:

D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2

t_1 = \dfrac{5 + 13}{2} = \dfrac{18}{2} = 9

t_2 = \dfrac{5 - 13}{2} = \dfrac{-8}{2} = -4

4) Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$ .

5) Выполним обратную замену для $t_1 = 9$ :

x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm 3

Ответ: $-3;\; 3$ .

Пример 3: Система нелинейных уравнений (метод сложения)

Задание: Решите систему уравнений $\begin{cases} 3x^2 + y = 11 \\ 2x^2 - y = 9 \end{cases}$ .

Эталонное решение для бланка № 2:

1) Сложим почленно оба уравнения системы:

(3x^2 + y) + (2x^2 - y) = 11 + 9

5x^2 = 20 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, \quad x_2 = -2

2) Подставим найденные значения $x$ в первое уравнение ( $y = 11 - 3x^2$ ):
• При $x = 2$ : $y = 11 - 3 \cdot 2^2 = 11 - 12 = -1$ .
• При $x = -2$ : $y = 11 - 3 \cdot (-2)^2 = 11 - 12 = -1$ .

3) Получаем две пары решений: $(2; -1)$ и $(-2; -1)$ .

Ответ: $(2; -1);\; (-2; -1)$ .

Критерии оценивания Задания 20 экспертами ФИПИ

Проверка второй части осуществляется двумя независимыми экспертами по следующим нормам:

Баллы

Требования к оформлению и решению

2 балла

Обоснованно получен верный ответ. Все шаги преобразований математически корректны, учтена область допустимых значений (ОДЗ) при её наличии.

1 балл

Ход решения верный, все ключевые шаги выполнены правильно, но допущена одна вычислительная (арифметическая) ошибка, не изменившая логику решения, и с её учётом получен итоговый результат.

0 баллов

Решение не соответствует критериям на 1 или 2 балла (грубая алгебраическая ошибка, не учтена ОДЗ, деление на ноль или неверный метод решения).

Тренажёры по 20 заданию ОГЭ по математике

Освоить решение и правильное оформление Задания 20 ОГЭ по математике на максимальные 2 балла помогут онлайн-тренажёры на образовательной платформе «Экзамео». В банке собраны все актуальные прототипы из открытого банка ФИПИ. Для каждого задания вы найдете подробное пошаговое решение, которое поможет разобраться в заданиях.

Задача 1

Система уравнений на метод сложения

Темы2

Задания из открытого банка ФИПИ, с системами, которые предпочтительно решать методом сложенияВариант 1

Решите систему уравнений:

\begin{cases} 3x^2 + y = 30, \\ 7x^2 - y = 60 \end{cases}

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Дробно-рациональное уравнение методом замены переменной

Темы1

Дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к квадратным при помощи замены скобки с полноценным разборомВариант 1

Решите уравнение:

\frac{1}{(x - 1)^2} - \frac{1}{x - 1} - 2 = 0

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Все виды 20 задания в ОГЭ по математике

Методы решения и ловушки оформления

Оформление 20 задания ОГЭ по математике

Критерии оценивания Задания 20 экспертами ФИПИ

Тренажёры по 20 заданию ОГЭ по математике

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Темы, которые встречаются в этом задании