Свойства степени с целым показателем

В 8 классе алгебры мы знакомимся с важным понятием - степень с целым показателем. Это продолжение темы Свойства степени с целым показателем Теперь показатель может быть не только натуральным числом, но и нулём, а также отрицательным целым числом. Введение отрицательных показателей позволяет записывать очень маленькие числа в компактном виде и упрощает выполнение вычислений. Данная тема широко используется как в школьном курсе, так и при решении заданий ОГЭ по математике.

Свойства степени с целым показателем являются естественным продолжением свойств степени с натуральным показателем. Все знакомые вам правила умножения, деления и возведения в степень сохраняются, но теперь они работают для любых целых показателей - положительных, отрицательных и нуля. Это делает работу со степенями более универсальной и удобной.

Что такое степень с целым показателем

Прежде чем перейти к свойствам степени с целым показателем, давайте вспомним, что означает запись с отрицательным показателем. Это ключевое понятие, на котором строится вся дальнейшая теория. Если свойства степени с натуральным показателем обычно не вызывают вопросов - то вот в заданиях с отрицательными степенями ученики 8 класса часто начинают путаться.

Определение степени с целым показателем

Если $a \neq 0$ и $n$ — целое отрицательное число, то по определению:

$\boldsymbol{a^n = \dfrac{1}{a^{-n}}}$

Другими словами, степень с отрицательным показателем равна дроби, в числителе которой стоит 1, а в знаменателе — та же степень, но уже с положительным показателем.

Примеры:

$5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}$

$(-3)^{-4} = \dfrac{1}{(-3)^4} = \dfrac{1}{81}$

$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-3} = \dfrac{1}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3} = -8$

Важно запомнить:

Выражение $0^n$ не имеет смысла при целом отрицательном $n$ (так же как и при $n = 0$ ). На ноль делить нельзя!

Все известные вам свойства степени с натуральным показателем сохраняются и для степени с целым показателем. Единственное условие - основание степени не должно равняться нулю (для отрицательных показателей это принципиально).

Таблица свойств степени с целым показателем

Ниже представлены основные свойства степени с целым показателем. Их нужно знать наизусть - они применяются в любых заданиях на преобразование выражений со степенями.

№

Свойство

Формула

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Деление степеней с одинаковыми основаниями

$a^m : a^n = a^{m-n}$

Возведение степени в степень

$(a^m)^n = a^{mn}$

Степень произведения

$(ab)^n = a^n b^n$

Степень частного (дроби)

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

Важное условие: Все перечисленные свойства степени с целым показателем справедливы для $a \neq 0$ и любых целых $m$ и $n$ .

Почему свойства степени с целым показателем работают

Свойства степени с целым показателем можно доказать, используя определение степени с отрицательным показателем и уже известные вам свойства степени с натуральным показателем. Рассмотрим доказательство на примере умножения степеней с отрицательными показателями.

Доказательство формулы степени с отрицательным показателем

Доказательство свойства умножения

Пусть $k$ и $p$ — натуральные числа, а $a \neq 0$ . Докажем, что

$a^{-k} \cdot a^{-p} = a^{-k-p}$

По определению степени с отрицательным показателем:

$a^{-k} \cdot a^{-p} = \dfrac{1}{a^k} \cdot \dfrac{1}{a^p} = \dfrac{1}{a^{k+p}}$

А по тому же определению:

$\dfrac{1}{a^{k+p}} = a^{-(k+p)}$

Следовательно, $a^{-k} \cdot a^{-p} = a^{-(k+p)} = a^{-k-p}$ , что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются и все остальные свойства степени с целым показателем.

Примеры применения свойств степени с целым показателем

Рассмотрим, как свойства степени с целым показателем применяются на практике при упрощении выражений. Обратите внимание: теперь показатели могут быть любыми целыми числами, что значительно расширяет наши возможности.

Пример 1. Умножение степеней

Преобразуем произведение $a^{-17} \cdot a^{21}$ .

Решение:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели складывают:

$a^{-17} \cdot a^{21} = a^{-17 + 21} = a^{4}$

Ответ: $a^4$

Пример 2. Деление степеней

Преобразуем частное $b^2 : b^5$ .

Решение:

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя:

$b^2 : b^5 = b^{2 - 5} = b^{-3}$

Ответ: $b^{-3}$

Важно: Теперь ограничение, что показатель делимого должен быть не меньше показателя делителя, снимается. Показатели могут быть любыми целыми числами.

Пример 3. Возведение произведения в степень

Упростим выражение $(2a^3b^{-5})^{-2}$ .

Решение:

Сначала применим свойство степени произведения, а затем — свойство возведения степени в степень:

$(2a^3b^{-5})^{-2} = 2^{-2} \cdot (a^3)^{-2} \cdot (b^{-5})^{-2}$

$= \dfrac{1}{4} \cdot a^{-6} \cdot b^{10} = \dfrac{b^{10}}{4a^6}$

Ответ: $\dfrac{b^{10}}{4a^6}$

Пример 4. Комбинированное применение свойств

Упростим выражение $\dfrac{x^{-3} \cdot x^7}{x^{-2}}$ .

Решение:

Сначала выполним умножение в числителе:

$x^{-3} \cdot x^7 = x^{-3+7} = x^4$

Теперь выполним деление:

$\dfrac{x^4}{x^{-2}} = x^{4 - (-2)} = x^{4+2} = x^6$

Ответ: $x^6$

Типичные ошибки при работе со степенями с целым показателем

При применении свойств степени с целым показателем ученики 8 класса часто допускают характерные ошибки. Разберём их, чтобы избежать на контрольных работах и на ОГЭ.

Ошибка 1: Неправильное определение знака при отрицательном показателе

Неправильно

$(-2)^{-3} = \dfrac{1}{-8} = \dfrac{1}{8}$

(потеряли знак минус)

Правильно

$(-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^3} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8}$

Ошибка 2: Путаница в правилах умножения и деления

Неправильно

$a^5 : a^{-2} = a^{5-2} = a^3$

Правильно

$a^5 : a^{-2} = a^{5-(-2)} = a^{5+2} = a^7$

Ошибка 3: Отрицательный показатель у нуля

Неправильно

$0^{-2} = \dfrac{1}{0^2} = \dfrac{1}{0}$

Правильно

$0^{-2}$ не имеет смысла!
На ноль делить нельзя.

Тренажёры на свойства степени с целым показателем

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Свойства степени с целым показателем». Все задания составлены на основе типовых задач из учебников алгебры 8 класса и сборников для подготовки к ОГЭ по математике.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Это особенно важно при подготовке к контрольным работам и к ОГЭ по математике.

Где применяется степень с целым показателем

Степень с целым показателем широко используется в науке и технике для записи очень маленьких чисел, особенно в теме Стандартный вид числа. Такая запись часто используется в химии и физике.

Например, масса атома водорода равна примерно:
$1,674 \cdot 10^{-24}$ г, что означает: $1,674\cdot10^{-24}=1,674\cdot\dfrac{1}{10^{24}}=0,000...01674$

Без использования степени с целым показателем такие числа было бы очень неудобно записывать и читать.

Важно запомнить: Все свойства степени с целым показателем работают так же, как и для натуральных показателей. Главное - внимательно следить за знаками показателей и помнить, что основание не должно равняться нулю.