Уравнения и неравенства - все задания для 8 класса

Уравнения и неравенства - это два основных раздела алгебры, которые изучаются на протяжении всего школьного курса. В 8 классе вы знакомитесь с новыми видами уравнений и неравенств, которые значительно расширяют ваши математические возможности. На этой странице мы собрали краткую информацию о всех основных видах, которые изучаются в 8 классе, чтобы вы могли систематизировать знания и быстро находить нужную информацию. Подробно разобрали каждый вид уравнений и неравенств на их страницах.

Материал разделён на два больших блока: уравнения и неравенства. Внутри каждого блока рассмотрены основные виды, их определения, методы решения и ключевые особенности.

Уравнения в 8 классе

В 8 классе вы изучаете несколько видов уравнений. Ключевое различие между ними - степень уравнения и наличие переменной в знаменателе.

1. Линейные уравнения

Линейное уравнение

Определение. Уравнение вида $ax + b = 0$ , где $a \neq 0$ , называется линейным.

Общий вид: $ax + b = 0$ , где $x$ - переменная, $a$ и $b$ - некоторые числа.

Корень: $x = -\dfrac{b}{a}$ (единственный).

Пример: $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$

Метод решения: перенос слагаемых с переменной в левую часть, без переменной - в правую, приведение подобных, деление на коэффициент при переменной.

2. Квадратные уравнения

Квадратное уравнение

Определение. Уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ , где $a \neq 0$ , называется квадратным.

Коэффициенты: $a$ - старший коэффициент, $b$ - второй коэффициент, $c$ - свободный член.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac$

Корни:
Если $D > 0$ : два корня $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
Если $D = 0$ : один корень $x = -\dfrac{b}{2a}$
Если $D < 0$ : корней нет

Теорема Виета (для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ ):

$x_1 + x_2 = -p$ , $x_1 \cdot x_2 = q$

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении $ax^2 + bx + c = 0$ хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю, уравнение называют неполным.

Вид

Решение

$ax^2 + bx = 0$ ( $c = 0$ )

$x(ax + b) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = -\dfrac{b}{a}$

$ax^2 + c = 0$ ( $b = 0$ )

$x^2 = -\dfrac{c}{a}$ : два корня (если $-\dfrac{c}{a} > 0$ ) или корней нет

$ax^2 = 0$ ( $b = c = 0$ )

$x = 0$ (единственный корень)

3. Дробно-рациональные уравнения

Дробно-рациональное уравнение

Определение. Уравнение, содержащее деление на выражение с переменной, называется дробно-рациональным.

Алгоритм решения:

Найти ОДЗ (знаменатель не равен нулю).
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
Решить полученное целое уравнение.
Исключить корни, не входящие в ОДЗ.

Пример: $\dfrac{x}{x - 2} + \dfrac{3}{x + 1} = 1$

ОДЗ: $x \neq 2$ , $x \neq -1$ . Умножаем на $(x - 2)(x + 1)$ и решаем.

4. Уравнения высших степеней (углублённое изучение)

Уравнения, сводящиеся к квадратным

В классах с углублённым изучением математики рассматриваются уравнения, которые с помощью замены переменной сводятся к квадратным.

Основные виды:
Биквадратные: $ax^4 + bx^2 + c = 0$ . Замена $t = x^2$ .
С заменой переменной: $(x^2 - 7)^2 - 4(x^2 - 7) - 45 = 0$ . Замена $t = x^2 - 7$ .
Возвратные (симметричные): делением на $x^2$ сводятся к квадратным.

Неравенства в 8 классе

Неравенства, которые проходятся в 8 классе делятся на линейные и квадратные. Также неравенства делятся на строгие и нестрогие неравенства.

Строгие и нестрогие неравенства

Строгие - со знаками $>$ или $<$ .

Пример: $x > 3$

Нестрогие - со знаками $\ge$ или $\le$ .

Пример: $x \le 5$

1. Линейные неравенства

Линейное неравенство

Определение. Неравенство вида $ax + b > 0$ (или $<$ , $\ge$ , $\le$ ), где $a \neq 0$ , называется линейным.

Пример: $2x - 4 > 0$

Правила решения:

Перенос слагаемых с изменением знака.
Умножение/деление на положительное число - знак не меняется.
Умножение/деление на отрицательное число - знак неравенства меняется на противоположный.

Решение: $2x > 4 \Rightarrow x > 2$

Ответ: $(2; +\infty)$

2. Квадратные неравенства

Квадратное неравенство

Определение. Неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$ (или $<$ , $\ge$ , $\le$ ), где $a \neq 0$ , называется квадратным.

Пример: $x^2 - 3x + 2 > 0$

Методы решения:

Метод интервалов: найти корни соответствующего квадратного уравнения, нанести на числовую ось, определить знаки на промежутках.
Графический метод: построить эскиз параболы и определить, где функция положительна или отрицательна.

Решение методом интервалов:

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$

Корни: $x_1 = 1$ , $x_2 = 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$

3. Системы неравенств

Система неравенств

Определение. Система неравенств - это несколько неравенств, для которых нужно найти общие решения.

Пример: $\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x + 2 \le 7 \end{cases}$

Решение: $x > 2$ и $x \le 5 \Rightarrow x \in (2; 5]$

Запись ответа: $(2; 5]$

Сравнение уравнений и неравенств

Признак

Уравнение

Неравенство

Знак

$=$

$>$ , $<$ , $\ge$ , $\le$

Ответ

Конкретное число (или множество чисел)

Числовой промежуток

Умножение на отрицательное число

Знак не меняется

Знак меняется на противоположный

💡 Совет: При решении неравенств всегда проверяйте, меняется ли знак неравенства при умножении/делении на отрицательное число. Это самая частая ошибка!

Тренажёры по уравнениям и неравенствам

На платформе Экзамео мы собрали интерактивные тренажёры по всем видам уравнений и неравенств, изучаемым в 8 классе. Мы подготовили задания разного уровня сложности - от простых линейных до сложных систем неравенств и уравнений с параметрами.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Решайте задания в удобном для вас темпе, а система подскажет, если вы допустили ошибку.