Квадратный трехчлен - теория и задания с тренажёрами. Алгебра 8 класс

На данной странице разберем тему квадратный трёхчлен - одно из ключевых понятий в алгебре 8 класса. Квадратные трёхчлены встречаются повсюду: при решении квадратных уравнений, в задачах на движение, в геометрии и даже при анализе графиков функций. Понимание этой темы необходимо для успешной сдачи самостоятельных и контрольных работ, а также ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Это наверное самая главная тема по алгебре, которую должен понимать каждый восьмиклассник. Уделите ей особое внимание и всем темам, которые связаны с ней.

Квадратный трёхчлен - это многочлен второй степени с одной переменной, имеющий вид $ax^2 + bx + c$ , где $x$ это переменная, а $a$ , $b$ , $c$ - некоторые числа, причём $a \neq 0$ .

Что такое квадратный трёхчлен

Начнём с определения. Квадратный трёхчлен - это многочлен, который содержит переменную во второй степени (квадрате), а также может содержать переменную в первой степени и число (свободный член).

Определение квадратного трёхчлена

Квадратным трёхчленом называется многочлен вида: $ax^2 + bx + c$ ,где: $x$ - переменная, $a$ , $b$ , $c$ - коэффициенты(некоторые числа), при условии, что $a \neq 0$ (старший коэффициент не может быть равен нулю, иначе трёхчлен перестанет быть квадратным).

Примеры квадратных трёхчленов:

Посмотрим примеры квадратных трехчленов и чему равны их коэффициенты
$3x^2 - 2x - 5$ ( $a = 3$ , $b = -2$ , $c = -5$ )
$x^2 + 7x - 8$ ( $a = 1$ , $b = 7$ , $c = -8$ )
$-x^2 + 2x + 5$ ( $a = -1$ , $b = 2$ , $c = 5$ )
$7x^2 - x$ ( $a = 7$ , $b = -1$ , $c = 0$ )
$2x^2 + 3$ ( $a = 2$ , $b = 0$ , $c = 3$ )

📌 Важно запомнить: Коэффициенты $b$ и $c$ могут быть равны нулю. Например, $7x^2 - x$ — это квадратный трёхчлен, у которого $c = 0$ . А $2x^2 + 3$ — трёхчлен, у которого $b = 0$ . Главное условие — $a \neq 0$ .

Корни квадратного трёхчлена

Прежде чем говорить о корнях квадратного трёхчлена, вспомним, что такое корень многочлена вообще.

Что такое корень многочлена

Корнем многочлена называется значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль.

Пример: Найдём корни многочлена $x^3 - x$ .

Решим уравнение $x^3 - x = 0$ .

Разложим на множители: $x(x - 1)(x + 1) = 0$ .

Получаем корни: $x_1 = 0$ , $x_2 = 1$ , $x_3 = -1$ .

Числа $0$ , $1$ и $-1$ — корни многочлена $x^3 - x$ .

Теперь перейдём непосредственно к корням квадратного трёхчлена.

Корни квадратного трёхчлена

Определение. Корнями квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ называются значения переменной $x$ , при которых $ax^2 + bx + c = 0$ .

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена, нужно решить соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ .

Пример 1. Найдём корни квадратного трёхчлена $3x^2 - 2x - 5$ .

Решаем уравнение $3x^2 - 2x - 5 = 0$ .

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$

$x = \dfrac{2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \dfrac{2 \pm 8}{6}$

$x_1 = \dfrac{2 + 8}{6} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}$ , $x_2 = \dfrac{2 - 8}{6} = \dfrac{-6}{6} = -1$

Ответ: корни трёхчлена $3x^2 - 2x - 5$ : $\dfrac{5}{3}$ и $-1$ .

Сколько корней может иметь квадратный трёхчлен

Квадратный трёхчлен, как и квадратное уравнение, может иметь два корня, один корень или не иметь корней вообще. Всё зависит от значения дискриминанта.

Дискриминант квадратного трёхчлена

Определение. Дискриминантом квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ называется выражение:

$D = b^2 - 4ac$

Количество корней квадратного трёхчлена определяется знаком дискриминанта:

Знак дискриминанта

Количество корней

$D > 0$

Два различных корня

$D = 0$

Один корень (два совпадающих)

$D < 0$

Не имеет корней

Выделение квадрата двучлена из квадратного трёхчлена

При решении многих задач бывает удобно представить квадратный трёхчлен в виде $a(x - m)^2 + n$ . Это преобразование называется выделением квадрата двучлена.

Зачем нужно выделять квадрат двучлена

Выделение квадрата двучлена позволяет:

Найти вершину параболы - точки максимума или минимума квадратичной функции;
Решать задачи на оптимизацию (нахождение наибольшего или наименьшего значения);
Упрощать сложные выражения;
Решать уравнения и неравенства.

Алгоритм выделения квадрата двучлена

Пошаговый алгоритм

Шаг 1. Вынести за скобки коэффициент $a$ (старший коэффициент).

Шаг 2. В скобках представить выражение $x^2 + \frac{b}{a}x$ как $x^2 + 2 \cdot m \cdot x$ , где $m = \frac{b}{2a}$ .

Шаг 3. Прибавить и вычесть $m^2$ внутри скобок.

Шаг 4. Свернуть выражение по формуле $x^2 + 2mx + m^2 = (x + m)^2$ .

Шаг 5. Упростить полученное выражение.

Пример выделения квадрата двучлена

Пример 2: Выделение квадрата двучлена

Выделим квадрат двучлена из трёхчлена $3x^2 - 36x + 140$ .

Шаг 1. Выносим $3$ за скобки:

$3x^2 - 36x + 140 = 3\left(x^2 - 12x + \dfrac{140}{3}\right)$

Шаг 2. В скобках выделяем квадрат двучлена. Представляем $12x$ как $2 \cdot 6 \cdot x$ :

$x^2 - 12x + \dfrac{140}{3} = x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x + \dfrac{140}{3}$

Шаг 3. Прибавляем и вычитаем $6^2 = 36$ :

$x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x + 36 - 36 + \dfrac{140}{3}$

Шаг 4. Сворачиваем в квадрат разности:

$(x - 6)^2 - 36 + \dfrac{140}{3} = (x - 6)^2 + \dfrac{32}{3}$

Шаг 5. Возвращаем множитель $3$ :

$3\left((x - 6)^2 + \dfrac{32}{3}\right) = 3(x - 6)^2 + 32$

Ответ: $3x^2 - 36x + 140 = 3(x - 6)^2 + 32$

Применение выделения квадрата двучлена в задачах

Рассмотрим задачу, в которой выделение квадрата двучлена помогает найти наибольшее или наименьшее значение выражения.

Пример 3: Задача на наибольшую площадь

Задача. Докажем, что из всех прямоугольников с периметром 20 см наибольшую площадь имеет квадрат.

Решение.

Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см. Тогда вторая сторона равна $10 - x$ см (так как периметр равен 20, полупериметр равен 10).

Площадь прямоугольника:

$S = x(10 - x) = 10x - x^2 = -x^2 + 10x$

Это квадратный трёхчлен с $a = -1$ , $b = 10$ , $c = 0$ . Выделим квадрат двучлена:

$-x^2 + 10x = -(x^2 - 10x) = -(x^2 - 10x + 25 - 25) = -((x - 5)^2 - 25)$

$-x^2 + 10x = -(x - 5)^2 + 25$

Выражение $-(x - 5)^2$ при любом $x \neq 5$ отрицательно, поэтому сумма $-(x - 5)^2 + 25$ принимает наибольшее значение при $x = 5$ .

При $x = 5$ одна сторона равна 5 см, а вторая $10 - 5 = 5$ см. Значит, прямоугольник является квадратом.

Ответ: наибольшую площадь имеет квадрат со стороной 5 см.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Если квадратный трёхчлен имеет корни, его можно разложить на множители. Это очень полезно при решении уравнений, сокращении дробей и упрощении выражений.

Формула разложения квадратного трёхчлена

Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ , то:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Пример: Разложим на множители $3x^2 - 2x - 5$ .

Мы нашли корни: $x_1 = \dfrac{5}{3}$ , $x_2 = -1$ .

$3x^2 - 2x - 5 = 3\left(x - \dfrac{5}{3}\right)(x + 1)$

Можно записать иначе: $(3x - 5)(x + 1)$ .

💡 Совет: Если дискриминант $D < 0$ и корней нет, то разложить квадратный трёхчлен на множители нельзя (в области действительных чисел).

Связь квадратного трёхчлена с квадратичной функцией

Квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ — это не просто алгебраическое выражение. Он задаёт квадратичную функцию $y = ax^2 + bx + c$ , графиком которой является парабола.

Как связаны корни трёхчлена и график функции

Корни трёхчлена — это точки пересечения параболы с осью $Ox$ .
Если $D > 0$ , парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках.
Если $D = 0$ , парабола касается оси $Ox$ в одной точке.
Если $D < 0$ , парабола не пересекает ось $Ox$ .

Вершина параболы находится в точке $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ . Это значение можно получить из выделения квадрата двучлена.

Тренажёры по квадратному трёхчлену

На платформе Экзамео вы найдёте множество интерактивных тренажёров по теме «Квадратный трёхчлен». Все задания составлены на основе типовых задач из учебников алгебры 8 класса и сборников для подготовки к ОГЭ по математике.

Каждое задание в тренажёре сопровождается подробным решением и объяснением, что позволяет не просто получить ответ, но и понять алгоритм выполнения. Это особенно важно при подготовке к контрольным работам и к ОГЭ по математике.