МатематикаОГЭ по математике

Задание 6 ОГЭ по математике

Подробный разбор 6 задания ОГЭ по математике «Числа и вычисления». Все виды выражений из открытого банка ФИПИ: обыкновенные и десятичные дроби, общий знаменатель, числа в стандартном виде, типичные ошибки, алгоритмы решения и интерактивные тренажёры с решениями на Экзамео.

Задание 6 ОГЭ по математике относится к базовому блоку первой части (модуль «Алгебра») и проверяет владение навыками из раздела «Числа и вычисления». За верное решение задачи даётся 1 первичный балл. Суть шестого задания — быстро и без ошибок найти значение числового выражения. В КИМах ОГЭ встречаются примеры с обыкновенными и десятичными дробями, многоэтажными выражениями, степенями, отрицательными числами и числами, записанными в стандартной форме.

На этой странице разобраны абсолютно все существующие прототипы 6 задания из открытого банка ФИПИ и экзаменов прошлых лет. Подробно разьираем основные правила работы с дробями, алгоритмы нахождения общего знаменателя, законы степеней и правила работы со знаками, чтобы вы могли уверенно забрать свой балл на ОГЭ.

Отработать все виды прототипов шестого номера помогут интерактивные тренажёры Задания 6 ОГЭ по математике с подробными пошаговыми решениями.

Виды 6 задания в ОГЭ по математике 2027 года

Все прототипы 6 задания из банка ФИПИ можно подразделить на две ключевые категории:

1. Вычисления с дробями 🍕

Выражения с обыкновенными, десятичными и многоэтажными (составными) дробями, преобразованием смешанных чисел и возведением дробей в степень.

2. Вычисления в стандартной форме 🔢

Выражения с произведениями и степенями вида a⋅10na \cdot 10^n, требующие применения свойств степеней и правил работы со стандартным видом числа.

Вычисления с обыкновенными дробями в ОГЭ

Наиболее частая причина ошибок в 6 задании — путаница в правилах действий с обыкновенными дробями. Более того, вычисления с дробями понадобятся и в других заданиях на экзамене.

Запомните три базовых правила работы с дробями:

Сложение и вычитание дробей

Складывать и вычитать можно только дроби с одинаковыми знаменателями.
Если знаменатели разнятся, найдите их НОК (наименьшее общее кратное), найдите дополнительный множитель для каждой дроби и приведите их к общему знаменателю:

ab±cd=a⋅d±c⋅bb⋅d\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}
Умножение и сокращение

При умножении дробей перемножаются числитель с числителем, а знаменатель со знаменателем.
Важно: перемножайте только после максимального сокращения числителей и знаменателей! Это поможет

ab⋅cd=a⋅cb⋅d\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}
Деление дробей

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернуть вторую дробь):

ab:cd=ab⋅dc=a⋅db⋅c\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}

Такие действия как возведение в степень дробей или умножение дроби на число выполняются по тем же принципам. Если дробь умножается на целое число - то умножается только числитель

Пример 1: Выражение со степенями и вынесением общего множителя

Задание: Найдите значение выражения 18⋅(19)2−20⋅1918 \cdot \left(\dfrac{1}{9}\right)^2 - 20 \cdot \dfrac{1}{9}.

Подробное решение:

1) Заметим, что в обоих слагаемых содержится общий множитель 19\dfrac{1}{9}. Вынесем его за скобки:

18⋅(19)2−20⋅19=19⋅(18⋅19−20)18 \cdot \left(\dfrac{1}{9}\right)^2 - 20 \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{9} \cdot \left(18 \cdot \dfrac{1}{9} - 20\right)

2) Выполним действия внутри скобок:

18⋅19=189=218 \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{18}{9} = 2
2−20=−182 - 20 = -18

3) Умножим полученный результат на вынесенный множитель:

19⋅(−18)=−189=−2\dfrac{1}{9} \cdot (-18) = -\dfrac{18}{9} = -2

Ответ: −2-2.

Десятичные и многоэтажные дроби

Некоторые прототипы шестых заданий в банке ФИПИ связаны с многоэтажными и десятичными дробями, давайте их разберем отдельно

При вычислениях с десятичными дробями соблюдайте следующие правила:

Сложение и вычитание в столбик: записывайте дроби строго «запятая под запятой».

Умножение десятичных дробей в столбик: умножайте числа, не обращая внимания на запятые, а затем в результате отделите запятой справа налево столько цифр, сколько их было после запятой в обоих множителях вместе.

Деление десятичных дробей в столбик: перенесите запятую в делимом и делителе вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, чтобы делитель стал целым числом, затем выполняйте деление как с целыми числами, поставив запятую в частном в тот момент, когда закончится целая часть делимого.

Ещё один способ умножения и деления десятичных дробей

Не нравится считать в столбик - представьте десятичные дроби как обыкновенные и вычисляйте по общим правилам, это поможет избежать путаницы в знаках и в некоторых пример может ускорить вычисления

• Многоэтажные дроби: заменяйте главную черту дроби знаком деления «::» или домножайте числитель и знаменатель всей дроби на 10,100,100010, 100, 1000, чтобы избавиться от запятых.

Разберем как решать примеры с многоэтажными дробями на примере:

Многоэтажная обыкновенная дробь в ОГЭ по математике

Задание: Найдите значение выражения 1118−121\dfrac{1}{\dfrac{1}{18} - \dfrac{1}{21}}.

Подробное решение:

1) Выполним вычитание дробей в знаменателе. Найдем общий знаменатель для 1818 и 2121:
• 18=9⋅2=32⋅218 = 9 \cdot 2 = 3^2 \cdot 2
• 21=3⋅721 = 3 \cdot 7
• НОК(18;21)=18⋅7=126\text{НОК}(18; 21) = 18 \cdot 7 = 126.

2) Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю 126126:

118−121=1⋅7126−1⋅6126=7−6126=1126\dfrac{1}{18} - \dfrac{1}{21} = \dfrac{1 \cdot 7}{126} - \dfrac{1 \cdot 6}{126} = \dfrac{7 - 6}{126} = \dfrac{1}{126}

3) Выполним главное деление единицы на полученную дробь:

11126=1:1126=1⋅1261=126\dfrac{1}{\dfrac{1}{126}} = 1 : \dfrac{1}{126} = 1 \cdot \dfrac{126}{1} = 126

Ответ: 126126.

Вычисления с числами в стандартной форме

Некоторые прототипы 6 задания в ОГЭ связаны с вычислениями в стандартной форме или с вычислениями с домножением на десять в какой-то степени. Действия во всех таких случаях одинаковы - давайте разберем их особенности

Число записано в стандартном виде, если оно представлено как a⋅10na \cdot 10^n, где 1⩽a<101 \leqslant a < 10, а nn — целое число.

При вычислениях с такими числами группируйте коэффициенты и степени 1010 отдельно, используя свойства степеней. Нужно запомнить всего два свойства:

(a⋅10n)⋅(b⋅10m)=(a⋅b)⋅10n+m(a \cdot 10^n) \cdot (b \cdot 10^m) = (a \cdot b) \cdot 10^{n+m}
a⋅10nb⋅10m=(ab)⋅10n−m\dfrac{a \cdot 10^n}{b \cdot 10^m} = \left(\dfrac{a}{b}\right) \cdot 10^{n-m}

Мантисса

Число a в стандартном виде числа a⋅10na\cdot10^{n} носит название мантисса

А вот при сложении и вычитании чисел в стандартном виде в 6 задании нужно либо привести числа к одной степени десяти, либо вычислить числа и перевести их в обыкновенный вид и затем уже выполнить действия.

Вычисления с числами в стандартном виде - 6 задание ОГЭ из демоверсии

Задание: Найдите значение выражения (2,4⋅10−3)⋅(3⋅105)(2{,}4 \cdot 10^{-3}) \cdot (3 \cdot 10^5).

Подробное решение:

1) Сгруппируем десятичные множители и степени десятки отдельно:

(2,4⋅3)⋅(10−3⋅105)(2{,}4 \cdot 3) \cdot (10^{-3} \cdot 10^5)

2) Выполним умножение чисел 2,4⋅3=7,22{,}4 \cdot 3 = 7{,}2.

3) Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием (10−3⋅105=10−3+5=102=10010^{-3} \cdot 10^5 = 10^{-3 + 5} = 10^2 = 100):

7,2⋅100=7207{,}2 \cdot 100 = 720

Ответ: 720720.

Типичные ошибки в 6 задании и как их избежать

По статистике ФИПИ, большинство потерянных баллов в задании 6 на ОГЭ происходит не из-за незнания правил, а из-за невнимательности, давайте посмотрим на самые частые из них, согласно статистике:

Типичная ошибка

В чём заключается

Как делать правильно

Нарушение порядка действий

Выполнение сложения до умножения или игнорирование скобок.

Сначала скобки   ⟹  \implies степени   ⟹  \implies умножение/деление   ⟹  \implies сложение/вычитание.

Ошибки со знаками «−-»

Утеря минуса при умножении двух отрицательных чисел или при раскрытии скобок.

Запомните: (−⋅−=+)(- \cdot - = +), (−⋅+=−)(- \cdot + = -). Пошагово фиксируйте знак каждого слагаемого.

Сложение без общего знаменателя

Сложение числителей и знаменателей напрямую: 12+13=25\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5} (Грубейшая ошибка!).

Складывать числители можно только после приведения к общему знаменателю.

Неверная запись ответа

Попытка записать в бланк обыкновенную дробь вида 34\dfrac{3}{4}.

В бланк № 1 вносится только целое число или конечная десятичная дробь (например, 0,750{,}75).

Пошаговый алгоритм решения Задания 6

При выполнении вычислений в 6 задании на экзамене придерживайтесь алгоритма следующего алгоритма:

Порядок действий:

1

Расставьте порядок действий: сначала операции в скобках и возведение в степень, затем умножение и деление, в конце — сложение и вычитание.

2

Выполните промежуточные вычисления: приводите обыкновенные дроби к общему знаменателю и обязательно сокращайте множители.
Все вычисления мы советуем выполнять в обыкновенных дробях, потому что они имеют свойство сокращаться и упрощать выражения.

3

Переведите результат в десятичную дробь: убедитесь, что знак верный, переведите ответ в десятичную форму и запишите в бланк № 1.

Вспомним как выполнять перевод в десятичную дробь

Как переводить обыкновенную дробь в десятичную?

Чтобы быстро перевести полученную обыкновенную дробь в десятичную для бланка № 1, используйте один из способов:

Домножение до 10,100,100010, 100, 1000: домножьте верх и низ на подходящее число чтобы получить разрядную единицу и нули, например: 320=3⋅520⋅5=15100=0,15\dfrac{3}{20} = \dfrac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \dfrac{15}{100} = 0{,}15.

Деление уголком (в столбик): разделите числитель на знаменатель в черновике до получения остатка 00.

Тренажёры по 6 заданию ОГЭ по математике

Ниже собраны все виды 6 задания из ОГЭ по математике, собранны из открытого банка ФИПИ и вариантов прошлых лет. Для каждого задания вы найдете подробное решение и автоматическую проверку ответов.

Задача 1
Вычисление выражений с отрицательными степенями и возведением степени в степень
Темы2
Темы задачи
Степень с целым отрицательным показателемСвойства степени с целым показателем
Вариант 1

Вычислите:

(25⋅5−3)−2−36⋅(6−1)2\left(25 \cdot 5^{-3}\right)^{-2} - 36 \cdot \left(6^{-1}\right)^{2}
Ваш ответ
Задача 2
Сложение и вычитание обыкновенных дробей с приведением к заданному знаменателю
Темы1
Темы задачи
Основное свойство дроби и сокращение дробей
Арифметическое задание на сложение или вычитание двух обыкновенных дробей и приведение к необходимому знаменателюВариант 1

Найдите значение выражения

1328+2321.\frac{13}{28} + \frac{23}{21}.

Представьте полученный результат в виде дроби со знаменателем 56. В ответ запишите числитель этой дроби.

Ваш ответ

Темы, которые встречаются в этом задании

Степень с целым отрицательным показателемСтепень с отрицательным целым показателем — это дробь, в числителе которой 1, а в знаменателе — та же степень, но с положительным показателем; все свойства степени с натуральным показателем сохраняются.Открыть темуЧисла и вычисленияВ разделе изучаются натуральные, целые, рациональные и действительные числа, а также действия с ними. Рассматриваются свойства арифметических операций, порядок действий, работа с дробями, процентами, степенями и корнями.Открыть темуОсновное свойство дроби и сокращение дробейОсновное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то дробь не изменится. Правило лежит в основе сокращения дробей и приведения их к общему знаменателю.Открыть темуСвойства степени с целым показателемНабор правил, позволяющих преобразовывать выражения с целыми степенями: умножение и деление степеней с одинаковым основанием, возведение степени в степень, степени произведения и частного, а также определение нулевой и отрицательной степени.Открыть темуСтандартный вид числаЗнакомимся со стандартным видом числа — записью числа в виде a · 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10, а n — целое число. Учимся преобразовывать большие и малые числа в стандартную форму, выполнять операции с числами в стандартном виде (умножение, деление) и применять этот навык для решения задач из физики, химии и других наук. Тренируемся правильно определять порядок числа и использовать стандартную запись для удобства вычислений и сравнения величин.Открыть тему
Рациональные числа. Арифметические операции с рациональными числамиЗнакомимся с рациональными числами — числами, которые можно записать в виде обыкновенной дроби. Учимся складывать, вычитать, умножать и делить их, работать с положительными и отрицательными значениями, преобразовывать десятичные дроби в обыкновенные и обратно.
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чиселНатуральные и целые числа, их свойства, признаки делимости чисел
Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дробиВиды дробей, проценты, периодические дробиОткрыть тему
Действительные числа. Арифметические операции с действительными числамиДействительные числа и операции с ними
Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычисленийПриближенные вычисления, округление, оценка результатовОткрыть темуРазложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробьПреобразование обыкновенных дробей в десятичныеОткрыть темуПриведение дробей к наименьшему общему знаменателюПриведение обыкновенных дробей к общему знаменателюОткрыть темуСравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробейДействия с обыкновенными дробями с одинаковыми и разными знаменателямиОткрыть темуДействия сложения и вычитания смешанных чиселСложение и вычитание смешанных чиселОткрыть тему