Числа и вычисления 6 класс: примеры по математике с ответами и тренажёры

Раздел «Числа и вычисления» за 6 класс — это фундамент всего школьного курса алгебры. Именно в 6 классе происходит главный математический скачок: программа переходит от простых натуральных чисел к глубокому изучению обыкновенных и смешанных дробей, а затем вводит принципиально новую область — отрицательные и рациональные числа, координатную прямую, модуль и пропорции. Без безошибочного вычислительного навыка за 6 класс невозможно успешно решать уравнения, строить графики, а также сдавать экзамены ОГЭ и ЕГЭ (включая задания № 6 ОГЭ и № 6 базового/профильного ЕГЭ).

На этой странице собрана вся структурированная теория программы, сводные таблицы правил знаков, пошаговые алгоритмы действий и интерактивные тренажёры на счёт за 6 класс. Здесь представлены сотни типовых примеров на вычисления 6 класс с подробными ответами и решениями, охватывающие все 28 тем образовательного стандарта.

Тренировать устный и письменный счёт по каждой теме можно в специальном блоке: онлайн-тренажёры на вычисления 6 класс на платформе Экзамео с моментальной проверкой и разбором ошибок.

Что изучается в разделе «Числа и вычисления» (6 класс)

Все 28 уроков раздела логически сгруппированы в 4 крупных содержательных модуля:

1. Делимость, НОД и НОК 🔢

• Делимость натуральных чисел и признаки делимости (на 2, 3, 5, 9, 10)

• Разложение составных чисел на простые множители

• Нахождение наибольшего общего делителя (НОД) и взаимно простые числа

• Наименьшее общее кратное (НОК) — база для работы со знаменателями

2. Обыкновенные и смешанные дроби 🍰

• Основное свойство дроби и сокращение дробей

• Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю (НОЗ)

• Сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей

• Сложение, вычитание, умножение и деление смешанных чисел

• Нахождение дроби от числа и числа по его дроби

3. Отношения, пропорции и проценты ⚖️

• Понятие отношения двух чисел и масштаб

• Пропорция и её основное свойство ( $a \cdot d = b \cdot c$ )

• Задачи на прямую и обратную пропорциональную зависимость

• Понятие процента, нахождение процентов и величины по проценту

• Среднее арифметическое нескольких чисел

4. Положительные, отрицательные и рациональные числа ❄️

• Положительные и отрицательные числа, изменение величин

• Противоположные числа и геометрический модуль числа ( $|a|$ )

• Сравнение чисел на координатной прямой

• Сложение отрицательных чисел и чисел с разными знаками

• Вычитание, умножение и деление рациональных чисел

• Свойства действий (переместительное, сочетательное, распределительное)

Справочник правил вычислений за 6 класс

Главный источник вычислительных ошибок в 6 классе — путаница знаков плюс и минус при различных математических операциях. Ниже приведены строгие сводные правила:

Операция

Правило и формула

Наглядный пример

Сложение отрицательных чисел

Складываем их модули и перед результатом ставим знак минус:
$$-a + (-b) = -(a + b)$$

-7 + (-5) = -(7 + 5) = -12

Сложение чисел с разными знаками

Из большего модуля вычитаем меньший и ставим знак слагаемого с большим модулем.

-9 + 4 = -(9 - 4) = -5$$ $$11 + (-3) = +(11 - 3) = 8

Вычитание рациональных чисел

Вычитание заменяем сложением с числом, противоположным вычитаемому:
$$a - b = a + (-b)$$
$$a - (-b) = a + b$$

3 - 8 = 3 + (-8) = -5$$ $$-4 - (-10) = -4 + 10 = 6

Умножение и деление чисел

• Одинаковые знаки дают плюс:
$$(+) \cdot (+) = + \quad \text{и} \quad (-) \cdot (-) = +$$
• Разные знаки дают минус:
$$(+) \cdot (-) = - \quad \text{и} \quad (-) \cdot (+) = -$$

(-6) \cdot (-7) = 42$$ $$(-36) : 4 = -9$$ $$-15 : (-3) = 5

Деление обыкновенных дробей

Первую дробь умножаем на дробь, обратную второй (переворачиваем делитель):

\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}

\dfrac{3}{7} : \dfrac{9}{14} = \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{14}{9} = \dfrac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \dfrac{2}{3}

Действия со смешанными числами

При умножении и делении всегда переводим смешанные числа в неправильные дроби!
$$A\dfrac{b}{c} = \dfrac{A \cdot c + b}{c}$$

1\dfrac{2}{3} \cdot 2\dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{12}{5} = \dfrac{1 \cdot 4}{1 \cdot 1} = 4

Место под иллюстрацию: наглядная шпаргалка правил знаков — термометр с положительными и отрицательными числами, координатная прямая с перемещением влево/вправо и таблица умножения знаков: «минус на минус даёт плюс».

Лайфхаки быстрого и точного счёта для 6 класса! 💡

1. Сначала сокращай — потом умножай: Никогда не перемножайте числители и знаменатели дробей сразу в большие числа. Запишите всё под одну общую черту и сократите общие делители до минимальных чисел!

2. Два минуса подряд превращаются в плюс: Встретили конструкцию вида $- (-x)$ ? Это всегда $+x$ . Например: $7 - (-4) = 7 + 4 = 11$ .

3. Модуль уничтожает знак минус: Модуль — это геометрическое расстояние от нуля до точки на координатной прямой. Расстояние не бывает отрицательным: $|-15| = 15$ , $|+8| = 8$ , $|0| = 0$ .

4. Основное свойство пропорции («крест-накрест»): В пропорции $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ произведение крайних членов равно произведению средних: $a \cdot d = b \cdot c$ . Чтобы найти неизвестный $x$ , перемножаем числа по диагонали без $x$ и делим на число напротив $x$ .

Примеры по математике на вычисления (6 класс) с ответами

Ниже приведены подробные решения типовых контрольных и самостоятельных примеров по учебникам Виленкина, Мерзляка, Никольского и Дорофеева.

Пример 1: Вычисления со смешанными числами и разными знаменателями

Задание: Найдите значение выражения: $\left(3\dfrac{1}{4} - 1\dfrac{5}{6}\right) : 1\dfrac{5}{12}$ .

Пошаговое решение:

1) Действие 1 (вычитание в скобках):
Найдем наименьший общий знаменатель для чисел $4$ и $6$ : $\text{НОК}(4, 6) = 12$ .
Дополнительный множитель для первой дроби — $3$ , для второй — $2$ :

3\dfrac{1}{4} - 1\dfrac{5}{6} = 3\dfrac{3}{12} - 1\dfrac{10}{12}

Так как числитель $3$ меньше $10$ , занимаем единицу у целой части ( $3 = 2 + \dfrac{12}{12}$ ):

2\dfrac{15}{12} - 1\dfrac{10}{12} = 1\dfrac{5}{12} = \dfrac{17}{12}

2) Действие 2 (деление):
Переведем делитель в неправильную дробь: $1\dfrac{5}{12} = \dfrac{1 \cdot 12 + 5}{12} = \dfrac{17}{12}$ .
Выполним деление:

\dfrac{17}{12} : \dfrac{17}{12} = \dfrac{17}{12} \cdot \dfrac{12}{17} = 1

Ответ: $1$ .

Пример 2: Рациональные числа со скобками и отрицательными знаками

Задание: Вычислите: $(-4{,}8 + 1{,}2) \cdot (-0{,}5) - 3{,}4 : (-2)$ .

Пошаговое решение:

1) Действие 1 (сложение в скобках с разными знаками):
Из большего модуля вычитаем меньший и ставим знак минус:
$$-4{,}8 + 1{,}2 = -(4{,}8 - 1{,}2) = -3{,}6$$

2) Действие 2 (умножение):
Минус на минус дает плюс:
$$-3{,}6 \cdot (-0{,}5) = +(3{,}6 \cdot 0{,}5) = 1{,}8$$

3) Действие 3 (деление):
Положительное число делим на отрицательное — результат отрицательный:
$$3{,}4 : (-2) = -1{,}7$$

4) Действие 4 (вычитание):
Заменяем вычитание отрицательного числа сложением ( $a - (-b) = a + b$ ):
$$1{,}8 - (-1{,}7) = 1{,}8 + 1{,}7 = 3{,}5$$

Ответ: $3{,}5$ .

Пример 3: Нахождение неизвестного члена пропорции

Задание: Решите пропорцию: $\dfrac{x}{1{,}6} = \dfrac{3{,}5}{0{,}8}$ .

Пошаговое решение:

1) По основному свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних:
$$x \cdot 0{,}8 = 1{,}6 \cdot 3{,}5$$

2) Выразим неизвестный множитель $x$ :
$$x = \dfrac{1{,}6 \cdot 3{,}5}{0{,}8}$$

3) Сократим числитель и знаменатель на $0{,}8$ ( $1{,}6 : 0{,}8 = 2$ ):
$$x = 2 \cdot 3{,}5 = 7$$

Ответ: $7$ .

Онлайн-тренажёры на счёт и вычисления для 6 класса

Довести навыки вычислений до полного автоматизма и научиться щёлкать любые математические примеры без калькулятора помогут интерактивные тренажёры на счёт 6 класс на образовательной платформе «Экзамео». На платформе собраны тысячи сгенерированных примеров по всем 28 урокам раздела: от разложения на множители и деления смешанных дробей до многоэтажных выражений с рациональными числами и модулями.

Интерактивный тренажёр проверяет каждый шаг вычислений в реальном времени, мгновенно указывает на ошибку в знаке или сокращении и показывает подробный образец решения. Занимайтесь на Экзамео регулярно по 10–15 минут в день, развивайте быстрый устный счёт и получайте только отличные оценки по математике!

Задача 1

Упрощение выражения со свойствами степеней

Темы3

Курсы4

Вариант 1

Найдите значение выражения:

\frac{x^{5} \cdot x^{2}}{x^{4}}

при $x = 8$ .

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Упрощение алгебраического выражения со степенями с двумя переменными

Темы3

Курсы4

Задания. в которых проверяются основные свойства степенейВариант 1

Найдите значение выражения:

\frac{k^{4} \cdot (c^{3})^{4}}{k^{3} \cdot c^{9}}

при $k = 3$ и $c = 4$ .

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план