7 задание ОГЭ по математике. Теория и все виды заданий с решениями

7 задание ОГЭ по математике одно из самых «дорогих» по соотношению времени и сложности заданий базового блока первой части. Оно проверяет понимание устройства числовой прямой, умение сравнивать действительные числа: обыкновенные и десятичные дроби через общий знаменатель и общий числитель. Задания с квадратными корнями проверяют навыки представления чисел в виде квадратного корня для сравнения. В основном это задание основано на программе 8 класса по математике.

На странице собрана вся необходимая теория по сравнению чисел и числовой прямой. Так же здесь собраны все существующие типы прототипов 7 задания из открытого банка ФИПИ с подробными разборами каждого вида.

Для всех видов заданий после теории доступны тренажеры с подробными решениями. Рекомендуем решить все тренажеры, чтобы подготовиться к экзамену.

Как решать 7 задание в ОГЭ по математике?

Всего на экзамене встречаются 10 видов заданий согласно открытому банку ФИПИ и демоверсиям ОГЭ по математике, чтобы их решить достаточно знать всего лишь 6 основных способов решения.

Прежде всего нужно понимать, что это задание не направлено на примерное вычисление значения дроби или корня - его смысл в использовании способов сравнения выражений, давайте разберем основные:

Сравнение дробей

В 7 задании ОГЭ по математике часто встречаются задания на сравнение дробей, это могут быть задачи с интервалами или с числовой прямой, для решения таких задач существует три подхода:

Приведение к общему знаменателю — это классический и наиболее надежный метод. Он считается универсальным и гарантирует верный результат, поэтому часто становится главным инструментом на экзамене.

Приведение к общему числителю — эффективный альтернативный прием. Хотя он используется реже, в определенных заданиях он позволяет упростить вычисления и значительно сократить время решения.

Сравнение с ближайшим целым числом (метод дополнения до целого) — это экспресс-метод для опытных ребят. Он требует развитого числового чутья и навыков быстрой оценки, но при должной сноровке помогает справиться с примером буквально за несколько секунд.

Давайте рассмотрим каждый из способов на примерах

Сравнение через общий знаменатель

Начнём с самого надёжного способа сравнения дробей — приведение к общему знаменателю с последующим сравнением числителей.

Предположим, что нужно сравнить две дроби:

\dfrac{4}{5} \quad \text{и} \quad \dfrac{5}{6}

Приведём их к общему знаменателю — его можно найти как $\text{НОК}(5; 6)$ , то есть наименьшее число, которое делится и на $5$ , и на $6$ . $\text{НОК}(5; 6) = 30$ . Теперь домножим числитель и знаменатель первой дроби на $6$ , а второй — на $5$ :

\dfrac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \dfrac{24}{30}, \qquad \dfrac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \dfrac{25}{30}

Так как знаменатели одинаковые, сравниваем числители: $24 < 25$ , следовательно, $\dfrac{24}{30} < \dfrac{25}{30}$ , откуда $\dfrac{4}{5} < \dfrac{5}{6}$ .

Сравнение через общий числитель

Этот метод особенно удобен, когда числители дробей легко привести к одному числу, а знаменатели при этом достаточно большие. Главное правило: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше (так как кусок делят на меньшее количество частей).

Сравним дроби:

\dfrac{3}{11} \quad \text{и} \quad \dfrac{2}{7}

Приведём числители к общему значению $\text{НОК}(3; 2) = 6$ . Домножим первую дробь на $2$ , а вторую на $3$ :

\dfrac{3 \cdot 2}{11 \cdot 2} = \dfrac{6}{22}, \qquad \dfrac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \dfrac{6}{21}

Числители равны. Сравниваем знаменатели: $22 > 21$ . Поскольку у второй дроби знаменатель меньше, сама дробь будет больше: $\dfrac{6}{22} < \dfrac{6}{21}$ , следовательно, $\dfrac{3}{11} < \dfrac{2}{7}$ .

Сравнение через выделение целой части и оценку долей

При работе с неправильными дробями или дробями, близкими к единице, наиболее быстрый способ — выделить целую часть или посмотреть, сколько не хватает каждой дроби до $1$ .

Сравним неправильные дроби:

\dfrac{37}{7} \quad \text{и} \quad \dfrac{43}{8}

Выделим целую часть у каждой дроби:

\dfrac{37}{7} = 5\dfrac{2}{7}, \qquad \dfrac{43}{8} = 5\dfrac{3}{8}

Целые части равны ( $5 = 5$ ). Теперь достаточно сравнить оставшиеся правильные дроби $\dfrac{2}{7}$ и $\dfrac{3}{8}$ . Домножим их к общему знаменателю $56$ : $\dfrac{16}{56} < \dfrac{21}{56}$ . Значит, $5\dfrac{2}{7} < 5\dfrac{3}{8}$ , откуда $\dfrac{37}{7} < \dfrac{43}{8}$ .

Сравнение выражений с квадратными корнями в 7 задании ОГЭ

Для сравнения целого числа и квадратного корня или двух выражений с квадратными корнями используют метод внесения множителя под знак корня. Для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ верно правило: из двух квадратных корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше ( $\sqrt{a} > \sqrt{b} \iff a > b$ ).

Чаще всего вам придется представлять целые числа в виде квадратного корня, поскольку все интервалы и числа на числовой прямой даны в виде целых чисел. Всегда проще представить целое число в виде квадратного корня, чем вычислять значение корня.

Сравнение целого числа и арифметического квадратного корня

Сравним число $7$ и квадратный корень $\sqrt{50}$ :

1. Представим число $7$ в виде квадратного корня: $7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49}$ .

2. Сравниваем два корня: $\sqrt{49}$ и $\sqrt{50}$ . Так как $49 < 50$ , то $\sqrt{49} < \sqrt{50}$ .

3. Вывод: $7 < \sqrt{50}$ .

Сравнение выражений вида $a\sqrt{b}$

Сравним выражения $3\sqrt{5}$ и $2\sqrt{11}$ :

1. Внесём множители перед корнями под знак квадратного корня:

3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}

2\sqrt{11} = \sqrt{2^2 \cdot 11} = \sqrt{4 \cdot 11} = \sqrt{44}

2. Сравниваем подкоренные выражения: $45 > 44 \implies \sqrt{45} > \sqrt{44}$ .

3. Вывод: $3\sqrt{5} > 2\sqrt{11}$ .

Сравнение положительных и отрицательных чисел в 7 задании ОГЭ

При работе с числами разных знаков и отрицательными значениями действуют следующие фундаментальные правила координатной прямой:

1. Любое положительное число строго больше нуля и любого отрицательного числа.

2. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше (то есть то число, которое на координатной прямой расположенно ближе к нулю / правее).

Сравнение отрицательных дробей и корней

Сравним два отрицательных числа:

-0{,}7\space \text{и} \space -\dfrac{3}{4}

1. Переведём обыкновенную дробь в десятичную: $-\dfrac{3}{4} = -0{,}75$ .

2. Сравним их модули: $|-0{,}7| = 0{,}7$ , а $|-0{,}75| = 0{,}75$ . Так как $0{,}7 < 0{,}75$ , модуль первой дроби меньше.

-0{,}7>-0{,}75 \implies -0{,}7>-\dfrac34

Такие сравнения можно так же выполнять при помощи числовой прямой: можно нарисовать прямую и отметить на ней точку $-0{,}7$ и слева от неё отметить $-0{,}75 = -\frac34$ . То, что окажется слева - больше.

Числовая прямая и конкретные примеры

В прототипах с буквенными выражениями на координатной прямой (когда заданы точки $a, b, c$ без четких числовых значений) наиболее эффективным является метод подстановки конкретных чисел.

Главное правило: выберите для каждой буквы удобное число с учетом её положения относительно 0(если он указан) и соблюдая примерный масштаб расстояний между точками.

Пример применения метода подстановки конкретных чисел

Пусть на координатной прямой точка $a$ лежит левее нуля на расстоянии около $3$ единиц, а точка $b$ лежит правее нуля на расстоянии около $1{,}5$ единиц.

1. Присвоим переменным конкретные «тестовые» значения: $a = -3$ , $b = 1{,}5$ .

2. Проверим утверждение $a + b > 0$ : подставляем числа $-3 + 1{,}5 = -1{,}5$ . Результат отрицательный, значит утверждение $a + b > 0$ — неверное.

3. Проверим утверждение $a \cdot b < 0$ : подставляем $(-3) \cdot 1{,}5 = -4{,}5$ . Результат отрицательный, значит утверждение $a \cdot b < 0$ — верное.

Приблизительное вычисление значения выражения

Когда требуется определить, между какими соседними целыми числами заключено значение иррационального выражения или дроби, в очень редких случаях применяют метод приближенной десятичной оценки.

Важно отметить - этот метод стоит использовать только в тех случаях, когда у вас нет идей как решать задание, потому что он очень часто приводит к неверным оценкам у девятиклассников и занимает много времени.

Однако если вы все-таки решили его использовать - вот несколько советов, которые помогут свести ошибки к минимуму:

Вы всегда можете просто поделить числитель на знаменатель или примерно посчитать корень.

Делите или извлекайте корень как минимум до четырех знаков после запятой - это поможет свести к минимуму ошибку при округлении

Если не уверены как округлить - считайте дальше до большего количества знаков после запятой.

Подробнее про оценку выражений можно найти здесь: Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений - это тема кодификатора ОГЭ по математике

Тренажёры по 7 заданию ОГЭ по математике

Ниже собраны все виды 7 задания в ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ по математике и сборников для подготовки к ОГЭ. К каждому заданию вы найдете подробное решение, которое поможет разобраться с темой и подготовиться к экзамену в 9 классе.

Задача 1

Корень из интервала

Темы3

Вариант 1

Между какими числами заключено число $\sqrt{12}$ ?

1. 3 и 4
2. 11 и 13
3. 4 и 5
4. 15 и 17

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Принадлежность квадратного корня промежутку

Темы3

Вариант 1

Какое из данных чисел принадлежит промежутку [9; 10]?

1) $\sqrt{ 99 }$
2) $\sqrt{ 10 }$
3) $\sqrt{ 9 }$
4) $\sqrt{ 78 }$

В ответе запишите номер выбранного варианта.

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план