Десятичное разложение рациональных чисел: периодические дроби, перевод

На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме «Десятичное разложение рациональных чисел» по алгебре и математике для 7 класса. Методисты и эксперты платформы Экзамео разработали этот практический материал с наглядным представлением рациональных чисел в виде десятичных дробей, строгой классификацией конечных и бесконечных периодических дробей, алгоритмами перевода в обе стороны и подробным разбором примеров из контрольных работ и ВПР.

Тема «Десятичное разложение рациональных чисел» раскрывает ключевое математическое свойство всех рациональных чисел. В 7 классе эта тема связывает обыкновенные и десятичные дроби в единую систему и закладывает основу для понимания действительных и иррациональных чисел.

Главное свойство рациональных чисел

Любое рациональное число по определению можно записать в виде обыкновенной несократимой дроби $\dfrac{m}{n}$ , где $m \in \mathbb{Z}$ (числитель $m$ — целое число) и $n \in \mathbb{N}$ (знаменатель $n$ — натуральное число, то есть $n > 0$ ), причём числа $m$ и $n$ являются взаимно простыми ( $\text{НОД}(|m|; n) = 1$ ). Если поделить числитель на знаменатель «уголком», мы получим десятичное разложение этого числа.

Формы десятичного разложения рациональных чисел

Основная теорема о десятичном разложении 🎯

Каждое рациональное число раскладывается либо в конечную десятичную дробь, либо в бесконечную периодическую десятичную дробь.

• Конечная десятичная дробь: получается тогда, когда в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители содержатся только числа $2$ и $5$ (например: $\frac{3}{8} = 0{,}375$ ). Любую конечную дробь можно считать периодической с нулём в периоде: $0{,}375 = 0{,}375000\dots = 0{,}375(0)$ .

• Бесконечная периодическая десятичная дробь: получается тогда, когда знаменатель несократимой дроби содержит хотя бы один простой множитель, отличный от $2$ и $5$ (например: $3, 7, 11$ ). Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в круглых скобках.

Чистые и смешанные периодические дроби

Бесконечные периодические десятичные дроби делятся на два вида:

1. Чистая периодическая дробь 🔄

Период начинается сразу после запятой.
Примеры:
• $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\dots = 0{(3)}$ (читается: «ноль целых и три в периоде»).
• $\dfrac{2}{11} = 0{,}181818\dots = 0{(18)}$ («ноль целых и восемнадцать в периоде»).

2. Смешанная периодическая дробь 🔀

Между запятой и первым периодом стоят одна или несколько неповторяющихся цифр (предпериод).
Примеры:
• $\dfrac{5}{6} = 0{,}8333\dots = 0{,}8(3)$ («ноль целых, восемь десятых и три в периоде»).

Почему при делении всегда возникает период? 💡

При делении числителя $m$ на знаменатель $n$ столбиком количество возможных различных остатков ограничено (все они строго меньше $n$ ). Если деление не закончилось нулем, то максимум через $n - 1$ шагов какой-то остаток неизбежно повторится. С этого момента заново начнут повторяться и цифры в частном — образуется период!

Алгоритм перевода периодической дроби в обыкновенную

Любую периодическую десятичную дробь можно перевести обратно в обыкновенную дробь. В 7 классе для этого используется удобное алгебраическое правило через уравнение.

Алгебраический способ перевода через уравнение

Чтобы перевести бесконечную периодическую дробь в обыкновенную, придерживайтесь пошагового алгоритма:

Порядок действий:

Обозначьте искомую дробь за переменную $x$ :
Например, пусть $x = 0{,}2(18) = 0{,}2181818\dots$

Умножьте $x$ на $10^k$ , чтобы сдвинуть запятую к началу периода:
Если до периода стоит $1$ цифра, умножаем на $10$ :
$10x = 2{,}181818\dots$

Умножьте $x$ на степень десятки, чтобы сдвинуть запятую на один полный период вправо:
Так как период состоит из $2$ цифр, умножаем первое выражение еще на $100$ (или исходный $x$ на $1000$ ):
$1000x = 218{,}181818\dots$

Вычтите первое уравнение из второго, чтобы взаимно уничтожить период:
$1000x - 10x = 218{,}181818\dots - 2{,}181818\dots$
$990x = 216 \implies x = \dfrac{216}{990} = \dfrac{12}{55}$ .

Разбор типовых задач из контрольных работ за 7 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по алгебре в 7 классе.

Пример 1: Разложение обыкновенной дроби в бесконечную периодическую

Задание: Разложите обыкновенную дробь $\dfrac{7}{11}$ в десятичную и укажите её период.

Подробное решение:

1) Поделим числитель $7$ на знаменатель $11$ уголком:
• $7 : 11 = 0$ (остаток $7$ ). Поставим запятую.
• $70 : 11 = 6$ (остаток $4$ ).
• $40 : 11 = 3$ (остаток $7$ ).
• $70 : 11 = 6$ (остаток $4$ ) и так далее.

2) Отрезок остатков $7 \to 4 \to 7 \to 4$ зациклился. В частном повторяется пара цифр $63$ .

3) Записываем десятичное разложение:
$\dfrac{7}{11} = 0{,}636363\dots = 0{(63)}$

Ответ: $0{(63)}$ ; период равен $63$ .

Пример 2: Перевод чистой периодической дроби 0,(45) в обыкновенную

Задание: Запишите периодическую десятичную дробь $0{(45)}$ в виде несократимой обыкновенной дроби.

Подробное решение:

1) Обозначим $x = 0{(45)} = 0{,}454545\dots$

2) Умножим обе части уравнения на $100$ (так как в периоде $2$ цифры):
$100x = 45{,}454545\dots$

3) Вычтем исходное уравнение из второго:
$100x - x = (45{,}454545\dots) - (0{,}454545\dots)$
$99x = 45 \implies x = \dfrac{45}{99}$

4) Сократим полученную обыкновенную дробь на $9$ :
$x = \dfrac{45 : 9}{99 : 9} = \dfrac{5}{11}$

Ответ: $\dfrac{5}{11}$ .

Тренажёры по десятичному разложению на Экзамео

Закрепите правила десятичного разложения и перевода периодических дробей с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, карточки и проверочные тесты по теме «Десятичное разложение рациональных чисел» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по математике и алгебре (учебники Макарычева, Мордковича, Мерзляка, Никольского).

В базе платформы представлены сотни упражнений разного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями. Переходите к тренажёрам по алгебре на Экзамео, тренируйтесь в удобном темпе и уверенно сдавайте любые контрольные работы и экзамены!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы