Объём цилиндра 11 класс - теория, формулы и задачи с решениями

Задачи на объём цилиндра занимают центральное место в курсе стереометрии 11 класса и регулярно встречаются в материалах единого государственного экзамена: как в базовом ЕГЭ по математике, так и в первой части профильного ЕГЭ (блок заданий по геометрии). Цилиндрическая форма является наиболее распространённой среди тел вращения в инженерии и технике: цилиндрическую форму имеют резервуары нефтехранилищ, поршни двигателей, цистерны, трубы, бочки и медицинские сосуды.

Среди экзаменационных прототипов выделяются несколько устойчивых типов задач: нахождение объёма по известным радиусу и высоте, расчёт уровня жидкости при переливании из одного цилиндрического сосуда в другой, изменение объёма при пропорциональном масштабировании размеров, а также задачи на комбинацию объёмов цилиндра и вписанного в него конуса. Главное правило вычисления объёма прямого цилиндра строится на произведении площади круглого основания на высоту: $V = \pi R^2 h$ . Ниже систематизирована вся теория, представлены алгоритмы решений задач всех сложностей для подготовки к контрольным работам и ЕГЭ, разобран блок типичных ошибок и открыт доступ к онлайн-тренажёрам Экзамео с мгновенной проверкой ответов.

Формула объёма цилиндра и ключевые законы — 11 класс

Объём прямого кругового цилиндра равен произведению площади его основания на высоту:

V = S_{\text{осн}} \cdot h = \pi R^2 h

• Формула через диаметр основания ( $D = 2R$ ): так как $R = \dfrac{D}{2}$ , возведение в квадрат даёт знаменатель $4$ :

V = \pi \left(\dfrac{D}{2}\right)^2 h = \dfrac{\pi D^2 h}{4}

h_2 = h_1 \cdot \left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2 = \dfrac{h_1}{k^2}

• Связь с объёмом вписанного конуса: конус, имеющий общее основание и равную высоту с цилиндром, занимает ровно одну треть его объёма:

V_{\text{кон}} = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h = \dfrac{1}{3} V_{\text{цил}} \iff V_{\text{цил}} = 3 \cdot V_{\text{кон}}

• Квадратичная зависимость от радиуса: при увеличении радиуса цилиндра в $n$ раз его объём увеличивается в $n^2$ раз. При увеличении высоты в $m$ раз объём увеличивается лишь в $m$ раз.

Стереометрический вывод формулы объёма через принцип Кавальери

Формулу объёма цилиндра в стереометрии строго обосновывают двумя способами: через предел объёмов вписанных правильных призм либо на основе интегрального принципа Кавальери:

1. Расположим на одной горизонтальной плоскости прямой круговой цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $h$ , а рядом — прямую призму с той же высотой $h$ , площадь основания которой в точности равна площади круга ( $S_{\text{осн}} = \pi R^2$ ).

2. Проведём произвольную секущую плоскость, параллельную плоскости оснований, на некоторой высоте $z$ ( $0 \le z \le h$ ).

3. В сечении цилиндра образуется круг радиуса $R$ с постоянной площадью $S_1 = \pi R^2$ . В сечении призмы образуется многоугольник, равный её основанию, с площадью $S_2 = S_{\text{осн}} = \pi R^2$ .

4. Так как площади поперечных сечений обоих тел равны на любой высоте ( $S_1(z) = S_2(z)$ ), по принципу Кавальери объёмы этих пространственных тел равны.

5. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: $V_{\text{пр}} = S_{\text{осн}} \cdot h$ . Следовательно, объём цилиндра равен:

V = S_{\text{осн}} \cdot h = \pi R^2 h

Формулы и соотношения для задач на объём цилиндра

Задачи с использованием объёма цилиндра очень часто встречаются не только в 11 классе, но и на ЕГЭ по математике как профильного, так и базового уровня и для них нужно вспомнить несколько ключевых моментов.

Закон переливания жидкости

Если жидкость переливают из сосуда с радиусом $R_1$ в сосуд с радиусом $R_2 = k \cdot R_1$ , то уровень жидкости $h_2$ изменяется обратно пропорционально квадрату изменения радиуса или диаметра поскольку $V=\text{const}$ :

h_2 = h_1 \cdot \left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2 = \dfrac{h_1}{k^2}

Связь с объёмом вписанного конуса

Конус, имеющий общее основание и равную высоту с цилиндром, занимает ровно одну треть его объёма:

V_{\text{кон}}=\dfrac{1}{3}\pi R^2h=\dfrac{1}{3}V_{\text{цил}}\iff V_{\text{цил}}=3\cdot V_{\text{кон}}

Квадратичная зависимость от радиуса

При увеличении радиуса цилиндра в $n$ раз его объём увеличивается в $n^2$ раз. При увеличении высоты в $m$ раз объём увеличивается лишь в $m$ раз.

Для быстрого выбора нужного соотношения в заданиях первой части ЕГЭ и на контрольных работах используйте сводную таблицу:

Тип задачи

Рабочая формула

Выражение высоты / радиуса

Характерная особенность

Стандартный расчёт

$V = \pi R^2 h = \dfrac{\pi D^2 h}{4}$

$h = \dfrac{V}{\pi R^2},\quad R = \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}$

В ответах ЕГЭ часто просят указать величину $\dfrac{V}{\pi}$ .

Переливание жидкостей

$\pi R_1^2 h_1 = \pi R_2^2 h_2$

$h_2 = h_1 \cdot \left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^2$

Число $\pi$ полностью сокращается; расчёт ведётся через отношение диаметров.

Цилиндр и вписанный конус

$V_{\text{ост}} = V_{\text{цил}} - V_{\text{кон}} = \dfrac{2}{3} V_{\text{цил}}$

$V_{\text{цил}} = 3 \cdot V_{\text{кон}}$

Объём конуса всегда составляет ровно треть от объёма объемлющего цилиндра.

Равносторонний цилиндр

$V = 2\pi R^3$

$h = 2R \implies R = \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi}}$

Осевое сечение — квадрат со стороной $2R$ .

Где встречаются задачи на объём цилиндра в экзаменах

Задачи на вычисление объёма цилиндра входят в экзаменационные работы базового и профильного уровней:

ЕГЭ Базового уровня

Задания на прямое вычисление объёма по известным радиусу основания и высоте в 1 действие, нахождение массы жидкости по плотности ( $m = \rho V$ ) и чтение графиков уровней наполнения.

ЕГЭ Профильного уровня (задание 1)

Классические прототипы на переливание жидкостей между сосудами, задачи на погружение деталей (изменение объёма по вытесненному уровню $\Delta V = \pi R^2 \Delta h$ ) и комбинации цилиндра с конусом или шаром.

Контрольные работы 11 класса

Тематические контрольные по разделу «Тела вращения» (учебник Атанасяна): вычисление объёма по диагонали осевого сечения, длине развёртки боковой поверхности и вписанным правильным призмам.

Задание 14 Профильного ЕГЭ (часть 2)

Сложные стереометрические задачи на построение сечений цилиндрических поверхностей плоскостью, нахождение объёмов отсечённых частей цилиндра и координатно-векторный метод.

Задачи на объём цилиндра с пошаговыми решениями

Ниже приведены подробные решения пяти типовых задач, охватывающих базу заданий ЕГЭ (База и Профиль) из открытого банка ФИПИ и контрольных работ 11 класса.

Задание 1: Нахождение объёма цилиндра по радиусу и высоте (прототип ЕГЭ)

Условие: Радиус основания цилиндра равен $4$ , а его образующая равна $7$ . Найдите объём цилиндра. В ответе укажите $\dfrac{V}{\pi}$ .

Пошаговое решение:

1) Для прямого кругового цилиндра образующая равна его высоте:

h = l = 7

2) Вычислим площадь основания цилиндра:

S_{\text{осн}} = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi

3) Вычислим объём цилиндра по формуле $V = S_{\text{осн}} \cdot h$ :

V = 16\pi \cdot 7 = 112\pi

4) Разделим полученный объём на $\pi$ по требованию условия задачи:

\dfrac{V}{\pi} = \dfrac{112\pi}{\pi} = 112

Ответ: $112$ .

Задание 2: Переливание жидкости из широкого цилиндрического сосуда в узкий (прототип ЕГЭ Профиль)

Условие: В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает $18\text{ см}$ . Эту жидкость перелили в другой цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в $3$ раза меньше диаметра первого. На какой высоте (в сантиметрах) будет находиться уровень жидкости во втором сосуде?

Пошаговое решение:

1) Запишем объём жидкости в первом сосуде:

V_1 = \pi R_1^2 \cdot h_1

где $h_1 = 18\text{ см}$ .

2) Выразим радиус второго сосуда:
Так как диаметр уменьшился в $3$ раза, радиус второго сосуда также в $3$ раза меньше радиуса первого:

R_2 = \dfrac{R_1}{3}

3) Запишем объём той же самой жидкости во втором сосуде:

V_2 = \pi R_2^2 \cdot h_2 = \pi \left(\dfrac{R_1}{3}\right)^2 \cdot h_2 = \pi \cdot \dfrac{R_1^2}{9} \cdot h_2

4) Приравняем объёмы ( $V_1 = V_2$ ), так как количество жидкости не изменилось:

\pi R_1^2 \cdot 18 = \pi \cdot \dfrac{R_1^2}{9} \cdot h_2

5) Сократим обе части уравнения на $\pi R_1^2$ :

18 = \dfrac{h_2}{9} \implies h_2 = 18 \cdot 9 = 162\text{ см}

Уровень жидкости возрастёт в $3^2 = 9$ раз.

Ответ: $162$ .

Задание 3: Пропорциональное изменение радиуса и высоты цилиндра

Условие: Во сколько раз увеличится объём цилиндра, если радиус его основания увеличить в $4$ раза, а высоту уменьшить в $2$ раза?

Пошаговое решение:

1) Запишем формулу первоначального объёма цилиндра:

V_1 = \pi R^2 h

2) Запишем параметры нового цилиндра после изменения размеров:
• Новый радиус: $R_{\text{нов}} = 4R$
• Новая высота: $h_{\text{нов}} = \dfrac{h}{2} = 0{,}5h$

3) Вычислим новый объём цилиндра:

V_2 = \pi (R_{\text{нов}})^2 \cdot h_{\text{нов}} = \pi (4R)^2 \cdot \dfrac{h}{2} = \pi \cdot 16R^2 \cdot \dfrac{h}{2} = 8 \pi R^2 h

4) Найдём отношение нового объёма к исходному:

\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{8 \pi R^2 h}{\pi R^2 h} = 8

Объём цилиндра увеличится ровно в $8$ раз.

Ответ: в $8$ раз.

Задание 4: Задачи на объём цилиндра и конуса с общим основанием (ЕГЭ База и Профиль)

Условие: В цилиндр вписан конус. Основание конуса совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина конуса лежит в центре другого основания. Объём конуса равен $24$ . Найдите объём цилиндра и объём оставшейся части цилиндра вне конуса.

Пошаговое решение:

1) Конус и цилиндр имеют общее круглое основание радиуса $R$ и равную высоту $h$ .

2) Запишем формулы объёмов:

V_{\text{кон}} = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h

V_{\text{цил}} = \pi R^2 h

3) Выразим объём цилиндра через объём вписанного конуса:

V_{\text{цил}} = 3 \cdot V_{\text{кон}} = 3 \cdot 24 = 72

4) Вычислим объём оставшейся части цилиндра вне конуса:

V_{\text{ост}} = V_{\text{цил}} - V_{\text{кон}} = 72 - 24 = 48

(Или через дробь: $V_{\text{ост}} = \dfrac{2}{3} V_{\text{цил}} = \dfrac{2}{3} \cdot 72 = 48$ ).

Ответ: объём цилиндра равен $72$ , объём оставшейся части равен $48$ .

Задание 5: Вычисление объёма по площади осевого сечения и длине окружности

Условие: Длина окружности основания цилиндра равна $10\pi$ , а площадь его осевого сечения равна $60$ . Найдите объём цилиндра. В ответе запишите $\dfrac{V}{\pi}$ .

Пошаговое решение:

1) Найдём радиус и диаметр основания через длину окружности:
Длина окружности равна $C = 2\pi R = 10\pi$ .

2\pi R = 10\pi \implies R = 5,\quad D = 2R = 10

2) Найдём высоту цилиндра через площадь осевого сечения:
Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $D = 2R$ и $h$ .

S_{\text{сеч}} = D \cdot h = 10 \cdot h = 60 \implies h = \dfrac{60}{10} = 6

3) Вычислим объём цилиндра:

V = \pi R^2 h = \pi \cdot 5^2 \cdot 6 = \pi \cdot 25 \cdot 6 = 150\pi

4) Разделим результат на $\pi$ :

\dfrac{V}{\pi} = \dfrac{150\pi}{\pi} = 150

Ответ: $150$ .

Типичные ошибки в задачах на объём цилиндра

При решении стереометрических задач на цилиндр на экзаменах чаще всего теряют баллы на следующих четырёх моментах:

Линейный расчёт при переливании жидкости

Если диаметр второго сосуда меньше в 3 раза, уровень ошибочно умножают на 3 вместо 9.

Площадь основания зависит от квадрата радиуса ( $R^2$ ), поэтому высота уровня жидкости изменяется в $k^2 = 3^2 = 9$ раз!

Подстановка диаметра вместо радиуса

Зная, что диаметр равен 8, подставляют его в формулу $V = \pi \cdot 8^2 \cdot h$ .

Это завышает истинный объём ровно в 4 раза. Диаметр необходимо предварительно разделить на два: $R = 4$ , либо делить формулу на 4: $\dfrac{\pi D^2 h}{4}$ .

Путаница объёма и боковой поверхности

Путают формулу объёма $V = \pi R^2 h$ с площадью боковой поверхности $S_{\text{бок}} = 2\pi R h$ .

Объём измеряется в кубических единицах ( $\text{см}^3$ ), поэтому радиус обязательно возводится во вторую степень ( $R^2$ ).

Задания на объём цилиндра для 11 класса и ЕГЭ

Интерактивные онлайн-тренажёры Экзамео содержат полный банк прототипов заданий на объём цилиндра из открытого банка ФИПИ для базового и профильного ЕГЭ по математике, а также самостоятельных работ 11 класса. Решайте задачи на переливание жидкостей, комбинации цилиндра и конуса, проверяйте ответы, разбирайте пошаговые решения, чтобы полноценно освоить тему

Задача 1

Объём детали при погружении в цилиндрический бак по площади основания

Темы1

Курсы1

Практико-ориентированная стереометрическая задача на закон Архимеда (определение объёма тела произвольной формы по объёму вытесненного им слоя жидкости в цилиндрическом сосуде).Вариант 1

В сосуд цилиндрической формы, площадь основания которого равна 120 квадратным сантиметрам, налита вода. После того как в эту воду полностью погрузили металлическую деталь объёмом 1440 кубических сантиметров, уровень жидкости в сосуде поднялся. На сколько сантиметров поднялся уровень жидкости? Ответ дайте в сантиметрах.

Цилиндр задача с деталью

Ваш ответ

Задача 2

Отношение объёмов двух цилиндрических кружек

Темы2

Курсы1

Стереометрическая текстовая задача на нахождение отношения объёмов двух цилиндрических сосудов (кружек, кастрюль, банок), у которых заданы кратные соотношения высот и диаметров/радиусов оснований.Вариант 1

Даны две кастрюли цилиндрической формы. Первая кастрюл в 4,5 раза ниже второй, а вторая в три раза ýже первой. Во сколько раз объём первой кастрюли больше объёма второй?

Две кружки задача база

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Формула объёма цилиндра и ключевые законы — 11 класс

Формулы и соотношения для задач на объём цилиндра

Где встречаются задачи на объём цилиндра в экзаменах

Задачи на объём цилиндра с пошаговыми решениями

Типичные ошибки в задачах на объём цилиндра

Задания на объём цилиндра для 11 класса и ЕГЭ

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой