Площадь поверхности цилиндра: задачи с решениями, формулы и тренажёр 11 класс

Задачи на нахождение площади поверхности цилиндра составляют основу блока тел вращения в школьном курсе стереометрии 11 класса и регулярно встречаются в первой и второй частях базового и профильного ЕГЭ по математике. В отличие от многогранников, где поверхность собирается из отдельных плоских многоугольников, боковая грань цилиндра представляет собой единую гладкую криволинейную поверхность. Чтобы находить её площадь, геометры мысленно разворачивают цилиндр на плоскость, превращая пространственную задачу в элементарную планиметрическую.

На этой странице представлен исчерпывающий задачный практикум: вывод формул боковой и полной поверхности через развёртку, связь элементов цилиндра с его осевым сечением, пошаговый разбор ключевых прототипов экзаменационных задач (включая изменение радиуса и высоты, расчёт расхода краски, вписанные и описанные призмы) и переход к интерактивным онлайн-тренажёрам Экзамео с моментальной автоматической проверкой ответов.

Формулы площадей цилиндра

Прямой круговой цилиндр: тело вращения, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Поверхность цилиндра складывается из двух равных кругов (оснований) и боковой поверхности.

• Развёртка боковой поверхности: если разрезать боковую поверхность прямого цилиндра по образующей $h$ и развернуть на плоскость, получится прямоугольник. Длина одной стороны прямоугольника равна высоте цилиндра $h$ , а длина смежной стороны в точности равна длине окружности основания $C = 2\pi R$ .

• Площадь боковой поверхности ( $S_{\text{бок}}$ ):

S_{\text{бок}} = 2\pi R h

• Площадь двух оснований ( $2S_{\text{осн}}$ ): основания представляют собой круги радиуса $R$ , их суммарная площадь равна:

2S_{\text{осн}} = 2\pi R^2

• Площадь полной поверхности ( $S_{\text{полн}}$ ): сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований:

S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = 2\pi R h + 2\pi R^2 = 2\pi R(h + R)

• Осевое сечение: прямоугольник, проходящий через ось цилиндра, со сторонами $2R$ и $h$ . Его площадь равна $S_{\text{сеч}} = 2R \cdot h$ . Обратите внимание: площадь боковой поверхности связана с осевым сечением фундаментальным соотношением:

S_{\text{бок}} = \pi \cdot S_{\text{сеч}}

Решение задач на площадь поверхности цилиндра

Ниже разобраны основные типы задач, встречающиеся в контрольных работах 11 класса и открытом банке экзаменационных заданий ФИПИ. Отработать их решение вы сможете ниже в тренажёрах.

1. Базовые задачи на вычисление площади боковой и полной поверхности

Задание (прототип ЕГЭ): Радиус основания цилиндра равен $4$ , а его высота равна $7$ . Найдите площадь полной поверхности цилиндра. В ответе запишите величину $\dfrac{S_{\text{полн}}}{\pi}$ .

Пошаговое решение:

1) Выпишем исходные данные задачи: радиус $R = 4$ , высота $h = 7$ .

2) Найдём площадь боковой поверхности цилиндра:

S_{\text{бок}} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 4 \cdot 7 = 56\pi

3) Найдём суммарную площадь двух оснований цилиндра:

2S_{\text{осн}} = 2\pi R^2 = 2\pi \cdot 4^2 = 2\pi \cdot 16 = 32\pi

4) Сложим полученные величины для нахождения площади полной поверхности:

S_{\text{полн}} = 56\pi + 32\pi = 88\pi

5) В бланках ответов ЕГЭ требуется записать величину, делённую на $\pi$ :

\dfrac{S_{\text{полн}}}{\pi} = \dfrac{88\pi}{\pi} = 88

Ответ: 88.

2. Задачи на пропорциональное изменение размеров (во сколько раз изменится площадь)

Задание: Радиус основания первого цилиндра в $3$ раза больше радиуса второго, а высота первого цилиндра в $2$ раза меньше высоты второго. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго?

Пошаговое решение:

1) Пусть радиус и высота второго цилиндра равны $R_2$ и $h_2$ . Тогда площадь его боковой поверхности выражается формулой:

S_{\text{бок2}} = 2\pi R_2 h_2

2) Запишем параметры первого цилиндра через параметры второго:
• $R_1 = 3R_2$
• $h_1 = \dfrac{h_2}{2} = 0{,}5h_2$

3) Подставим эти значения в формулу площади боковой поверхности первого цилиндра:

S_{\text{бок1}} = 2\pi R_1 h_1 = 2\pi (3R_2) \left(\dfrac{h_2}{2}\right) = \dfrac{3}{2} \cdot (2\pi R_2 h_2) = 1{,}5 \cdot S_{\text{бок2}}

4) Найдём отношение площадей боковых поверхностей:

\dfrac{S_{\text{бок1}}}{S_{\text{бок2}}} = 1{,}5

Ответ: в 1,5 раза.

3. Задачи через осевое сечение и углы наклона диагонали

Задание: Диагональ осевого сечения цилиндра равна $10$ и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$ . Найдите площадь боковой поверхности этого цилиндра. В ответе укажите $\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi}$ .

Пошаговое решение:

1) Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $d = 2R$ (диаметр основания) и $h$ (высота цилиндра).

2) Так как угол между диагональю сечения и основанием равен $45^\circ$ , прямоугольный треугольник, образованный диаметром, высотой и диагональю, является равнобедренным:

h = 2R

3) По теореме Пифагора для диагонали осевого сечения $D_{\text{сеч}} = 10$ :

(2R)^2 + h^2 = 10^2 \implies h^2 + h^2 = 100 \implies 2h^2 = 100 \implies h^2 = 50

4) Заметим, что площадь осевого сечения равна:

S_{\text{сеч}} = 2R \cdot h = h \cdot h = h^2 = 50

5) Используем прямую связь площади боковой поверхности и осевого сечения ( $S_{\text{бок}} = \pi \cdot 2Rh$ ):

S_{\text{бок}} = \pi \cdot h^2 = 50\pi

6) Делим результат на $\pi$ :

\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi} = 50

Ответ: 50.

4. Комбинация тел: призма и цилиндр (задачи профильного ЕГЭ)

Задание (задание 2/3 профильного ЕГЭ): В правильную четырёхугольную призму вписан цилиндр. Площадь боковой поверхности призмы равна $40$ . Найдите площадь боковой поверхности вписанного цилиндра. В ответе запишите $\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi}$ .

Пошаговое решение:

1) Пусть сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна $a$ , а её высота равна $h$ .

2) Площадь боковой поверхности призмы состоит из $4$ равных прямоугольных граней со сторонами $a$ и $h$ :

S_{\text{бок.призмы}} = 4ah = 40 \implies ah = 10

3) Цилиндр вписан в призму: круг его основания вписан в квадрат со стороной $a$ . Следовательно, диаметр цилиндра равен стороне квадрата:

2R = a \implies R = \dfrac{a}{2}

4) Высота цилиндра равна высоте призмы $h$ . Запишем формулу площади боковой поверхности цилиндра:

S_{\text{бок.цил}} = 2\pi R h = 2\pi \left(\dfrac{a}{2}\right) h = \pi \cdot ah

5) Подставим ранее найденное значение произведения $ah = 10$ :

S_{\text{бок.цил}} = 10\pi

6) Делим на $\pi$ :

\dfrac{S_{\text{бок.цил}}}{\pi} = 10

Ответ: 10.

Типичные ошибки школьников при вычислении площади цилиндра

Анализ экзаменационных работ показывает, что большинство ошибок возникает не из-за незнания геометрии, а по невнимательности к деталям условия:

Учёт только одного основания вместо двух

В вопросе о полной поверхности цилиндра находят $S_{\text{бок}} + \pi R^2$ , забывая второе круглое основание. Формула полной поверхности закрытого цилиндра строго содержит два основания: $S_{\text{полн}} = 2\pi Rh + 2\pi R^2$ . Одно основание учитывается только в открытых резервуарах (стакан, бак без крышки).

Подстановка диаметра вместо радиуса

Если в тексте дан диаметр трубы или банки (например, $12\text{ см}$ ), его ошибочно подставляют вместо радиуса в формулу оснований $2\pi R^2$ . Это завышает площадь оснований ровно в 4 раза. Обязательно делите диаметр пополам перед вычислениями ( $R = 6\text{ см}$ ).

Путаница между площадью поверхности и объёмом

В формулу боковой поверхности ошибочно подставляют площадь круга, вычисляя $\pi R^2 h$ (объём цилиндра). Помните о размерности: площадь боковой поверхности — это периметр круга на высоту ( $2\pi R \cdot h$ ), а объём — площадь круга на высоту ( $\pi R^2 \cdot h$ ).

Тренажёры по задачам на площадь поверхности цилиндра для 11 класса

В интерактивных онлайн-тренажёрах образовательной платформы Экзамео собрана полная база практических задач на площадь поверхности цилиндра: простые расчёты по радиусу и образующей, задачи на развёртку и диагональ осевого сечения, прикладные задачи на расход материалов и краски, а также комбинированные стереометрические конструкции из банка заданий ЕГЭ. Отрабатывайте решение задач онлайн, получайте мгновенный отклик системы и изучайте подробные пошаговые эталоны решений!

Задача 1

Цилиндр и конус с общим основанием: отношение площадей боковых поверхностей

Темы3

Курсы1

Стереометрическая задача первой части профильного ЕГЭ по математике: цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту, при этом высота равна радиусу основания (h = R). Дана площадь боковой поверхности цилиндраВариант 1

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $36\sqrt{2}$ . Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Площадь поверхности цилиндра в реальной жизни, производстве и строительстве

Цилиндрическая форма повсеместно встречается в инженерных сооружениях, коммуникациях и производстве тары, где точный расчёт площади поверхности определяет материальные затраты:

Теплоизоляция труб

При прокладке городских теплотрасс и магистральных газопроводов закупка защитного кожуха и минеральной ваты рассчитывается по площади боковой поверхности трубы $S_{\text{бок}} = 2\pi R h$ . Точный расчёт исключает закупку лишних километров изоляции.

Консервные банки и тара

На упаковочных заводах жесть расходуется на боковую стенку и два круглых донышка ( $S = 2\pi Rh + 2\pi R^2$ ). Инженеры подбирают пропорцию $h = 2R$ , которая минимизирует расход металла при заданном объёме продукта.

Малярные и фасадные сметы

Покраска круглых колонн зданий, водонапорных башен, зерновых элеваторов и заводских дымовых труб рассчитывается по площади их боковой поверхности. Зная норму расхода краски на квадратный метр, строители формируют точную смету.

Где ещё работает расчёт площади цилиндра вокруг нас?

1. Печать круговых этикеток: Самоклеящиеся этикетки на бутылки и жестяные банки имеют форму прямоугольника. Его длина в точности равна длине окружности цилиндра $2\pi R$ плюс несколько миллиметров нахлёста для клеевого шва.

2. Охлаждение двигателей: В цилиндрах мотоциклов и бензопил металлическая поверхность цилиндра увеличивается внешними рёбрами охлаждения. Чем больше суммарная площадь контакта с воздухом, тем быстрее отводится тепло от работающего поршня.

3. Текстильные и бумажные рулоны: На текстильных фабриках при намотке ткани на бобину каждый оборот цилиндрического вала наматывает отрезок полотна, равный длине окружности вала $2\pi R$ .