Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Тема «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями» в 5 классе — это базовый вычислительный навык работы с обыкновенными дробями. Научившись складывать и вычитать числители без изменения знаменателя, пятиклассники с лёгкостью переходят к смешанным числам, уравнениям и текстовым задачам на части.

На этой странице собраны краткие правила вычислений, опорные формулы, разбор частых ошибок и доступ к интерактивным онлайн-тренажёрам с моментальной проверкой ответов на платформе Экзамео.

Золотое правило одинаковых знаменателей

Главный принцип: Знаменатель дроби показывает, на сколько равных долей разделили целое, а числитель — сколько таких долей взяли. Если доли одинакового размера (знаменатели равны), мы складываем или вычитаем только их количество (числители), а сам знаменатель остаётся прежним!

Правила и формулы вычислений

Все действия с дробями с одинаковыми знаменателями выполняются по двум коротким алгоритмам:

Сложение

Сложить числители

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений:

\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}

Пример: $\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{2 + 3}{7} = \dfrac{5}{7}$ .

Вычитание

Вычесть числители

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений:

\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a - b}{c}

Пример: $\dfrac{8}{11} - \dfrac{3}{11} = \dfrac{8 - 3}{11} = \dfrac{5}{11}$ .

Заметка: что делать после получения ответа

• Сократите дробь, если это возможно: если числитель и знаменатель имеют общий делитель, разделите их на него (например: $\dfrac{2}{8} + \dfrac{4}{8} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$ ).

• Выделите целую часть: если в ответе получилась неправильная дробь, выделите целую часть (например: $\dfrac{5}{7} + \dfrac{4}{7} = \dfrac{9}{7} = 1\dfrac{2}{7}$ ). Если числитель равен знаменателю, запишите единицу: $\dfrac{5}{5} = 1$ .

Примеры решений: вычитание из единицы и сокращение ответа

Пример 1 (Вычитание из единицы): Вычислите $1 - \dfrac{4}{9}$ .

Представим единицу в виде дроби с нужным знаменателем: $1 = \dfrac{9}{9}$ .
Выполним вычитание:
$$1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{9}{9} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{9 - 4}{9} = \dfrac{5}{9}$$

Ответ: $\dfrac{5}{9}$ .

Пример 2 (Сложение с выделением целой части): Вычислите $\dfrac{7}{12} + \dfrac{8}{12}$ .

Сложим числители:
$$\dfrac{7}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{7 + 8}{12} = \dfrac{15}{12}$$

Сократим дробь на 3: $\dfrac{15 : 3}{12 : 3} = \dfrac{5}{4}$ .
Выделим целую часть: $\dfrac{5}{4} = 1\dfrac{1}{4}$ .

Ответ: $1\dfrac{1}{4}$ .

Частые ошибки при вычислениях

При решении примеров пятиклассники чаще всего допускают следующие три ошибки:

Сложение или вычитание знаменателей

Самая опасная ошибка — сложить знаменатели вместе: $\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{10}$ . Запомните: знаменатель остаётся неизменным, складываются исключительно числители: $\dfrac{3}{5}$ !

Забытое выделение целой части

Оставляют в ответе неправильную дробь вида $\dfrac{11}{7}$ или равенство числителя и знаменателя $\dfrac{8}{8}$ . Всегда упрощайте результат до конца: $\dfrac{11}{7} = 1\dfrac{4}{7}$ , а $\dfrac{8}{8} = 1$ .

Забытое сокращение дроби

Получив в ответе сократимую дробь $\dfrac{4}{10}$ , записывают её как окончательный результат. В математике ответ всегда должен быть несократимой дробью: $\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$ .

Тренажёры по сложению и вычитанию дробей на Экзамео

Переходите к интерактивным тренажёрам платформы Экзамео, чтобы довести сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями до автоматизма. В системе собраны практические блоки разного уровня сложности: от базовых примеров до выражений со скобками и текстовых задач. Решайте примеры онлайн, пользуйтесь автоматической проверкой и получайте уверенные пятёрки по математике!

Задача 1

Вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями

Темы2

Курсы2

Вариант 1

Найдите значение выражения:

\frac{18}{{13}} - \frac{6}{{13}}

Ответ запишите в виде обыкновенной дроби через слэш (например, $3/4$ ) или в виде целого числа.

Ваш ответ

Задача 2

Рациональные вычисления с дробями

Темы6

Курсы2

Задания 5 класса на вычисление значения выражений с обыкновенными дробями и смешанными числами наиболее удобным (рациональным) способом: вынесение за скобки общего дробного множителя a/b * (c/d ± e/d) или общего целого множителя k * (c/d ± e/d), где сложение или вычитание в скобках приводит к целому числу.Вариант 1

Вычислите наиболее удобным способом:

10 \cdot 5\frac{4}{9} - 10 \cdot 1\frac{4}{9}

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план