Функция y = k/x и её график 8 класс: гипербола, свойства, асимптоты и сдвиги

Тема «Функция y = k/x и её график» в 8 классе — важнейший раздел школьной алгебры, открывающий изучение дробно-рациональных выражений и криволинейных графиков с разрывами. В отличие от непрерывных прямых и парабол, график обратной пропорциональности состоит из двух раздельных ветвей. Глубокое понимание этой темы необходимо для успешного прохождения школьных контрольных работ, а также решения задания 22 во второй части ОГЭ по математике, где регулярно требуется строить кусочные функции с гиперболами и исследовать количество точек пересечения с горизонтальными прямыми.

На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме: определение обратной пропорциональности, геометрическая роль коэффициента k, понятие вертикальной и горизонтальной асимптот, формулы смещения графика вдоль осей и пошаговый алгоритм построения по точкам. После теоретического блока вы найдёте интерактивные онлайн-тренажёры с автоматической проверкой ответов на платформе Экзамео.

График обратной пропорциональности

Функцию вида

y = \dfrac{k}{x}

где $k$ — некоторое действительное число, $k \neq 0$ , называют обратной пропорциональностью. При этом число $k$ называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Графиком обратной пропорциональности является гипербола, состоящая из двух симметричных ветвей, расположенных в противоположных координатных четвертях.

Самый стандартный график гиперболы выглядит как на рисунке выше.

Свойства гиперболы

Функция $y = \dfrac{k}{x}$ обладает рядом важных математических свойств:

Область определения ( $D(y)$ ):

на ноль делить нельзя, поэтому переменная $x$ принимает любые действительные значения, кроме нуля: $x \neq 0$ (или $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ ). График никогда не пересекает вертикальную ось $Oy$ .

Область значений ( $E(y)$ ):

дробь с ненулевым числителем $k$ ни при каких $x$ не может равняться нулю: $y \neq 0$ (или $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ ). График никогда не пересекает горизонтальную ось $Ox$ .

Центральная симметрия (нечётность):

функция является нечётной, так как $y(-x) = \dfrac{k}{-x} = -\dfrac{k}{x} = -y(x)$ . Это означает, что график гиперболы симметричен относительно начала координат — точки $(0; 0)$ . Каждой точке $(x; y)$ на одной ветви строго соответствует парная точка $(-x; -y)$ на противоположной ветви.

Влияние коэффициента k

Случай k > 0

Первая и третья четверти

Расположение: ветви лежат в I и III координатных четвертях.

Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$ .

Важно: нельзя говорить, что функция убывает на всей области определения, так как при переходе через точку $x = 0$ значение перескакивает из отрицательной бесконечности в положительную.

Случай k < 0

Вторая и четвёртая четверти

Расположение: ветви лежат во II и IV координатных четвертях.

Монотонность: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и возрастает на промежутке $(0; +\infty)$ .

Модуль коэффициента: чем больше $|k|$ , тем дальше ветви гиперболы отодвинуты от начала координат $(0; 0)$ и осей.

Пример анализа: определение коэффициента k по точке на гиперболе

Задание: Ветвь гиперболы проходит через точку $A(-2; 6)$ . Найдите значение коэффициента $k$ , запишите формулу функции и определите, в каких четвертях расположен её график.

Пошаговый разбор:

1) Подставим координаты точки $x = -2$ и $y = 6$ в общее уравнение $y = \dfrac{k}{x}$ :

6 = \dfrac{k}{-2}

2) Выразим коэффициент $k$ :

k = 6 \cdot (-2) = -12

3) Формула функции имеет вид:

y = -\dfrac{12}{x}

4) Так как $k = -12 < 0$ , ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Ответ: $k = -12$ ; функция $y = -\dfrac{12}{x}$ ; ветви во II и IV четвертях.

Асимптоты гиперболы

Асимптота — это прямая линия, к которой бесконечно близко приближается ветвь графика функции при удалении в бесконечность, но никогда её не пересекает.

У стандартной гиперболы $y = \dfrac{k}{x}$ есть ровно две взаимно перпендикулярные асимптоты:

• Вертикальная асимптота (прямая $x = 0$ , ось $Oy$ ): когда аргумент $x$ стремится к нулю слева или справа, знаменатель становится бесконечно малым, а значения функции $y$ уходят на плюс или минус бесконечность. График вплотную «прижимается» к оси ординат.

• Горизонтальная асимптота (прямая $y = 0$ , ось $Ox$ ): когда аргумент $x$ неограниченно растёт по модулю ( $x \to \pm\infty$ ), дробь $\dfrac{k}{x}$ становится бесконечно малой и приближается к нулю. График вплотную «прижимается» к оси абсцисс.

Сдвиги графика гиперболы и смещение асимптот

В заданиях повышенной сложности 8 класса и в задании 22 ОГЭ изучается общий вид дробно-линейной функции:

y = \dfrac{k}{x - a} + b

Этот график получается из классической гиперболы $y = \dfrac{k}{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига), при котором вместе с графиком перемещаются и его асимптоты:

Сдвиг по горизонтали (вдоль оси Ox)

Задаётся вычитанием числа $a$ в знаменателе:

• При $y = \dfrac{k}{x - 3}$ график сдвигается вправо на 3 единицы. Новая вертикальная асимптота: $x = 3$ .

• При $y = \dfrac{k}{x + 2} = \dfrac{k}{x - (-2)}$ график сдвигается влево на 2 единицы. Новая вертикальная асимптота: $x = -2$ .

Сдвиг по вертикали (вдоль оси Oy)

Задаётся свободным слагаемым $b$ вне дроби:

• Прибавление $+ b$ сдвигает график вверх на $b$ единиц. Новая горизонтальная асимптота: $y = b$ .

• Вычитание $- b$ сдвигает график вниз на $b$ единиц. Новая горизонтальная асимптота: $y = -b$ .

Точка пересечения новых асимптот $(a; b)$ становится новым центром симметрии фигуры.

Пример из ОГЭ (задание 22): выделение целой части и построение сдвинутой гиперболы

Задание (прототип ОГЭ 22): Постройте график функции $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ . Определите уравнения его асимптот.

Пошаговый разбор:

1) Выделим целую часть в числителе, представив слагаемое $2x$ через выражение $(x - 1)$ :

2x + 1 = 2(x - 1) + 2 + 1 = 2(x - 1) + 3

2) Разделим числитель почленно на знаменатель:

y = \dfrac{2(x - 1) + 3}{x - 1} = \dfrac{2(x - 1)}{x - 1} + \dfrac{3}{x - 1} = 2 + \dfrac{3}{x - 1} = \dfrac{3}{x - 1} + 2

3) Анализируем полученный вид $y = \dfrac{3}{x - 1} + 2$ :

• Базовый график: гипербола $y = \dfrac{3}{x}$ ( $k = 3 > 0$ , ветви в I и III четвертях относительно асимптот).

• Сдвиг на 1 единицу вправо $\implies$ вертикальная асимптота: прямая $x = 1$ .

• Сдвиг на 2 единицы вверх $\implies$ горизонтальная асимптота: прямая $y = 2$ .

• Центр симметрии сместился в точку $(1; 2)$ .

Ответ: вертикальная асимптота $x = 1$ , горизонтальная асимптота $y = 2$ .

Как построить график гиперболы по точкам

Чтобы качественно построить гиперболу в тетради, следуйте алгоритму из четырёх последовательных шагов:

Определите четверти и нанесите асимптоты:
По знаку коэффициента $k$ выясните расположение ветвей (I и III четверти при $k > 0$ , II и IV при $k < 0$ ). Если функция смещена, проведите пунктиром прямые асимптот $x = a$ и $y = b$ .

Подберите делители числа k для таблицы:
В качестве значений $x$ выбирайте числа, на которые делитель $k$ делится без остатка (нацело). Рассчитайте значения $y$ отдельно для положительных $x$ (правая ветвь) и отрицательных $x$ (левая ветвь). Для каждой ветви нужно найти минимум 4–5 точек.

Нанесите точки на координатную плоскость:
Отметьте вычисленные точки на чертеже, соблюдая единичный отрезок.

Соедините точки плавными линиями:
Проведите две гладкие кривые. Ветви должны плавно приближаться к асимптотам, ни в коем случае не пересекая их и не отгибаясь в противоположную сторону.

Заметка: ветви гиперболы никогда не соединяются

• График гиперболы терпит разрыв в точке вертикальной асимптоты. Категорически запрещено соединять левую и правую ветви отрезком через ось ординат! Это две абсолютно изолированные друг от друга кривые линии.

Пример построения таблицы точек для функции y = 6/x

Для построения графика $y = \dfrac{6}{x}$ составим таблицу значений, выбрав все делители числа 6.

Их записываем в первую строчку рядом с обозначением X, затем подставляем их в функцию и рассчитываем значения для y

$-6$

$-3$

$-2$

$-1$

$1$

$2$

$3$

$-1$

$-2$

$-3$

$-6$

$6$

$3$

$2$

При нанесении точек видно, что точки левой ветви симметричны точкам правой ветви относительно центра $(0; 0)$ .

Ошибки при работе с гиперболой

При выполнении контрольных работ и экзаменационных заданий учащиеся чаще всего допускают следующие три ошибки:

Пересечение асимптот графиком

На чертеже доводят ветвь до оси координат и пересекают её. Ветви гиперболы лишь бесконечно приближаются к своим асимптотам, но никогда их не касаются и не пересекают!

Построение только одной ветви

Вычисляют значения только для положительных $x$ и строят одну дугу, забывая про отрицательную половину числовой оси. График гиперболы всегда состоит из двух ветвей.

Неверное направление горизонтального сдвига

В функции $y = \dfrac{k}{x + 4}$ сдвигают асимптоту вправо, видя знак «плюс». Выражение $x + 4 = x - (-4)$ означает сдвиг строго влево на 4 единицы (вертикальная асимптота $x = -4$ ).

Задания и тренажёр по гиперболе на Экзамео

В интерактивных тренажёрах образовательной платформы Экзамео собраны практические задания по теме «Функция y = k/x и график гиперболы» для 8 класса: нахождение коэффициента $k$ по точке, чтение свойств функции, сдвиги асимптот, а также задачи линии 22 ОГЭ по математике с подробными видеоразборами и моментальной автопроверкой ответов.

Задача 1

Графики и формулы базовых функций

Темы3

Курсы3

Вариант 1

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

ФОРМУЛЫ

y = x + 2

y = \frac{2}{x}

y = \frac{3}{2}\sqrt{x}

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ваш ответ

Задача 2

Графики функций на клетках

Темы3

Курсы3

Задание на сопоставление формул и графиков базовых математических функций из открытого банка ФИПИ ОГЭ по математике, изображённых на клетчатой сетке с единичными отрезками и засечками.Вариант 1

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

ФОРМУЛЫ

y = x + 2

y = \frac{2}{x}

y = \frac{3}{2}\sqrt{x}

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план