МатематикаЕГЭ по математике - профильный уровень

1 задание ЕГЭ по математике профиль - планиметрия

Разбор задания 1 профильного ЕГЭ по математике. Полный справочник по планиметрии: треугольники, четырёхугольники, окружности, ключевые формулы площадей, теоремы и свойства вписанных и описанных фигур, разбор всех прототипов и тренажёры на Экзамео.

Задание 1 профильного ЕГЭ по математике направлено на планиметрию и проверяет умение решать геометрические задачи на плоскости. Задание проверяет свойства треугольников (произвольных, прямоугольных, равнобедренных), параллелограммов, ромбов, трапеций, правильных многоугольников и окружностей, а также все ключевые формулы вычисления площадей и углов.

На этой странице собраны основные формулы и свойства планиметрии из кодификатора ФИПИ: от теоремы Пифагора и тригонометрии до свойств вписанных и описанных окружностей и теорем о касательных и секущих. Подробные разборы всех теорем можно найти на страницах посвященной каждой теме.

Отработать теорию по планиметрии можно после теории в тренажёрах 1 задания ЕГЭ по математике с подробными пошаговыми решениями и чертежами, они помогут вам решать геометрию на плоскости в первой части быстро и без ошибок.

Разбор теории и формул для 1 задания

Ниже разберем основную необходимую теорию по всем фигурам, задачи на которые встречаются в открытом банке заданий ФИПИ и были в вариантах экзамена в прошлые года

Треугольники: произвольные, прямоугольные и равнобедренные

Треугольники составляют более половины всех задач 1 задания. Разберем основные свойства и соотношения между элементами, которых будет достаточно для первой части ЕГЭ. Любая из формул может пригодиться при решении заданий

Прямоугольный треугольник

• Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$

• Тригонометрия: $\sin A = \dfrac{a}{c}$ , $\cos A = \dfrac{b}{c}$ , $\text{tg}\, A = \dfrac{a}{b}$

• Медиана к гипотенузе: равна половине гипотенузы ( $m_c = \dfrac{c}{2} = R$ )

• Высота к гипотенузе: $h_c = \sqrt{a_c \cdot b_c} = \dfrac{a \cdot b}{c}$

• Радиус вписанной окружности: $r = \dfrac{a + b - c}{2}$

Произвольный треугольник

• Теорема синусов: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

• Теорема косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

• Свойства линий:

– Биссектриса делит противолежащую сторону пропорционально прилежащим ( $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b}{c}$ )

– Средняя линия параллельна основанию и равна его половине ( $q = \frac{a}{2}$ )

Формулы площади треугольника

Для ЕГЭ нужно знать все формулы для площадей треугольника, собрали их все в таблицу, чтобы по ней можно было сделать шпаргалку.

Формула площади

Математическая запись

Когда применять

Через сторону и высоту

$S = \dfrac{1}{2} a h_a$

Известны сторона и проведённая к ней высота.

Через две стороны и угол

$S = \dfrac{1}{2} ab \sin C$

Известны две стороны и угол между ними.

Формула Герона

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

Известны все три стороны ( $p = \frac{a + b + c}{2}$ ).

Через полупериметр и $r$

$S = p \cdot r$

Универсальна для любого описанного многоугольника.

Правильный (равносторонний)

$S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}, \quad h = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$

Все стороны равны $a$ ( $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ , $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ ).

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Тригонометрия: $\sin \alpha = \dfrac{a}{c}$ , $\cos \alpha = \dfrac{b}{c}$ , $\text{tg}\, \alpha = \dfrac{a}{b}$

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Обозначение: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$

Что такое коэффициент подобия ?

Коэффициент подобия — это число, показывающее, во сколько раз стороны одного треугольника больше (или меньше) соответствующих сторон другого.

Вспомним три признака подобия треугольников:

Признак

Условие

Краткое название

Первый признак подобия треугольников

$\angle A = \angle A_1$ , $\angle B = \angle B_1$

По двум углам

Второй признак подобия треугольников

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ , $\angle A = \angle A_1$

По двум сторонам и углу

Третий признак подобия треугольников

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$

По трём сторонам

Четырёхугольники и многоугольники

Фигура

Ключевые свойства

Формулы площади

Параллелограмм

Противоположные стороны и углы равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам.

$S = a h_a$

$S = ab \sin \alpha$

$S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \phi$

Ромб

Все стороны равны; диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов.

$S = a h$

$S = a^2 \sin \alpha$

$S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2$

Трапеция

Основания параллельны. Средняя линия $m = \dfrac{a + b}{2}$ . В равнобедренной трапеции углы при основании и диагонали равны.

$S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h$

$S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \phi$

Окружность, круг и комбинации фигур

Углы и отрезки в окружности 🎯

• Центральный угол: равен градусной мере дуги, на которую опирается ( $\alpha = \cup AB$ ).

• Вписанный угол: равен половине дуги, на которую опирается ( $\beta = \dfrac{1}{2} \cup AB$ ). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой ( $90^\circ$ ).

• Касательная и радиус: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Отрезки касательных из одной точки равны.

• Пересекающиеся хорды: $AE \cdot EB = CE \cdot ED$ .

Вписанные и описанные четырёхугольники

Описанный четырёхугольник ⭕

Окружность вписана в четырёхугольник $\iff$ суммы противоположных сторон равны:

a + c = b + d

Вписанный четырёхугольник 🔵

Четырёхугольник вписан в окружность $\iff$ сумма противоположных углов равна $180^\circ$ :

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ

Лайфхак для Задания 1 ЕГЭ! 💡

1. Равнобедренная трапеция: Около трапеции можно описать окружность только если она равнобедренная.

2. Описанный параллелограмм: Если в параллелограмм вписана окружность, то это ромб (или квадрат). Если параллелограмм вписан в окружность, то это прямоугольник (или квадрат).

3. Площадь через медианы: Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади). Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Алгоритм решения первого задания:

Проанализируйте условие и сделайте чертёж: отметьте известные стороны, высоты и углы. Выделите искомый элемент.

Найдите ключевые связующие фигуры: выделите прямоугольные треугольники, равнобедренные элементы или вписанные углы.

Примените подходящую теорему или формулу: выберите кратчайшую формулу ( $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ , теорему Пифагора, $P = 2(a+b)$ ) и выпишите итоговое число в бланк.

Разбор некоторых прототипов

Рассмотрите решения характерных задач первой линии ЕГЭ по математике.

Пример 1: Прямоугольный треугольник и тригонометрия

Задание: В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$ , $BC = 12$ , $\cos A = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$ . Найдите гипотенузу $AB$ .

Подробное решение:

1) Свяжем $\sin A$ и $\cos A$ через основное тригонометрическое тождество:

\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \implies \sin A = \sqrt{1 - \left(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \dfrac{7}{16}} = \sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{3}{4}

2) По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

\sin A = \dfrac{BC}{AB} \implies \dfrac{3}{4} = \dfrac{12}{AB}

3) Выразим гипотенузу $AB$ :

AB = \dfrac{12 \cdot 4}{3} = 16

Ответ: $16$ .

Пример 2: Описанный четырёхугольник и радиус вписанной окружности

Задание: Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 7$ , $BC = 10$ , $CD = 14$ . Найдите четвёртую сторону $AD$ .

Подробное решение:

1) По свойству описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:

AB + CD = BC + AD

2) Подставим данные из условия задачи:

7 + 14 = 10 + AD \implies 21 = 10 + AD

3) Вычислим сторону $AD$ :

AD = 21 - 10 = 11

Ответ: $11$ .

Пример 3: Нахождение площади трапеции через высоту и основания

Задание: Основания равнобедренной трапеции равны $14$ и $26$ , а её боковая сторона равна $10$ . Найдите площадь трапеции.

Подробное решение:

1) Опустим две высоты $BH$ и $CK$ из вершин меньшего основания на большее $AD = 26$ .

2) Отрезок $HK = BC = 14$ . Так как трапеция равнобедренная, крайние отрезки равны:

AH = KD = \dfrac{AD - BC}{2} = \dfrac{26 - 14}{2} = 6

3) Из прямоугольного треугольника $ABH$ ( $AB = 10$ , $AH = 6$ ) найдем высоту $BH$ по теореме Пифагора:

BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8

4) Рассчитаем площадь трапеции:

S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = \dfrac{14 + 26}{2} \cdot 8 = 20 \cdot 8 = 160

Ответ: $160$ .

Тренажёры по 1 заданию ЕГЭ по математике

Довести до автоматизма решение Задания 1 профильного ЕГЭ по математике помогут интерактивные тренажёры на образовательной платформе «Экзамео». В нашем банке собраны все различные варианты актуальных прототипов задач ФИПИ на планиметрию: все виды треугольников, четырёхугольников, окружностей и вписанных фигур. Для каждого задания вы найдете подробные решения и проверку ответов.

Задача 1

Медиана, равная половине стороны

Темы2

Геометрическая задача ОГЭ (задание 15) на ключевой признак прямоугольного треугольника: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то угол, из которого она выходит, прямой.Вариант 1

В треугольнике $PQR$ проведена медиана $QH$ . Найдите градусную меру угла $\angle R$ , если $\angle P = 37^\circ$ и $QH = PH = HR$ .

Ваш ответ

Задача 2

Тригонометрические функции острого угла

Темы2

15 задание ОГЭ по математике из открытого банка заданий без рисунка. Решение расписали двумя способами - через прямоугольный треугольник и теорему Пифагора и через основное тригонометрическое тождество.Вариант 1

Синус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{3}{5}$ . Найдите $\cos A$ .

Ваш ответ

Второй признак подобия треугольниковЕсли две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.Открыть тему

Медиана треугольникаКороткая теория и структура темы для повторения.

Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведенияОсновные тригонометрические тождестваОткрыть тему

Определение подобных треугольниковКороткая теория и структура темы для повторения.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСвойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

Разбор теории и формул для 1 задания

Треугольники: произвольные, прямоугольные и равнобедренные

Формулы площади треугольника

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Подобие треугольников

Четырёхугольники и многоугольники

Окружность, круг и комбинации фигур

Вписанные и описанные четырёхугольники

Алгоритм решения первого задания:

Разбор некоторых прототипов

Тренажёры по 1 заданию ЕГЭ по математике

Темы, которые встречаются в этом задании