Призма 10 класс: свойства, сечения и задачи с решениями

Призма в курсе стереометрии 10 класса — один из фундаментальных пространственных многогранников, на свойствах которого строится большинство заданий самостоятельных и контрольных работ.

На этой странице систематизированы ключевые свойства всех видов призм, детально разобраны отличия призмы от пирамиды, приведён наглядный алгоритм решения задач, разобраны пять эталонных прототипов самостоятельных работ и задания в онлайн-тренажёрах Экзамео с автоматической проверкой ответов и подробными решениями.

Определение призмы

Призмой называется многогранник, две грани которого являются равными $n$ -угольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные $n$ граней — параллелограммами.

Классификация призм по ориентации боковых рёбер:

• Прямая призма: призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований ( $l \perp \alpha_{\text{осн}}$ ). Высота прямой призмы равна длине её бокового ребра ( $H = l$ ), а все боковые грани являются прямоугольниками.

• Правильная призма: прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник). Все боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

• Наклонная призма: призма, боковые рёбра которой наклонены к плоскости оснований под острым углом $\varphi < 90^\circ$ . Высота наклонной призмы всегда строго меньше её бокового ребра ( $H = l \cdot \sin\varphi < l$ ), а боковые грани являются произвольными параллелограммами.

• Общие свойства всех призм: основания равны и лежат в параллельных плоскостях; все боковые рёбра параллельны и равны между собой ( $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$ и $AA_1 = BB_1 = CC_1 = l$ ).

Перпендикулярное сечение наклонной призмы и формулы для вычислений

Главная трудность при расчёте наклонной призмы заключается в том, что стороны оснований не перпендикулярны боковым рёбрам, поэтому формула $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot H$ для неё неприменима. Для решения этой проблемы вводят перпендикулярное сечение:

1. Определение:

Перпендикулярным (нормальным) сечением призмы называется сечение плоскостью, которая пересекает все боковые рёбра призмы и перпендикулярна к ним.

2. Стороны сечения как высоты граней:

Стороны многоугольника перпендикулярного сечения являются высотами соответствующих параллелограммов боковых граней, опущенными на боковые рёбра.

3. Боковая поверхность наклонной призмы:

Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

S_{\text{бок}} = P_{\text{перп}} \cdot l

4. Объём наклонной призмы:

Объём можно вычислять двумя равнозначными способами — через основание и высоту или через перпендикулярное сечение и боковое ребро:

V = S_{\text{осн}} \cdot H = S_{\text{перп}} \cdot l

5. Связь высоты и ребра:

Если боковое ребро $l$ наклонено к плоскости основания под углом $\varphi$ , то высота $H$ находится из прямоугольного треугольника, образованного ребром, высотой и проекцией ребра на основание: $H = l \cdot \sin\varphi$ .

Наклонная призма с сечением перпендикулярным основанию

Сравнение прямой и наклонной призмы: формулы и свойства

Наклонная и прямая призма имеют достаточно большое количество различий. Собрали их все в сводную таблицу, чтобы вы не перепутали их на экзамене и воспользовались правильными формулами.

Элемент / Параметр

Прямая призма

Наклонная призма

Геометрическая суть различия

Боковое ребро и высота

$H = l$

$H = l \cdot \sin\varphi < l$

В прямой призме ребро перпендикулярно основанию; в наклонной образует наклонный угол $\varphi < 90^\circ$ .

Форма боковых граней

Прямоугольники

Параллелограммы

У прямой призмы углы граней равны $90^\circ$ ; у наклонной грани содержат острые и тупые углы.

Боковая поверхность ( $S_{\text{бок}}$ )

$S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot H$

$S_{\text{бок}} = P_{\text{перп}} \cdot l$

Для наклонной призмы периметр основания нельзя умножать на высоту — расчёт ведётся через перпендикулярное сечение.

Объём призмы ( $V$ )

$V = S_{\text{осн}} \cdot H$

$V = S_{\text{осн}} \cdot H = S_{\text{перп}} \cdot l$

Базовая формула $V = S_{\text{осн}} \cdot H$ едина для всех призм, но у наклонной объём равен также $S_{\text{перп}} \cdot l$ .

Полная поверхность ( $S_{\text{полн}}$ )

$S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}$

У любой призмы ровно два равных основания; боковая поверхность суммируется с удвоенной площадью основания.

Диагональные сечения

Прямоугольники

Параллелограммы

Сечение, проходящее через два не принадлежащих одной грани боковых ребра и диагонали оснований.

Где встречаются задачи на прямую и наклонную призму

Задания на свойства прямой и наклонной призмы встречаются как в экзаменах в 11 классе - как в ЕГЭ базового уровня, так и профильного.

Самостоятельные работы 10 класса

Тематические проверочные работы по учебнику Атанасяна: построение сечений призм плоскостями через заданные точки, нахождение площади перпендикулярного сечения наклонной призмы, расчёт объёмов треугольных и шестиугольных призм.

Задание 14 Профильного ЕГЭ (Часть 2)

Стереометрия с развёрнутым ответом (3 балла): построение сечений призм плоскостями, доказательство перпендикулярности плоскостей, расчёт углов между скрещивающимися прямыми и нахождение площади сечений.

Задание 3 Профильного ЕГЭ

Базовые задачи в 1–2 действия: нахождение объёма отсечённой треугольной призмы, расчёт уровня жидкости при переливании в сосуд другой формы и вычисление площади поверхности призм с вырезами.

Задание 13 Базового ЕГЭ

Практические расчётные задачи: вычисление вместимости баков призматической формы, объёма деталей и расхода отделочных материалов по площади поверхности призмы.

Алгоритм решения задач на прямую и наклонную призму

При решении стереометрических задач на призму важно последовательно разделить геометрический анализ на исследование основания и пространственную связь рёбер с высотой. Чертёж начинайте с нижнего основания по правилам параллельного проектирования, после чего проводите строго равные параллельные боковые рёбра (вертикальные — для прямой призмы, наклонные — для наклонной), отображая невидимые внутренние линии штриховым пунктиром.

Определите тип призмы и форму основания: выясните, является ли призма прямой или наклонной, и какой многоугольник лежит в основании (правильный треугольник, прямоугольный треугольник, ромб, трапеция или шестиугольник). Вычислите площадь основания $S_{\text{осн}}$ и его периметр $P_{\text{осн}}$ .

Установите связь бокового ребра с высотой:
• если призма прямая, высота равна боковому ребру ( $H = l$ );
• если призма наклонная, найдите высоту через угол наклона ребра к плоскости основания ( $H = l \cdot \sin\varphi$ ) либо найдите параметры перпендикулярного сечения ( $P_{\text{перп}}, S_{\text{перп}}$ ).

Постройте сечение с учётом параллельности граней: если строится сечение, помните: следы секущей плоскости на параллельных гранях (на основаниях или на противоположных гранях четырёхугольной призмы) строго параллельны между собой. Соединяйте отрезками только те точки, которые принадлежат одной грани.

Рассмотрите опорный прямоугольный треугольник: если в задаче дана пространственная диагональ призмы $d$ , найдите диагональ основания $d_{\text{осн}}$ и примените теорему Пифагора к диагональному сечению: $d = \sqrt{d_{\text{осн}}^2 + H^2}$ .

Вычислите итоговые числовые характеристики: подставьте найденные величины в формулу боковой поверхности ( $P_{\text{осн}} \cdot H$ для прямой или $P_{\text{перп}} \cdot l$ для наклонной), полной поверхности ( $S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}$ ) или объёма ( $V = S_{\text{осн}} \cdot H$ ).

Задачи на прямую и наклонную призму с пошаговыми решениями

Ниже приведены подробные решения пяти типовых задач самостоятельных работ 10 класса и заданий ЕГЭ, охватывающих прямые, правильные и наклонные призмы, чтобы вам было понятнее, как они используются в заданиях.

Площадь полной поверхности и объём прямой призмы с прямоугольным треугольником в основании

Условие: В основании прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит прямоугольный треугольник с катетами $6\text{ см}$ и $8\text{ см}$ . Боковое ребро призмы равно $10\text{ см}$ . Найдите площадь полной поверхности и объём призмы.

Пошаговое решение:

1) Найдём гипотенузу и периметр основания:
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника в основании:

c_{\text{гип}} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ см}

Периметр основания:

P_{\text{осн}} = 6 + 8 + 10 = 24\text{ см}

2) Вычислим площадь основания:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\text{ см}^2

3) Вычислим площадь боковой поверхности прямой призмы:
Так как призма прямая, её высота равна длине бокового ребра ( $H = 10\text{ см}$ ):

S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot H = 24 \cdot 10 = 240\text{ см}^2

4) Найдём площадь полной поверхности:

S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = 240 + 2 \cdot 24 = 240 + 48 = 288\text{ см}^2

5) Вычислим объём призмы:

V = S_{\text{осн}} \cdot H = 24 \cdot 10 = 240\text{ см}^3

Ответ: $S_{\text{полн}} = 288\text{ см}^2$ ; $V = 240\text{ см}^3$ .

Нахождение боковой поверхности и объёма наклонной призмы через перпендикулярное сечение

Условие: В наклонной треугольной призме боковое ребро равно $12\text{ см}$ . Перпендикулярным сечением призмы является прямоугольный треугольник с катетами $9\text{ см}$ и $12\text{ см}$ . Найдите площадь боковой поверхности и объём этой наклонной призмы.

Пошаговое решение:

1) Найдём гипотенузу и периметр перпендикулярного сечения:
Перпендикулярное сечение — прямоугольный треугольник с катетами $9\text{ см}$ и $12\text{ см}$ .
По теореме Пифагора найдём его гипотенузу:

c_{\text{перп}} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\text{ см}

Периметр перпендикулярного сечения:

P_{\text{перп}} = 9 + 12 + 15 = 36\text{ см}

2) Вычислим площадь боковой поверхности наклонной призмы:

S_{\text{бок}} = P_{\text{перп}} \cdot l = 36 \cdot 12 = 432\text{ см}^2

3) Вычислим площадь перпендикулярного сечения:

S_{\text{перп}} = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\text{ см}^2

4) Вычислим объём наклонной призмы через перпендикулярное сечение:

V = S_{\text{перп}} \cdot l = 54 \cdot 12 = 648\text{ см}^3

Ответ: $S_{\text{бок}} = 432\text{ см}^2$ ; $V = 648\text{ см}^3$ .

Нахождение большей диагонали правильной шестиугольной призмы

Условие: В правильной шестиугольной призме сторона основания равна $4$ , а боковое ребро равно $\sqrt{17}$ . Найдите длину большей диагонали этой призмы.

Пошаговое решение:

1) Геометрический анализ диагоналей шестиугольника:
В правильном шестиугольнике со стороной $a$ большая диагональ проходит через центр и равна удвоенной стороне: $d_{\text{бол}} = 2a$ .
При стороне основания $a = 4$ :

d_{\text{осн}} = 2 \cdot 4 = 8

2) Большее диагональное сечение правильной призмы является прямоугольником со сторонами $d_{\text{осн}} = 8$ и высотой $H = \sqrt{17}$ .

3) Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника диагонального сечения:

d = \sqrt{d_{\text{осн}}^2 + H^2} = \sqrt{8^2 + (\sqrt{17})^2} = \sqrt{64 + 17} = \sqrt{81} = 9

Ответ: $9$ .

Построение сечения треугольной призмы и вычисление его площади

Условие: В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ стороны основания равны $6$ , а боковое ребро равно $8$ . Через сторону основания $AB$ и точку $M$ — середину бокового ребра $CC_1$ — проведена секущая плоскость. Найдите площадь получившегося сечения.

Пошаговое решение:

1) Построим сечение:
• Точки $A$ и $B$ лежат в основании $(ABC)$ — соединяем их отрезком $AB = 6$ .
• Точки $A$ и $M$ лежат в грани $AA_1C_1C$ — соединяем их отрезком $AM$ .
• Точки $B$ и $M$ лежат в грани $BB_1C_1C$ — соединяем их отрезком $BM$ .
Сечением призмы является треугольник $\Delta ABM$ .

2) Найдём стороны треугольника сечения:
Ребро $CC_1 = 8$ , точка $M$ — середина, значит $CM = 4$ .
Боковые грани $AA_1C_1C$ и $BB_1C_1C$ — прямоугольники, поэтому треугольники $\Delta ACM$ и $\Delta BCM$ прямоугольные ( $\angle C = 90^\circ$ ):

AM = BM = \sqrt{AC^2 + CM^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}

Треугольник $\Delta ABM$ — равнобедренный с основанием $AB = 6$ .

3) Вычислим высоту и площадь сечения:
Проведём высоту $MK$ к основанию $AB$ . Точка $K$ делит сторону $AB$ пополам ( $AK = 3$ ).
Из прямоугольного треугольника $\Delta AKM$ :

MK = \sqrt{AM^2 - AK^2} = \sqrt{52 - 3^2} = \sqrt{52 - 9} = \sqrt{43}

Площадь сечения:

S_{\text{сеч}} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot MK = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{43} = 3\sqrt{43}

Ответ: $3\sqrt{43}$ .

Нахождение объёма наклонной призмы по углу наклона бокового ребра

Условие: В основании наклонной призмы лежит квадрат со стороной $4\text{ см}$ . Боковое ребро призмы равно $6\text{ см}$ и наклонено к плоскости основания под углом $30^\circ$ . Найдите объём этой призмы.

Пошаговое решение:

1) Вычислим площадь основания:
В основании лежит квадрат со стороной $a = 4\text{ см}$ :

S_{\text{осн}} = a^2 = 4^2 = 16\text{ см}^2

2) Найдём высоту наклонной призмы ( $H$ ):
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $l = 6\text{ см}$ , высотой $H$ и проекцией ребра на основание. Высота лежит напротив угла в $30^\circ$ :

H = l \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot \dfrac{1}{2} = 3\text{ см}

3) Вычислим объём наклонной призмы:

V = S_{\text{осн}} \cdot H = 16 \cdot 3 = 48\text{ см}^3

Ответ: $48\text{ см}^3$ .

Типичные ошибки в задачах на призму

При решении стереометрических задач на прямую и наклонную призмы десятиклассники чаще всего допускают следующие ошибки, посмотрите их и постарайтесь избежать при нарешивании тренажеров:

Подстановка бокового ребра вместо высоты

В наклонной призме вычисляют объём по формуле прямой призмы: $V = S_{\text{осн}} \cdot l$ .

В наклонной призме ребро длиннее высоты! Объём равен $V = S_{\text{осн}} \cdot H$ , где высоту находят через синус угла наклона: $H = l \cdot \sin\varphi$ .

Потеря второго основания в полной площади

Вычисляют полную поверхность призмы как $S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}$ , копируя формулу пирамиды.

У любой призмы два параллельных основания (верхнее и нижнее)! Правильная формула: $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}$ .

Непараллельные следы на параллельных гранях

При построении сечения призмы соединяют точки на параллельных гранях под произвольными углами.

Линии пересечения секущей плоскости с параллельными гранями (основаниями или стенками) всегда строго параллельны между собой.

Задания на тему «Призма» для 10 класса

Тренажёры по теме «Призма» содержат подборку практических заданий за 10 класс из самостоятельных и контрольных работ, школьных учебников по стереометрии и открытого банка задач ЕГЭ по математике профильного и базового уровней. Для каждого задания вы найдёте подробные решения, пошаговые подсказки и автоматическую проверку ответов

Задача 1

Число рёбер, граней и вершин составного многогранника

Темы4

Курсы2

Стереометрическая задача на подсчет геометрических элементов (ребер, граней, вершин) составного многогранника, полученного путем приклеивания правильной пирамиды к основанию правильной призмы.Вариант 1

К правильной четырёхугольной призме со стороной основания, равной 8, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания, равной 8, так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Ваш ответ

Задача 2

Грани, ребра и вершины составного многогранника (четырёхугольная призма и пирамида)

Темы2

Курсы2

Стереометрическая задача на подсчет геометрических элементов (ребер, граней, вершин) составного многогранника, полученного приклеиванием правильной четырехугольной пирамиды к основанию правильной четырехугольной призмы.Вариант 1

К правильной четырёхугольной призме со стороной основания, равной 9, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания, равной 9, так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Определение призмы

Сравнение прямой и наклонной призмы: формулы и свойства

Где встречаются задачи на прямую и наклонную призму

Алгоритм решения задач на прямую и наклонную призму

Задачи на прямую и наклонную призму с пошаговыми решениями

Типичные ошибки в задачах на призму

Задания на тему «Призма» для 10 класса

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой