Деление с остатком 5 класс: правила и задачи с решениями

В этом разделе подробно рассматривается тема «Деление с остатком» по математике за 5 класс. В начальной школе и в повседневной жизни одно натуральное число далеко не всегда делится на другое нацело. Когда поровну разделить предметы не удаётся, возникает деление числа с остатком.

На странице собрана вся необходимая теория по программе 5 класса: названия всех компонентов деления, главное свойство остатка, формула восстановления делимого, пошаговое деление столбиком с остатком, правила проверки вычислений, а также наглядные примеры деления с остатком за 5 класс с подробными ответами и текстовые сюжетные задачи.

Закрепить пройденный материал и потренироваться в счёте поможет интерактивный тренажёр по теме «Деление с остатком» для 5 класса с автоматической проверкой ответов.

Деление с остатком - все, что нужно знать для 5 класса

При обычном делении нацело результатом является частное. При делении с остатком результат состоит из двух чисел — неполного частного и остатка.

Компоненты деления с остатком 🎯

Пусть число $a$ разделили на число $b$ с остатком:

a : b = q \quad (\text{остаток } r)

• Делимое ( $a$ ) — число, которое делят.
• Делитель ( $b$ ) — число, на которое делят ( $b \neq 0$ ).
• Неполное частное ( $q$ ) — наибольшее количество раз, которое делитель целиком помещается в делимом.
• Остаток ( $r$ ) — часть делимого, которая осталась неразделённой.

ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО: Остаток всегда меньше делителя! ⚠️

При делении с остатком остаток строго меньше делителя:

0 \le r < b

• Если остаток $r = 0$ , то число разделилось нацело.

• Если в ходе вычислений остаток получился равным или большим делителя ( $r \ge b$ ), значит, неполное частное $q$ выбрано неправильно (делитель можно было взять ещё хотя бы один раз)!

Разберем деление с остатком на примере жизненной ситуации.

Представим, что у вас есть 14 яблок и 3 корзины под них, как можно разложить яблоки поровну?

14:3=4\left(\text{ост}.2\right)

Получается, что в каждой корзинке будет по 4 яблока и 2 яблока останутся вне корзин.

Формула деления с остатком и проверка

Чтобы проверить правильность выполнения действия или найти неизвестное делимое, используют базовую математическую формулу:

Формула деления с остатком 📐

Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на неполное частное и к полученному произведению прибавить остаток:

a = b \cdot q + r

где $0 \le r < b$ .

Алгоритм проверки правильности деления:

Сравнить остаток с делителем. Должно строго выполняться: $r < b$

Умножить делитель на неполное частное ( $b \cdot q$ ).

Прибавить остаток: $b \cdot q + r$ . Если результат равен делимому $a$ , деление выполнено абсолютно верно!

Как выполнять деление столбиком с остатком

При делении больших многозначных чисел используют запись столбиком (уголком). Порядок действий точно такой же, как при делении нацело, но последняя разность становится остатком:

Пошаговый алгоритм деления столбиком:

Выделите первое неполное делимое: отделите слева в делимом минимальное количество цифр, которые образуют число, большее или равное делителю.

Подберите цифру частного и найдите остаток разряда: определите, сколько раз делитель помещается в неполном делимом, умножьте и вычтите. Убедитесь, что промежуточный остаток меньше делителя.

Снесите следующую цифру: повторяйте шаги до тех пор, пока не закончатся цифры делимого.

Зафиксируйте итоговый остаток: число, оставшееся после сноса последней цифры, и есть остаток $r$ . Если снесённое число меньше делителя, не забудьте записать $0$ в частное!

Давайте попробуем разделить 594 на 7 в качестве примера и попробуем найти остаток

В данном примере число 6 будет являться остатком от деления, потому что дальше его разделить на 7 нельзя

Частая ошибка пятиклассников: ноль в частном! 💡

Если вы снесли следующую цифру делимого, но полученное число всё равно меньше делителя, обязательно запишите цифру $0$ в частное, и только после этого сносите следующую цифру!

Например: $815 : 4$ . Сносим $1$ — на $4$ не делится $\implies$ пишем $0$ в частное $\implies$ сносим $5$ : $15 : 4 = 3$ (ост. $3$ ). Частное: $203$ , а не $23$ !

Примеры деления с остатком за 5 класс с ответами

Ниже приведены решения типовых заданий школьной программы 5 класса по учебникам и с самостоятельных и контрольных работ.

Пример 1: Базовое деление числа с остатком и проверка

Задание: Выполните деление с остатком и сделайте проверку: $79 : 6$ .

Подробное решение:

1) Найдём наибольшее число до $79$ , которое делится на $6$ нацело. Это число $78$ ( $6 \cdot 13 = 78$ ).

2) Вычислим неполное частное и остаток:
$79 : 6 = 13$ (неполное частное)
Остаток: $79 - 78 = 1$

3) Проверка:
• Сравниваем остаток с делителем: $1 < 6$ (верно).
• Применяем формулу $a = b \cdot q + r$ :

6 \cdot 13 + 1 = 78 + 1 = 79

Получили исходное делимое $79$ .

Ответ: $13$ (остаток $1$ ).

Пример 2: Деление столбиком с нулём в частном

Задание: Выполните деление столбиком с остатком: $1627 : 8$ .

Подробное решение:

1) Первое неполное делимое — $16$ .
$16 : 8 = 2$ . Пишем $2$ в частное. Остаток $0$ .

2) Сносим цифру $2$ . Число $2$ меньше делителя $8$ , поэтому делить нельзя.
Записываем в частное цифру $0$ .

3) Сносим следующую цифру $7$ . Получаем число $27$ .
$27 : 8 = 3$ (так как $8 \cdot 3 = 24$ ). Пишем $3$ в частное.

4) Находим остаток: $27 - 24 = 3$ . Все цифры делимого снесены.
Остаток $3 < 8$ .

5) Проверка:

8 \cdot 203 + 3 = 1624 + 3 = 1627

Ответ: $203$ (остаток $3$ ).

Пример 3: Нахождение делимого по формуле

Задание: Найдите делимое, если делитель равен $14$ , неполное частное равно $9$ , а остаток равен $5$ .

Подробное решение:

1) Выпишем известные величины: $b = 14$ , $q = 9$ , $r = 5$ .

2) Проверим корректность остатка: $5 < 14$ (условие выполнено).

3) Применим формулу деления с остатком:

a = b \cdot q + r = 14 \cdot 9 + 5

4) Выполним действия:
$14 \cdot 9 = 126$
$126 + 5 = 131$

Ответ: $131$ .

Задачи на деление с остатком для 5 класса

В курсе математики в 5 классе так же проходятся сюжетные задачи на деление с остатком, всего они могут быть двух видов - с недостатком и избытком. В первом случае в ответ нужно будет писать частное, а во втором случае частное плюс 1.

Задачи на недостаток и избыток очень легко отличаются друг от друга, если вас спрашивают "какое наименьшее количество" и вы получили остаток, значит в ответе нужно увеличить частное на 1, а если наибольшее, то использовать полученное частное.

Тип задачи

Условие задачи

Решение и ответ

Задача 1
(с недостатком)

У Миши есть $250$ рублей. Одна тетрадь стоит $40$ рублей. Какое наибольшее количество таких тетрадей сможет купить Миша?

$250 : 40 = 6$ (ост. $10$ ).
На оставшиеся $10$ руб. тетрадь не купить.
Ответ: $6$ тетрадей (и останется $10$ руб. сдачи).

Задача 2
(с избытком)

В туристический поход идут $34$ школьника. В одну палатку помещается не более $4$ человек. Какое наименьшее количество палаток нужно взять с собой?

$34 : 4 = 8$ (ост. $2$ ).
В $8$ палатках разместятся $32$ человека, а $2$ останутся без ночлега. Нужна ещё одна палатка: $8 + 1 = 9$ .
Ответ: $9$ палаток.

Задания на деление с остатком для 5 класса

Ниже собраны тренажеры с заданиями по делению с остатком - задачи на остатки всех видов, с избытком и недостатком, а также простые тренажеры на отработку деления. Для каждого задания вы найдете подробные решения и автоматическую проверку ответов с подсказками.

Задача 1

Покупка наибольшего количества штучного товара

Темы3

Курсы4

Вариант 1

Булочка стоит 25 руб. Какое наибольшее количество таких булочек можно купить на 160 руб.?

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Покупка товаров по акции «2+1 в подарок»

Темы3

Курсы4

Один из прототипов заданий на покупку товаров по акции и деление с округлениемВариант 1

Баночка йогурта стоит 45 рублей. В четверг в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две баночек йогурта, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько баночек йогурта можно получить на 320 рублей в четверг?

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Деление с остатком - все, что нужно знать для 5 класса

Формула деления с остатком и проверка

Как выполнять деление столбиком с остатком

Примеры деления с остатком за 5 класс с ответами

Задачи на деление с остатком для 5 класса

Задания на деление с остатком для 5 класса

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой