Медианы, биссектрисы и высоты треугольника - полная теория и тренажёры

На этой странице представлен исчерпывающий теоретический справочник по теме «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника» по геометрии для 7 класса. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь семиклассникам четко разграничить понятия трёх главных отрезков треугольника, изучить их свойства, научиться строить высоты в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках, а также уверенно решать геометрические задачи из самостоятельных и контрольных работ.

Медианы, биссектрисы и высоты — это фундаментальные отрезки, определяющие форму и внутренние свойства любого треугольника. На их пересечении основаны важнейшие теоремы планиметрии, понятие центра тяжести, вписанной и описанной окружностей.

Теоретический справочник: три главных отрезка треугольника

Каждый треугольник имеет ровно три медианы, три биссектрисы и три высоты. Они соединяют вершины треугольника с его противоположными сторонами или их продолжениями.

---

Медиана треугольника

Определение медианы треугольника 🎯

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

• Отрезок $AM$ делит сторону $BC$ пополам: $BM = MC$ .

• Свойство пересечения: Все три медианы любого треугольника пересекаются в одной точке (называемой центроидом или центром тяжести треугольника) и всегда лежат строго внутри треугольника.

[ Место для иллюстрации: Треугольник с проведенными тремя медианами, пересекающимися в одной точке ]

Биссектриса треугольника

Определение биссектрисы треугольника 🎯

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

• Отрезок $AA_1$ делит угол при вершине $A$ пополам: $\angle BAA_1 = \angle A_1AC$ .

• Свойство пересечения: Все три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке (называемой инцентром — центром вписанной окружности) и всегда лежат строго внутри треугольника.

[ Место для иллюстрации: Треугольник с проведенными тремя биссектрисы, пересекающимися в одной точке ]

3. Высота треугольника

Определение высоты треугольника 🎯

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

• Отрезок $AH$ перпендикулярен стороне $BC$ : $AH \perp BC$ . Точка $H$ называется основанием высоты.

• Свойство пересечения: Прямые, содержащие высоты любого треугольника, пересекаются в одной точке (называемой ортоцентром).

Расположение ортоцентра в зависимости от типа треугольника:

Остроугольный 🔺

Все 3 высоты и их точка пересечения лежат внутри треугольника.

Прямоугольный 📐

Две высоты совпадают с катетами, а точка их пересечения находится в вершине прямого угла.

Тупоугольный 🔻

Две высоты опускаются на продолжения сторон за пределы треугольника, а точка пересечения прямых лежит снаружи.

[ Место для иллюстрации: Выход высот тупоугольного треугольника на продолжения сторон за пределы треугольника ]

Главная ловушка: выходы высот за пределы треугольника! ⚠️

Медианы и биссектрисы всегда расположены внутри любого треугольника.
А вот высоты тупоугольного треугольника, проведённые из острых углов, падают не на сами стороны, а на их продолжения вне треугольника! При черчении не пытайтесь «запихнуть» высоту тупоугольного треугольника внутрь.

4. Особенности в равнобедренном и равностороннем треугольниках

Форма треугольника накладывает особые свойства на эти линии:

• В равнобедренном треугольнике: медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, полностью совпадают.

• В равностороннем треугольнике: все три медианы, все три биссектрисы и все три высоты совпадают между собой, а центроид, инцентр и ортоцентр объединяются в одну единую точку!

Пошаговый алгоритм решения задач на медианы, биссектрисы и высоты

При решении задач с медианами, биссектрисами и высотами придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите тип проведённого отрезка:
- Если это медиана — отметьте равные отрезки на противоположной стороне ( $BM = MC$ ).
- Если это биссектриса — отметьте дугами равные углы при вершине ( $\angle 1 = \angle 2$ ).
- Если это высота — поставьте знак прямого угла ( $90^\circ$ ).

Проверьте, является ли треугольник равнобедренным: если проведен отрезок к основанию равнобедренного треугольника, используйте совпадение всех трех функций (он одновременно делит угол, сторону пополам и образует $90^\circ$ ).

Найдите получившиеся прямоугольные или равные треугольники: задействуйте теоремы о сумме углов или признаки равенства треугольников.

Разбор типовых задач из контрольных работ за 7 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии в 7 классе.

Пример 1: Задача на свойства медианы треугольника

Задание: В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$ . Найдите длину стороны $AC$ , если отрезок $AM = 8\text{ см}$ .

Подробное решение:

1) По определению медианы треугольника, отрезок $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой противоположной стороны $AC$ .

2) Следовательно, точка $M$ делит отрезок $AC$ на два равных отрезка: $AM = MC = 8\text{ см}$ .

3) Длина всей стороны $AC$ равна сумме этих отрезков:
$AC = AM + MC = 8 + 8 = 16\text{ см}$ .

Ответ: $16\text{ см}$ .

Пример 2: Задача на нахождение угла между высотой и биссектрисой

Задание: В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ угол при вершине $\angle B = 40^\circ$ . Проведены биссектриса $AD$ и высота $BH$ . Найдите углы треугольника $ABH$ .

[ Место для иллюстрации: Чертеж равнобедренного треугольника ABC с высотой BH к основанию AC ]

Подробное решение:

1) Так как $BH$ — высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, то $BH \perp AC$ . Следовательно, $\angle AHB = 90^\circ$ .

2) По свойству равнобедренного треугольника, высота $BH$ является также биссектрисой угла $\angle B$ :
$\angle ABH = \dfrac{1}{2}\angle B = \dfrac{40^\circ}{2} = 20^\circ$ .

3) Найдем угол $\angle BAH$ . По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании $AC$ равны:
$\angle A = \angle C = \dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \dfrac{140^\circ}{2} = 70^\circ$ .
Значит, $\angle BAH = 70^\circ$ .

Ответ: Углы треугольника $ABH$ равны $70^\circ$ , $20^\circ$ , $90^\circ$ .

Тренажёры по теме «Медианы, биссектрисы и высоты» на Экзамео

Закрепите определения и свойства медиан, биссектрис и высот на практике с помощью интерактивных онлайн-тренажёров образовательной платформы Экзамео. Все учебные задания, карточки на построение и проверочные тесты по теме «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника» за 7 класс составлены строго в соответствии с требованиями ФГОС и материалами школьной программы по геометрии (учебники Атанасяна, Погорелова, Мерзляка).

В базе платформы представлены сотни упражнений разного уровня сложности с автоматической проверкой ответов и подробными пошаговыми математическими решениями. Переходите к тренажёрам по геометрии за 7 класс на Экзамео, тренируйтесь в удобном темпе и уверенно получайте отличные оценки за самостоятельно-контрольные работы!

Задача 1

Свойство точки пересечения медиан треугольника

Темы2

Курсы4

Геометрическая задача ОГЭ (задание 15) на основное свойство медиан треугольника (деление точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины). Тренажёр охватывает все возможные постановки вопросов для обеих медиан (AN и CM): нахождение всей медианы, большего отрезка от вершины к точке O, меньшего отрезка от точки O к стороне, а также их разности.Вариант 1

Медианы $AN$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$ . Найдите длину отрезка $AO$ , если $AN = 12$ .

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Темы4

Курсы5

Геометрическая задача ОГЭ (задание 15) на метрические соотношения в прямоугольном треугольнике с прямым углом B при вершине, гипотенузой AC и высотой BH к гипотенузе (в соответствии с чертежом). Генератор охватывает все возможные постановки вопросов: нахождение одного из проекционных отрезков AH или CH, высоты BH, гипотенузы AC, а также катетов AB и BC.Вариант 1

В прямоугольном треугольнике $ABC$ на гипотенузу $AC$ опущена высота $BH = 2$ . Найдите длину всей гипотенузы $AC$ , если $CH = 1$ .

Треугольник ABC с высотой чертёж к задаче

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план