Площадь параллелограмма: все формулы, высоты, диагонали и примеры

На этой странице представлен справочный материал по теме «Площадь параллелограмма» по геометрии для 8 класса, чтобы помочь систематизировать все известные формулы нахождения площади параллелограмма, научиться безошибочно выбирать самый быстрый способ вычисления в зависимости от данных задачи и уверенно справляться с самостоятельными и контрольными работами в 8 класс и с задачами на ОГЭ по математике.

Вычисление площади параллелограмма — базовый навык школьного курса планиметрии. Разнообразие формул позволяет рассчитывать площадь фигуры через высоты, стороны, углы и диагонали.

Все формулы площади параллелограмма

Рассмотрим все основные математические формулы нахождения площади параллелограмма по порядку от базовых школьных до продвинутых.

Площадь параллелограмма через сторону и высоту (классическая формула)

Самый распространенный и главный способ вычисления площади параллелограмма в 8 классе:

Формула площади через высоту 🎯

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне:

S = a \cdot h_a \quad \text{или} \quad S = b \cdot h_b

где $a$ и $b$ — стороны параллелограмма, $h_a$ и $h_b$ — высоты, опущенные строго на соответствующую сторону.

Задачи, в которых нужно по известной площади найти меньшую или большую высоту параллелограмма встречаются как в 8 классе на уроках геометрии, так и на ОГЭ по математике, например в 17 задании.

Важное свойство высот и сторон:

Так как площадь одного и того же параллелограмма постоянна ( $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$ ), из этого вытекает равенство отношений:

\dfrac{h_a}{h_b} = \dfrac{b}{a}

Запомните: к большей стороне всегда проводится меньшая высота, а к меньшей стороне — большая высота!

Площадь через две стороны и синус угла между ними

Когда в условии известны две смежные стороны и один из углов параллелограмма, применяется тригонометрическая формула:

Формула площади через угол 🎯

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними:

S = a \cdot b \cdot \sin \alpha

где $a$ и $b$ — смежные стороны, $\alpha$ — угол между ними.

(Так как $\sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ , не имеет значения, какой угол брать — острый или тупой, значение синуса одинаково!)

Площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними

Если в условии даны длины пересекающихся диагоналей параллелограмма:

Формула площади через диагонали:

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

S = \dfrac{1}{2} d_1 \cdot d_2 \cdot \sin \gamma

где $d_1$ и $d_2$ — диагонали параллелограмма, $\gamma$ — угол между диагоналями.

Как моментально выбрать нужную формулу? 💡

• Даны сторона и опущенная высота $\implies S = a \cdot h_a$

• Даны две стороны и угол $\implies S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$

• Даны две диагонали и угол между ними $\implies S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \gamma$

• Если нужно найти вторую высоту $\implies h_b = \dfrac{S}{b}$

Разбор задач на параллелограмм из контрольных работ за 8 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для самостоятельных и контрольных работ по геометрии на параллелограмм в 8 классе.

Пример 1: Нахождение площади и второй высоты параллелограмма

Задание: Стороны параллелограмма равны $6\text{ см}$ и $10\text{ см}$ , а высота, опущенная на меньшую сторону, равна $5\text{ см}$ . Найдите площадь параллелограмма и вторую высоту.

Подробное решение:

1) Вычислим площадь параллелограмма через сторону $a = 6\text{ см}$ и опущенную на неё высоту $h_a = 5\text{ см}$ :
$S = a \cdot h_a = 6 \cdot 5 = 30\text{ см}^2$ .

2) Используем эту же площадь для нахождения второй высоты $h_b$ , опущенной на сторону $b = 10\text{ см}$ :
$S = b \cdot h_b \implies 30 = 10 \cdot h_b \implies h_b = 30 : 10 = 3\text{ см}$ .

Ответ: $S = 30\text{ см}^2$ , вторая высота равна $3\text{ см}$ .

Пример 2: Нахождение площади через диагонали и угол между ними

Задание: Диагонали параллелограмма равны $12\text{ см}$ и $16\text{ см}$ , а угол между ними равен $30^\circ$ . Найдите площадь этого параллелограмма.

Подробное решение:

1) Воспользуемся формулой площади через диагонали: $S = \dfrac{1}{2} d_1 \cdot d_2 \cdot \sin \gamma$ .

2) Подставим известные значения: $d_1 = 12$ , $d_2 = 16$ , $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ :
$S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot 16 \cdot \dfrac{1}{2} = 96 \cdot \dfrac{1}{2} = 48\text{ см}^2$ .

Ответ: $48\text{ см}^2$ .

Тренажёры по теме «Площадь параллелограмма» на Экзамео

Ниже собраны тренажёры для 8 класса по теме площадь параллелограмма. К каждой задаче вы найдете подробное решение и пошаговое объяснение призванное помочь разобраться в теме и отработать формулы площади.

Задача 1

Сумма площадей треугольников внутри параллелограмма

Темы3

Курсы3

Площади треугольников с основаниями на противоположных сторонах параллелограмма и общей вершиной внутри него в сумме дают ровно половину площади всей фигуры.Вариант 1

Биссектрисы углов $P$ и $Q$ четырёхугольника $PQRS$ пересекаются в точке $K$ , лежащей на стороне $RS$ . Докажите, что точка $K$ равноудалена от прямых $PQ$ , $QR$ и $PS$ .

Ваш ответ

Задача 2

Площадь параллелограмма на клетчатой бумаге

Темы3

Курсы3

Геометрическая задача на клетчатой бумаге размером 1x1 на нахождение площади параллелограмма.Вариант 1

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге (размер клетки $1 \times 1$ ):

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план