Функция кубического корня 9 класс: свойства, график и типовые задачи

На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме «Функция $y = \sqrt[3]{x}$ , её свойства и график» по алгебре для 9 класса. Материал подготовлен для систематизации знаний школьной программы, выполнения контрольных работ, а также подготовки к заданиям с функциями и графиками на ОГЭ и ЕГЭ по математике.

В курсе алгебры 9 класса функция кубического корня $y = \sqrt[3]{x}$ является обратной к степенной функции с нечётным показателем $y = x^3$ . В отличие от функции квадратного корня $y = \sqrt{x}$ , кубический корень извлекается из абсолютно любого действительного числа — как положительного, так и отрицательного. Понимание этого различия спасает от ошибок при нахождении области определения сложных выражений и построении графиков.

Ниже подробно рассмотрены свойства функции, составлена наглядная таблица ключевых опорных точек, разобран внешний вид графика (кубической параболы, положенной на бок), а также решены практические уравнения и неравенства графическим методом.

После теоретического разбора на странице доступны интерактивные онлайн-тренажёры с автоматической проверкой ответов для закрепления темы.

Что такое кубический корень? — 9 класс

Кубическим корнем (корнем третьей степени) из действительного числа $a$ называется такое число $b$ , куб которого равен $a$ :

\sqrt[3]{a} = b \iff b^3 = a

• Главное отличие от квадратного корня: подкоренное выражение может быть отрицательным! Например, $\sqrt[3]{-8} = -2$ , так как $(-2)^3 = -8$ .

• Вынесение знака минус: для любого числа $a$ справедливо равенство $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$ . Минус свободно выносится за знак кубического корня.

• Взаимно обратные функции: функции $y = x^3$ и $y = \sqrt[3]{x}$ являются взаимно обратными на всей числовой оси, а их графики симметричны относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей — прямой $y = x$ .

Свойства функции кубического корня

Исследуем функцию $y = \sqrt[3]{x}$ по стандартной аналитической схеме, принятой в курсе алгебры 9 класса:

Свойство

Математическое описание

1. Область определения $D(f)$

$x \in (-\infty; +\infty)$ (любое действительное число $\mathbb{R}$ )

2. Область значений $E(f)$

$y \in (-\infty; +\infty)$ (значения могут быть сколь угодно большими и малыми)

3. Чётность / нечётность

Нечётная функция: $f(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -f(x)$ . График симметричен относительно начала координат $(0; 0)$

4. Нули функции

$y = 0$ при $x = 0$ (график проходит через точку начала координат)

5. Промежутки знакопостоянства

$y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$ (I четверть);
$y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$ (III четверть)

6. Монотонность (возрастание / убывание)

Строго возрастает на всей области определения: если $x_2 > x_1$ , то $\sqrt[3]{x_2} > \sqrt[3]{x_1}$

7. Ограниченность и экстремумы

Не ограничена ни снизу, ни сверху; точек максимума и минимума не имеет

8. Непрерывность

Непрерывна на всей числовой прямой $\mathbb{R}$ (график чертится одной плавной линией без разрывов)

График функции кубического корня

График функции $y = \sqrt[3]{x}$ представляет собой ветвь кубической параболы, зеркально отражённую относительно прямой $y = x$ . Кривая плавно выходит из третьей координатной четверти, проходит через центр координат $(0; 0)$ и уходит в первую координатную четверть.

Для аккуратного построения графика в тетради используют следующие удобные целочисленные значения аргумента $x$ :

$x$

$-8$

$-1$

$0$

$1$

$8$

$27$

$-27$

$y = \sqrt[3]{x}$

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

$3$

$-3$

Важная геометрическая особенность в начале координат 💡

В точке $(0; 0)$ касательная к графику функции $y = \sqrt[3]{x}$ расположена строго вертикально (совпадает с осью ординат $Oy$ ). Поэтому при приближении к началу координат график становится очень крутым, а при удалении от нуля по оси $Ox$ — напротив, стелется горизонтально, нарастая медленнее любой линейной функции.

График $y = \sqrt[3]{x}$

Сравнение с другими функциями

Чтобы не путать функции корней на экзаменах, сопоставим их ключевые параметры:

Кубический корень $y = \sqrt[3]{x}$

• Область определения: вся прямая $x \in (-\infty; +\infty)$ .

• Отрицательные аргументы: существуют ( $\sqrt[3]{-27} = -3$ ).

• График: расположен в I и III четвертях координатной плоскости.

• Симметрия: центральная относительно начала координат $(0; 0)$ .

Квадратный корень $y = \sqrt{x}$

• Область определения: только неотрицательные числа $x \in [0; +\infty)$ .

• Отрицательные аргументы: не имеют смысла в действительных числах.

• График: расположен строго в I четверти плоскости.

• Симметрия: точек и осей симметрии не имеет (одна полуветвь параболы).

Практический разбор типовых задач

Рассмотрим образцы решений ключевых задач, которые встречаются в контрольных работах за 9 класс и в заданиях ОГЭ.

Пример 1: Сравнение значений функции без вычисления приближений

Задание: Сравните числа: а) $\sqrt[3]{25}$ и $\sqrt[3]{31}$ ; б) $\sqrt[3]{-10}$ и $\sqrt[3]{-17}$ ; в) $3$ и $\sqrt[3]{26}$ .

Подробное решение:

Используем фундаментальное свойство: функция $y = \sqrt[3]{x}$ строго возрастает на всей области определения. Значит, большему значению подкоренного выражения соответствует большее значение корня:

1) Так как $25 < 31$ , то $\sqrt[3]{25} < \sqrt[3]{31}$ .

2) Сравним отрицательные числа: $-10 > -17$ , следовательно, $\sqrt[3]{-10} > \sqrt[3]{-17}$ .

3) Представим число $3$ в виде кубического корня: $3 = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{27}$ . Так как $27 > 26$ , то $\sqrt[3]{27} > \sqrt[3]{26}$ , откуда $3 > \sqrt[3]{26}$ .

Ответ: а) $\sqrt[3]{25} < \sqrt[3]{31}$ ; б) $\sqrt[3]{-10} > \sqrt[3]{-17}$ ; в) $3 > \sqrt[3]{26}$ .

Пример 2: Графическое решение уравнения вида ∛x = x

Задание: Решите графически уравнение $\sqrt[3]{x} = x$ .

Подробное решение:

1) Построим в одной системе координат графики двух функций:

• $y_1 = \sqrt[3]{x}$ (кубический корень);

• $y_2 = x$ (прямая — биссектриса I и III четвертей).

2) Найдём абсциссы точек пересечения этих графиков:

• При $x = -1$ : $y_1 = \sqrt[3]{-1} = -1$ и $y_2 = -1 \implies$ точка $(-1; -1)$ ;

• При $x = 0$ : $y_1 = \sqrt[3]{0} = 0$ и $y_2 = 0 \implies$ точка $(0; 0)$ ;

• При $x = 1$ : $y_1 = \sqrt[3]{1} = 1$ и $y_2 = 1 \implies$ точка $(1; 1)$ .

3) Других точек пересечения графики не имеют, так как при $x > 1$ прямая $y = x$ растёт быстрее кубического корня.

Ответ: $x_1 = -1;\ x_2 = 0;\ x_3 = 1$ .

Пошаговый алгоритм решения заданий с функцией $y = \sqrt[3]{x}$

Чтобы избежать досадных ошибок при работе с функциями корней, следуйте простому алгоритму:

Проверьте показатель степени корня: если показатель корня нечётный ( $3, 5, \ldots$ ), подкоренное выражение может принимать любые значения (ограничение $x \geq 0$ накладывать не нужно).

Учитывайте знаки при вычислениях: при наличии знака «минус» под корнем вынесите его наружу по правилу $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$ .

Для построения выбирайте полные кубы: используйте значения аргумента $x \in \{-8, -1, 0, 1, 8\}$ , для которых кубический корень извлекается нацело.

Используйте строгую монотонность при решении неравенств: так как функция возрастает, неравенство $\sqrt[3]{f(x)} > \sqrt[3]{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$ без смены знака и без дополнительных ограничений ОДЗ.

Типичные ошибки школьников

При изучении кубического корня девятиклассники чаще всего допускают следующие три характерные ошибки:

Поиск ОДЗ как для квадратного корня

Школьники по привычке требуют $x \geq 0$ для выражения $\sqrt[3]{x}$ . Это грубая ошибка! Корень нечётной степени извлекается из абсолютно любого отрицательного числа: $\sqrt[3]{-64} = -4$ .

Потеря знака минус перед числом

Запись равенства $\sqrt[3]{-8} = 2$ вместо $-2$ . Помните: нечётная степень сохраняет знак числа, поэтому результат извлечения кубического корня из отрицательного числа обязан быть отрицательным.

Построение графика только в первой четверти

Изображение графика $y = \sqrt[3]{x}$ только при $x \geq 0$ , забывая про левую ветвь в третьей четверти. График функции кубического корня обязан проходить через точку $(0; 0)$ и продолжаться влево-вниз!

Тренажёры по теме «Функция кубического корня» для 9 класса

Ниже представлены интерактивные тренажёры с практическими задачами на исследование свойств функции кубического корня, чтение графиков, сравнение значений и графическое решение уравнений для 9 класса. К каждому заданию приведено детальное пошаговое объяснение с наглядными графиками, что поможет довести решение таких задач до автоматизма.

Задача 1

Сравнение чисел через приведение к кубическому корню

Темы2

Курсы4

Задание на сравнение чисел, содержащих кубические корни.Вариант 1

Сравните числа: $\sqrt[3]{46}$ и $\sqrt[3]{2}$ В ответе запишите только знак неравенства (> или <).

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Сравнение смешанного выражения с кубическим корнем и целого числа

Темы3

Курсы4

Вариант 1

Сравните числа: $-3\sqrt[3]{4}$ и $-6$ В ответе запишите только знак неравенства (> или <).

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план