Квадратные неравенства 9 класс: решение, парабола, метод интервалов

На этой странице представлен исчерпывающий учебный справочник по теме «Квадратные неравенства» по алгебре для 9 класса. Эксперты и методисты платформы Экзамео подготовили этот материал, чтобы помочь девятиклассникам уверенно освоить ключевые способы решения неравенств второй степени, подготовиться к самостоятельным и контрольным работам, а также безошибочно решить задание №13 в ОГЭ по математике и заложить прочный фундамент для задания №15 профильного ЕГЭ.

В курсе алгебры 9 класса квадратные неравенства являются одним из центральных разделов. Независимо от внешнего вида выражения — является ли оно полным квадратным трёхчленом или неполным квадратным уравнением без свободного члена или без переменной в первой степени — общий принцип решения всегда одинаков: сначала находим нули функции (корни соответствующего уравнения), а затем определяем знаки на числовой оси либо с помощью эскиза параболы, либо через универсальный метод интервалов с обязательной проверкой каждого промежутка пробной точкой.

После изучения теории на странице доступны интерактивные онлайн-тренажёры с автоматической проверкой ответов и подробными решениями для закрепления материала.

Что такое квадратное неравенство? — 9 класс

Квадратным неравенством (неравенством второй степени) называется неравенство вида:

ax^2 + bx + c > 0 \quad (\text{или } \geq 0,\ < 0,\ \leq 0)

где $x$ — переменная, $a$ , $b$ , $c$ — действительные числа, причём главный коэффициент $a \neq 0$ .

Единый принцип для всех видов:

полные ( $ax^2 + bx + c \lor 0$ ) и неполные ( $ax^2 + bx \lor 0$ или $ax^2 - c \lor 0$ ) квадратные неравенства решаются по одному и тому же сценарию: приравниваем выражение к нулю, находим корни уравнения и наносим их на ось, после чего применяем графический метод параболы или метод интервалов.

Строгие и нестрогие знаки:

при знаках $>$ и $<$ точки на числовой оси выкалываются (круглые скобки в ответе), а при знаках $\geq$ и $\leq$ точки закрашиваются (квадратные скобки в ответе).

Виды квадратных неравенств и поиск корней

Перед нанесением точек на числовую прямую необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения. Способ поиска корней зависит от структуры выражения, но дальнейший алгоритм остаётся неизменным:

Тип неравенства

Вид уравнения

Способ нахождения нулей

Полное квадратное

$ax^2 + bx + c = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ или теорема Виета: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Неполное без $c$ ( $c = 0$ )

$ax^2 + bx = 0$

Вынесение $x$ за скобки: $x(ax + b) = 0 \implies x_1 = 0,\ x_2 = -\dfrac{b}{a}$

Неполное без $b$ ( $b = 0$ )

$ax^2 - c = 0$

Разность квадратов или перенос: $x^2 = \dfrac{c}{a} \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{\dfrac{c}{a}}$

Способ 1: Графический метод (с помощью параболы)

Графический метод опирается на геометрический смысл квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ , графиком которой является парабола. Знак неравенства указывает, где график расположен относительно оси абсцисс $Ox$ :

Правило чтения эскиза параболы:

1. Смотрим на знак коэффициента $a$ : если $a > 0$ , ветви параболы направлены вверх; если $a < 0$ , ветви направлены вниз.

2. Отмечаем точки пересечения с осью $Ox$ (корни уравнения).

3. Часть параболы, которая находится выше оси $Ox$ , соответствует значениям $> 0$ (плюс).

4. Часть параболы, которая находится ниже оси $Ox$ , соответствует значениям $< 0$ (минус).

Разберём решение квадратного неравенства методом параболы на конкретном примере:

Пример 1: Решение неравенства графическим методом параболы

Задание: Решите квадратное неравенство $x^2 - 4x - 5 \leq 0$ .

Пошаговый разбор:

1) Найдём нули квадратичной функции:

Приравняем выражение к нулю: $x^2 - 4x - 5 = 0$ .

По теореме Виета или через дискриминант:

D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2

x_1 = \dfrac{4 - 6}{2} = -1, \quad x_2 = \dfrac{4 + 6}{2} = 5

2) Построим эскиз параболы:

Коэффициент $a = 1 > 0$ , следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Нанесём корни на ось $Ox$ . Знак неравенства нестрогий ( $\leq$ ), поэтому точки закрашенные: $x = -1$ и $x = 5$ .

3) Определим знаки по графику:

• При $x < -1$ и $x > 5$ парабола проходит над осью $Ox$ (знак $+$ ).

• На промежутке между корнями $[-1; 5]$ парабола опускается под ось $Ox$ (знак $-$ ).

4) Так как в условии требуется знак $\leq 0$ (меньше либо равно нулю), выбираем промежуток с минусом, включая концы.

Ответ: $x \in [-1; 5]$ .

Способ 2: Метод интервалов с подстановкой точек

Метод интервалов — самый надёжный способ решения любых неравенств. Никогда не чередуйте знаки механически наугад! Чтобы исключить ошибку из-за чётных степеней или скрытых знаков минус перед скобками, знак на каждом интервале необходимо определять непосредственной подстановкой контрольной точки в разложенное выражение.

Алгоритм метода интервалов с проверкой:

1. Перенесите все слагаемые в левую часть, чтобы справа остался ноль.

2. Найдите корни выражения и разложите левую часть на линейные множители: $a(x - x_1)(x - x_2)$ .

3. Нанесите корни на числовую ось, разбив её на отдельные интервалы.

4. Проверьте каждый интервал: выберите из каждого промежутка любое удобное число (пробную точку), подставьте его в скобки и определите итоговый знак произведения.

5. Заштрихуйте интервалы, знак которых совпадает со знаком неравенства.

Разберём полное решение неполного квадратного неравенства методом интервалов с подробным расчётом каждого знака:

Пример 2: Решение неравенства методом интервалов с расчётом пробных точек

Задание: Решите квадратное неравенство $2x^2 - 8x > 0$ .

Пошаговый разбор:

1) Разложим левую часть на множители:

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

2x(x - 4) &gt; 0

2) Найдём нули функции:

2x(x - 4) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 4

3) Нанесём точки на числовую ось:

Знак неравенства строгий ( $>$ ), поэтому точки $x = 0$ и $x = 4$ выколотые (пустые кружки).

Точки разделили числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$ , $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$ .

4) Проверим каждый интервал подстановкой пробной точки:

• Интервал 1: $(-\infty; 0)$

Возьмём пробное число $x = -1$ :

2 \cdot (-1) \cdot (-1 - 4) = (-2) \cdot (-5) = +10 &gt; 0

Знак на интервале: «+».

• Интервал 2: $(0; 4)$

Возьмём пробное число $x = 1$ :

2 \cdot 1 \cdot (1 - 4) = 2 \cdot (-3) = -6 &lt; 0

Знак на интервале: «–».

• Интервал 3: $(4; +\infty)$

Возьмём пробное число $x = 5$ :

2 \cdot 5 \cdot (5 - 4) = 10 \cdot 1 = +10 &gt; 0

Знак на интервале: «+».

5) Так как исходное неравенство содержит знак $> 0$ , выбираем интервалы со знаком плюс.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$ .

Особые случаи: дискриминант $D \leq 0$

Если при вычислении корней дискриминант получается отрицательным или равным нулю, это не означает, что у неравенства нет решений. В таких случаях парабола не пересекает ось $Ox$ либо лишь касается её в одной точке:

Случай 1: $D < 0$ (корней нет) 🚫

Парабола не имеет общих точек с осью $Ox$ . Она целиком лежит по одну сторону от оси:

• Если $a > 0$ , вся парабола находится выше оси: выражение $ax^2 + bx + c > 0$ верно при любом $x \in \mathbb{R}$ , а неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ не имеет решений.

• Если $a < 0$ , вся парабола лежит под осью: неравенство $< 0$ верно всегда ( $x \in \mathbb{R}$ ), а $> 0$ решений не имеет.

Случай 2: $D = 0$ (один корень / касание) 🎯

Вершина параболы лежит на оси $Ox$ , выражение сворачивается в полный квадрат $a(x - x_0)^2$ :

• Неравенство $(x - 3)^2 > 0$ выполняется при всех $x$ , кроме $x = 3$ ( $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$ ).

• Неравенство $(x - 3)^2 \geq 0$ верно при любом $x \in \mathbb{R}$ .

• Неравенство $(x - 3)^2 \leq 0$ имеет единственное решение: $x = 3$ .

• Неравенство $(x - 3)^2 < 0$ не имеет решений.

Пошаговый алгоритм решения любого квадратного неравенства

При выполнении заданий на контрольных работах и на ОГЭ придерживайтесь следующей универсальной схемы:

Приведите неравенство к стандартному виду: перенесите все члены влево, раскройте скобки, приведите подобные слагаемые. Справа обязательно должен остаться $0$ . Если коэффициент при $x^2$ отрицательный, умножьте всё неравенство на $-1$ и не забудьте развернуть знак неравенства.

Найдите корни трёхчлена: решите уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ через дискриминант или разложение на множители.

Нанесите корни на числовую ось: обратите внимание на строгость знака. При $>$ или $<$ рисуйте выколотые точки (пустые кружки), при $\geq$ или $\leq$ рисуйте закрашенные точки.

Определите знаки: проведите схематичную параболу через точки либо подставьте конкретные проверочные числа из каждого интервала в исходное разложение.

Запишите числовой промежуток: заштрихуйте нужные участки и запишите ответ в виде объединения интервалов, строго соблюдая круглые и квадратные скобки.

Типичные ошибки девятиклассников

При анализе самостоятельных работ и экзаменационных бланков ОГЭ чаще всего выявляются три грубые ошибки:

Извлечение корня без второго знака

Решать неравенство $x^2 > 9$ в виде $x > 3$ , забывая про левый луч $x < -3$ . Помните: квадратное неравенство всегда решается через разложение $(x - 3)(x + 3) > 0$ и числовую ось!

Деление на переменную x

Сокращать неравенство $x^2 - 4x > 0$ на $x$ , получая неверный ответ $x > 4$ . Делить на выражение с переменной категорически запрещено, так как $x$ может быть отрицательным или нулём. Нужно выносить $x$ за скобки!

Механическое чередование знаков без проверки

Автоматически расставлять знаки « $+ - +$ » наобум. Если перед старшим коэффициентом стоял минус (например, $-x^2 + 2x + 3 > 0$ ) или выражение содержало полный квадрат, знаки могут вести себя иначе. Проверка пробной точкой обязательна!

Тренажёры по теме «Квадратные неравенства» на платформе Экзамео

Ниже представлены интерактивные тренажёры с практическими заданиями на решение полных и неполных квадратных неравенств, работу с параболой и применение метода интервалов для 9 класса. К каждому заданию подготовлены пошаговые иллюстрации и разборы, что позволит безошибочно подготовиться к самостоятельным работам и сдать ОГЭ по математике на высший балл.

Задача 1

Квадратные неравенства всех видов

Темы1

Курсы3

Тренажеры на квадратные неравенства всех видов из открытого банка ФИПИ по математике с решениями через метод интерваловВариант 1

Решите неравенство:

2x^2 - 18 \gt 0

Выберите верный вариант ответа:

В ответе запишите номер верного варианта (от 1 до 4).

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Квадратные неравенства с числовыми прямыми

Темы1

Курсы3

Квадратные неравенства с ответами в виде числовых прямых. Это один из прототипов 13 задания на ОГЭ по математикеВариант 1

Решите неравенство:

x^2 - 16 \leqslant 0

Выберите верный вариант ответа:

В ответе запишите номер верного варианта (от 1 до 4).

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Где квадратные неравенства применяются на практике?

Квадратные неравенства возникают везде, где физический или экономический закон описывается квадратичной параболической зависимостью:

Баллистика и высота полёта ракеты 🚀

Высота подброшенного тела над землёй описывается формулой $h(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$ . Чтобы узнать, в течение какого промежутка времени сигнальная ракета находится выше заданной зоны обнаружения (например, $h(t) \geq 40\text{ м}$ ), инженеры составляют и решают квадратное неравенство относительно времени $t$ . Решение вида $t \in [t_1; t_2]$ показывает интервал безопасного наблюдения.

Безубыточность производства в экономике 📈

Прибыль предприятия часто моделируется квадратичной функцией от объёма выпускаемой продукции $q$ : $P(q) = -a q^2 + b q - c$ . Знак «минус» возникает из-за резкого роста складских и логистических расходов при перепроизводстве. Решение квадратного неравенства $P(q) > 0$ задаёт так называемую зону рентабельности — минимальный и максимальный тираж товара, при котором фирма не уходит в убыток.