Площадь треугольника через радиус описанной окружности: теория и задачи 9 класс

Формула площади треугольника через радиус описанной окружности — одна из важнейших связующих формул школьной планиметрии, объединяющая линейные размеры треугольника ( $a, b, c$ ), его площадь ( $S$ ) и радиус описанной около него окружности ( $R$ ). В курсе геометрии 8–9 классов эта формула традиционно изучается после теоремы синусов и служит ключевым инструментом для вычисления радиуса описанной окружности без построения центра и радиус-векторов.

В экзаменационных вариантах ОГЭ (задания 15 и 23) и профильного ЕГЭ по математике (задания 1 и 17) прямые и обратные задачи на формулу $S = \dfrac{abc}{4R}$ встречаются регулярно: от мгновенного расчёта радиуса по трём известным сторонам до комплексных задач на нахождение площади правильного или прямоугольного треугольника. Ниже приведены теоретический вывод формулы, классификация формул для частных видов треугольников, подробный разбор задач из открытого банка ФИПИ, типичные экзаменационные ловушки и интерактивные онлайн-тренажёры Экзамео с проверкой ответов и подробными решениями.

Формула площади через радиус описанной окружности

Площадь любого треугольника равна произведению всех трёх его сторон, делённому на четыре радиуса описанной около него окружности:

S = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R}

Площадь треугольника через радиус описанной окружности

• Обратная формула для радиуса ( $R$ ): в 90% задач на экзаменах требуется найти не саму площадь, а радиус описанной окружности. Выражая $R$ , получаем рабочую формулу:

R = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4S}

• Различие описанной и вписанной окружностей: никогда не путайте радиус описанной окружности ( $R$ ) и радиус вписанной окружности ( $r$ ). Для вписанной окружности используется полупериметр: $S = p \cdot r$ , где $p = \dfrac{a + b + c}{2}$ .

• Тригонометрическая форма: зная углы треугольника, площадь через описанный радиус также можно выразить формулой:

S = 2R^2 \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma

Геометрический вывод формулы через теорему синусов

Формула $S = \dfrac{abc}{4R}$ строго и изящно выводится из двух базовых планиметрических теорем школьного курса:

1. Вспомним стандартную формулу площади треугольника через две стороны и синус угла между ними:

S = \dfrac{1}{2} a b \sin\gamma

2. Запишем расширенную теорему синусов для стороны $c$ и противолежащего угла $\gamma$ :

\dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R

3. Выразим $\sin\gamma$ через сторону $c$ и радиус $R$ :

\sin\gamma = \dfrac{c}{2R}

4. Подставим полученное выражение для синуса в формулу площади:

S = \dfrac{1}{2} a b \cdot \left(\dfrac{c}{2R}\right) = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R}

Формула доказана для произвольного треугольника независимо от того, является ли он остроугольным, прямоугольным или тупоугольным.

[Место для иллюстрации: Чертёж к выводу: угол гамма, вписанный в окружность, опирающийся на хорду c, и прямоугольный треугольник с диаметром 2R]

Формулы площади через радиус для различных треугольников

В зависимости от вида треугольника общая формула принимает более простой канонический вид, что позволяет мгновенно выполнять вычисления без длинных промежуточных преобразований. Все эти формулы запоминать не стоит, просто посмотрите на них, возможно в тренажерах вам будет удобно применять их при решении задач, чтобы сэкономить время. Самое главное для экзаменов - запомнить основную формулу для произвольного треугольника, остальные сможете вывести.

Вид треугольника

Формула площади S

Радиус описанной окружности R

Особенности применения

Произвольный

$S = \dfrac{abc}{4R}$

$R = \dfrac{abc}{4S}$

Площадь $S$ обычно предварительно находят по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ .

Правильный (равносторонний)

$S = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} R^2$

$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

Сторона выражается через радиус: $a = R\sqrt{3}$ . Площадь выражается исключительно через $R$ .

Прямоугольный

$S = \dfrac{ab}{2}$

$R = \dfrac{c}{2}$

Центр лежит на середине гипотенузы $c$ . В формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$ гипотенуза $c$ и $4(c/2)$ сокращаются: $\dfrac{ab \cdot c}{2c} = \dfrac{ab}{2}$ .

Равнобедренный ( $a = b$ )

$S = \dfrac{a^2 c}{4R}$

$R = \dfrac{a^2 c}{4S}$

Две равные боковые стороны $a$ объединяются в квадрат: $a \cdot a \cdot c = a^2 c$ . Высота к основанию $h = \sqrt{a^2 - (c/2)^2}$ .

Где встречаются задания на формулу

Задания, требующие применения связи площади и радиуса описанной окружности, встречаются не только в 9 классе, но и могут быть на ОГЭ по математике и на ЕГЭ профильного уровня:

Задание 15 ОГЭ (первая часть)

Базовые задачи на нахождение радиуса описанной окружности равностороннего или прямоугольного треугольника, либо вычисление стороны по известному радиусу $R$ в 1–2 действия.

Задание 23 ОГЭ (вторая часть)

Сложные расчётные задачи повышенного уровня сложности на нахождение радиуса описанной окружности треугольника с тремя различными сторонами (через предварительное нахождение площади по формуле Герона).

Задание 1 Профильного ЕГЭ

Планиметрические задачи первой части: нахождение площади треугольника по заданным сторонам и описанному радиусу, либо расчёт отношения радиусов описанной и вписанной окружностей.

Задание 14 и 17 ЕГЭ (вторая часть)

Стереометрические задачи на сферу, описанную около призмы или пирамиды (радиус сферы часто выражается через радиус окружности, описанной около основания), а также сложная планиметрия №17.

Задания на площадь через радиус с пошаговыми решениями

Ниже приведены подробные решения пяти типовых задач, охватывающих все основные геометрические конфигурации, встречающиеся на ОГЭ и ЕГЭ и которые будут полезны при подготовке к самостоятельным и контрольным работам в 9 классе.

Задание 1: Нахождение радиуса описанной окружности по трём сторонам (ОГЭ №23 / ЕГЭ №1)

Условие: Стороны треугольника равны $13$ , $14$ и $15$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Пошаговое решение:

1) Найдём полупериметр треугольника:

p = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{13 + 14 + 15}{2} = \dfrac{42}{2} = 21

2) Вычислим площадь треугольника по формуле Герона:

S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{21 \cdot (21 - 13) \cdot (21 - 14) \cdot (21 - 15)}

S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(7 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 2) \cdot 7 \cdot (3 \cdot 2)} = \sqrt{7^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2} = 7 \cdot 3 \cdot 4 = 84

3) Выразим радиус описанной окружности из формулы площади:

R = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4S}

4) Подставим числовые значения:

R = \dfrac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \dfrac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot (14 \cdot 6)} = \dfrac{13 \cdot 15}{4 \cdot 6} = \dfrac{13 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \dfrac{65}{8} = 8{,}125

Ответ: $8{,}125$ .

Задание 2: Площадь правильного треугольника через радиус описанной окружности

Условие: Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $6$ . Найдите площадь этого треугольника. В ответе укажите $\dfrac{S}{\sqrt{3}}$ .

Пошаговое решение:

1) Способ 1 (через готовую формулу):
Для правильного треугольника площадь через радиус описанной окружности выражается формулой:

S = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} R^2

Подставим $R = 6$ :

S = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 3\sqrt{3} \cdot 9 = 27\sqrt{3}

2) Способ 2 (через сторону):
Сторона правильного треугольника равна $a = R\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ .
Площадь правильного треугольника:

S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{(6\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \dfrac{36 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 9 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 27\sqrt{3}

3) Разделим результат на $\sqrt{3}$ по требованию условия:

\dfrac{S}{\sqrt{3}} = \dfrac{27\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 27

Ответ: $27$ .

Задание 3: Равнобедренный треугольник и описанный радиус

Условие: В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны $10$ , а основание равно $12$ . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Пошаговое решение:

1) Найдём высоту, проведённую к основанию:
Высота $h$ делит основание пополам: $12 : 2 = 6$ . По теореме Пифагора:

h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8

2) Вычислим площадь треугольника:

S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48

3) Применим формулу радиуса для равнобедренного треугольника ( $a = b = 10, c = 12$ ):

R = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4S} = \dfrac{10 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 48} = \dfrac{1200}{192} = \dfrac{25}{4} = 6{,}25

Ответ: $6{,}25$ .

Задание 4: Прямоугольный треугольник и взаимосвязь S, R и катетов

Условие: Катеты прямоугольного треугольника равны $6$ и $8$ . Найдите площадь треугольника и радиус описанной около него окружности.

Пошаговое решение:

1) Найдём площадь прямоугольного треугольника:

S = \dfrac{a \cdot b}{2} = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24

2) Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

3) Найдём радиус описанной окружности:
Для любого прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы:

R = \dfrac{c}{2} = \dfrac{10}{2} = 5

4) Проверка по общей формуле:

S = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R} = \dfrac{6 \cdot 8 \cdot 10}{4 \cdot 5} = \dfrac{480}{20} = 24

Значения полностью сошлись.

Ответ: $S = 24$ , $R = 5$ .

Задание 5: Нахождение третьей стороны треугольника по площади и радиусу

Условие: Две стороны треугольника равны $5$ и $8$ , его площадь равна $12$ , а радиус описанной около него окружности равен $\dfrac{25}{3}$ . Найдите третью сторону треугольника.

Пошаговое решение:

1) Запишем формулу площади:

S = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R}

2) Выразим неизвестную третью сторону $c$ :

c = \dfrac{4S \cdot R}{a \cdot b}

3) Подставим известные величины ( $a = 5, b = 8, S = 12, R = \dfrac{25}{3}$ ):

c = \dfrac{4 \cdot 12 \cdot \dfrac{25}{3}}{5 \cdot 8} = \dfrac{48 \cdot \dfrac{25}{3}}{40} = \dfrac{16 \cdot 25}{40} = \dfrac{400}{40} = 10

Ответ: $10$ .

Типичные ошибки в заданиях на площадь и описанный радиус

При решении геометрических задач на описанную окружность учащиеся чаще всего допускают следующие четыре ошибки:

Замена коэффициента 4R на 2R

Путают формулу площади $S = \dfrac{abc}{4R}$ с теоремой синусов $\dfrac{a}{\sin\alpha} = 2R$ и делят произведение сторон на $2R$ вместо $4R$ .

Это приводит к завышению площади ровно в 2 раза. Запомните: в знаменателе площади всегда стоит четвёрка!

Путаница описанного (R) и вписанного (r) радиусов

В формулу $S = p \cdot r$ подставляют радиус описанной окружности $R$ , либо в формулу $S = \dfrac{abc}{4R}$ подставляют вписанный радиус $r$ .

Описанный радиус $R$ всегда связан с произведением трёх сторон, а вписанный $r$ — с полупериметром.

Сложные вычисления вместо R = c/2

В прямоугольном треугольнике начинают считать площадь по Герону и искать $R$ через длинные дроби, теряя время и допуская ошибки в счёте.

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности всегда строго равен половине гипотенузы ( $R = c/2$ ).

Перемножение числителя в лоб

При вычислении $R = \dfrac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84}$ сначала перемножают числа до $2730$ , а затем пытаются разделить в столбик на $336$ .

Всегда сначала сокращайте общие множители: $14$ и $84$ сокращаются на $14$ , давая в знаменателе $6$ .

Задания на площадь треугольника через радиус для 9 класса

Онлайн-тренажёры Экзамео включают реальные практические задания на нахождение площади треугольника и радиуса описанной окружности из открытого банка ОГЭ и ЕГЭ по математике. Тренируйтесь вычислять радиусы произвольных, равнобедренных, правильных и прямоугольных треугольников онлайн, сверяйте пошаговые решения и доводите навыки решения планиметрии до уверенного автоматизма!

Задача 1

Площадь треугольника через стороны и радиус описанной окружности

Темы1

Курсы3

Вариант 1

Стороны треугольника равны $21$ , $72$ и $75$ , а его площадь равна $756$ . Найдите радиус описанной около него окружности.

Ваш ответ

Задача 2

Прямоугольный треугольник, радиус описанной окружности и площадь

Темы4

Курсы3

Тренажёр для 9–11 классов на использование формулы S = abc / (4R) в прямоугольном треугольнике.Вариант 1

В прямоугольном треугольнике катеты равны $28$ и $96$ . Найдите радиус описанной около него окружности.

Ваш ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Формула площади через радиус описанной окружности

Формулы площади через радиус для различных треугольников

Где встречаются задания на формулу

Задания на площадь через радиус с пошаговыми решениями

Типичные ошибки в заданиях на площадь и описанный радиус

Задания на площадь треугольника через радиус для 9 класса

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Рекомендуем изучить вместе с этой темой